新高考数学三轮冲刺练习回归教材重难点05 概率与统计（2份，原卷版+解析版）

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高考数学试卷概率与统计试题是一道大题，一道或者两道选填22年新高考一卷和二卷都是一道大题一道小题，共17分，大约占全卷分值的11.5%。考察难度中等，注重考察知识的全面性和层次性。强调对基础知识的考察，强调基本思想方法，以及对概率与统计的基本原理的深入理解和应用，考察通性通法的基础上，加大了综合和创新的考察，今后新高考可能会出现以概率统计建模内容作为压轴试题来考察，所以在复习备考时要适度加大这方面的学习和训练。
新高考概率与统计试题围绕着概率与统计估计的主干知识进行考察，突出核心概念，考察主干知识和重要思想，考察古典概型的统计计算，考察概率的性质和相互独立事件的概率，考察条件概率与全概率公式，考察随机变量分布列与数字特征，二项分布，超几何分布，正态分布，考察随机抽样与数据的数字特征，考察统计图表与数据数字特征，考察统计相关性与一元线性回归模型，涵盖高中概率与统计的主要知识。考察的知识覆盖面广，系统性联系性强，这是统计与概率知识的特色。
一、条件概率与独立事件
（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作 ，条件概率公式为 。
（2）若，即,称与为相互独立事件。 与相互独立，即发生与否对的发生与否无影响，反之亦然。即相互独立，则有公式。
（3）在次独立重复实验中，事件发生次的概率记作，记在其中一次实验中发生的概率为 ，则 .
二、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质
（1）离散型随机变量的分布列 .

= 1 \* GB3 ① ;
= 2 \* GB3 ② .
（2）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量满足，则.
（3）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。
三、几种特殊的分布列、期望、方差
1.两点分布（又称0，1分布）
= ，= .
2.二项分布：
若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，.
3.几何分布：
若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在次独立重复实验中，在第次首次发生的概率为 ，， 。
4.超几何分布：
总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件， ，其中为与的较小者，，称 服从参数为的超几何分布，记作 ，此时有公式。
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布_..
四、正态分布
（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
= 1 \* GB3 ①曲线在轴上方，并且关于直线对称；
= 2 \* GB3 ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
= 3 \* GB3 ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④图像与轴之间的面积为1.
（2）= ，= ，记作 .
当时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。

五、样本的数字特征
1．统计图表
统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等．
2.频率分布直方表
(1)含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．
(2)频率分布表的画法步骤：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq \f(极差,组数)；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
3. 频率分布直方图
利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图．
(1)作频率分布直方图的方法
①先制作频率分布表，然后作直角坐标系．
②把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的eq \f(频率,组距)，这样得出一系列的矩形．
③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．
(2)频率分布直方图的特征
①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；
②从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示为频率分布直方图后，原有的数据信息就丢失了；
③直方图中各小长方形的面积之和为1.
④直方图中纵轴表示eq \f(频率,组距)，故每组样本的频率为组距×eq \f(频率,组距)，即矩形的面积．
⑤直方图中每组样本的频数为频率×总体数．
4.频率分布折线图
将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图．
5.总体密度曲线
如果将样本容量取得足够大，分组的组距足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
6．茎叶图
茎相同者共用一个茎(如两位数中的十位数)，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶(如两位数中的个位数)，一般按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出．这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶图．其优点是当样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好．
茎叶图的画法步骤
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．
7．样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝ eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]
标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
(5)标准差和方差的一些结论
若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq \x\t(x)＋b，方差为a2s2.
一、单选题
1．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）某中学高一年级组织了一次模拟测试，分一部和二部各750人参加.考试后统计的数学成绩服从正态分布，其中一部数学成绩的正态密度函数为，，二部数学成绩，则下列结论错误的是（ ）
附：随机变量正态分布，则，，.
A．一部这次考试的数学成绩
B．二部的分数在100分到分之间的大约有614人
C．一部和二部分数在130分以上的人数大致相等
D．二部的数学平均成绩高于一部的数学平均成绩
【答案】A
【分析】根据正态分布的性质逐项分析即可.
【详解】对A，因为数学成绩服从正态分布,其密度函数,
所以,即.
所以这次考试的平均成绩为110，标准差为10，故A错误;
对B，因为二部数学成绩7.5，对称轴为，
有，
所以分数在100到122.5分之间的概率为0.8185，人数人,故B正确;
对C，一部数学成绩,二部数学成绩，则130分以上的概率相等，
所以分数在130分以上的人数大致相同，故C正确.
对D，易知,故D正确,
故选：A.
2．（河南省焦作市2022-2023学年高三下学期数学试题）已知随机变量X的数学期望，方差，若随机变量Y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据期望和方差的两个公式，计算即可.
【详解】因为随机变量X的数学期望，方差，
所以.
故选：B
3．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（ ）
A．0.14B．0.18C．0.23D．0.26
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性计算即可.
【详解】因为，，
所以，
又，
所以.
故选：C.
4．（2022秋·四川达州·高三统考）关于线性回归的描述，下列说法不正确的是（ ）
A．回归直线方程中变量成正相关关系
B．相关系数越接近1，相关程度越强
C．回归直线方程中变量成正相关关系
D．残差平方和越小，拟合效果越好
【答案】A
【分析】根据线性回归的性质可知：的正负决定正负相关，可判断选项，；根据相关系数的绝对值越接近1，相关性越强，可判断；残差平方和越小，拟合效果越好，可判断选项.
【详解】对于，因为回归直线方程中的，所以变量成负相关关系，故选项错误；
对于，因为相关系数的绝对值越接近1，相关度越强，所以当相关系数越接近1，相关程度越强，故选项正确；
对于，因为回归直线方程中的，所以变量成正相关关系，故选项正确；
对于，因为残差平方和越小，拟合效果越好，所以选项正确，
综上：说法不正确的是，
故选：.
5．（广东省茂名市2023届高三二模数学试题）从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；
要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，
所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；
数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.
所以该三位数能被3整除的概率为.
故选：D
6．（2023春·湖南·高三临澧县第一中学校联考期中）甲盒中有2个红球和1个黄球，乙盒中有1个红球和2个黄球，丙盒中有1个红球和1个黄球．从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】事件从丙盒抽到的是红球可视为事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球，
事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，事件丙盒抽到红球，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，
丙盒抽到红球，事件甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的和事件，利用互斥
事件的概率加法公式和概率乘法公式求解即可.
【详解】甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，
因此丙盒中抽到的红球的概率为．
故选：A．
7．（2023·高三课时练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立；
②，，是两两互斥的事件；
③；
④；
⑤
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】先判断出，，是两两互斥的事件，且不满足，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.
【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且
，，而，①错误，②正确；
，，所以，③正确；
④正确；
，⑤错误，综上：结论正确个数为3.
故选：C
8．（2022春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，
分别求出利用条件概率公式即可求解.
【详解】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,，
所以
所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：.
故选：C.
二、多选题
9．（2023春·福建福州·高三福州三中校考期中）已知A，B，C为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据条件概率和独立事件概率公式依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，当事件为独立事件，则，故A错误；
对选项B，当事件为互斥事件时，，
故B错误；
对选项C，，故C正确；
对选项D，，故D正确.
故答案为：AB
10．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是年至年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则（ ）
A．年我国新能源汽车年产量逐年增加
B．年我国新能源汽车年产量的极差为万辆
C．年我国汽车年总产量超过万辆
D．年我国汽车年总产量不低于年我国汽车年总产量
【答案】BC
【分析】根据我国新能源汽车年产量图可判断AB选项；计算出、、这三年我国汽车年总产量，可判断CD选项.
【详解】对于A选项，由图可知，从年到年，我国新能源汽车年产量在下降，故A错；
对于B选项，年我国新能源汽车年产量的极差为万辆，故B对；
对于C选项，年我国汽车年总产量约为万辆，故C对；
对于D选项，年我国汽车年总产量为万辆，
年我国汽车年总产量为万辆，
所以年我国汽车年总产量低于年我国汽车年总产量，故D错.
故选：BC
11．（2023春·湖南张家界·高三慈利县第一中学校考期中）对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本点数据，则下列结论正确的是（ ）
A．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心
C．若以模型拟合该组数据，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则a，h的估计值分别是3和6
D．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好
【答案】BCD
【分析】根据回归方程的性质判断A，B，比较列方程确定a，h的估计值判断C，根据残差和的意义判断D.
【详解】对于A，若两变量x，y具有线性相关关系，则所有样本点都可能不在回归直线上，A错误；
对于B，若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心，B正确；
对于C，因为，所以，即，又，所以a，h的估计值分别是3和6，C正确；
对于D，残差平方和越小，拟合效果越好，D正确；
故选：BCD.
12．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考期中）设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则A，B相互独立
C．若A与B相互独立，则D．若A与B相互独立，则
【答案】BD
【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，因为，，
所以，所以A，B相互独立，故B正确；
对于C，A与B相互独立，则也相互独立，
则，故C错误；
对于D，A与B相互独立，则也相互独立，
所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联考数学试题）人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是________．（用分数表示）
【答案】
【分析】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，由题有，即可得答案.
【详解】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，则
，不吸烟者中患肺癌的概率为.
又由全概率公式有，
则，解得．
故答案为：
14．（浙江省衢温5 1联盟2022-2023学年高三下学期联考数学试题）在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是______.
【答案】/
【分析】设每次射击击中目标的概率为，根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；
【详解】设每次射击击中目标的概率为，则，即，
所以，所以；
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】由正态分布的对称性可知：，解得：，
因为，所以，由基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以不等式得最小值为
故答案为：
16．（2023·上海·高三专题练习）现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则___________.
【答案】8
【分析】方法一：根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.
【详解】方法一：设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为：
红白白，取法数为：
白红白，取法数为：
红红白：取法数为：
所以第三次取出的是白球的总情形数为：
则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：
当时，.
故答案为:8．
方法二：设“取出第个袋子”，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”， 则，且，，，两两互斥，，
，，所以，
所以，，即，解得：.
故答案为：．
【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题
根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)
再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)
最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可.
累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤.
四、解答题
17．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：
如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”.
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；
(2)从样本中为“足球迷”的观众中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人进行交流，求3人都是男性观众的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关
(2)
【分析】（1）由频率分布表填写列联表，计算，与临界值比较确定结论；
（2）由分层抽样确定男性和女性人数，5人中随机抽取3人，列举所有可能的结果，由古典概型公式计算概率.
【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为.
所以在抽取的200人中，“足球迷”有人.
故列联表如下：
所以.
因为，所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.
（2）样本中为“足球迷”的观众有50人，男､女人数之比为.
故用分层抽样方法从中抽出5人，男性有4人，记为，女性有1人，记为，
从这5人中再随机抽取3人，有，共10个结果，
其中3人都是男性观众的结果有4个，
所以3人都是男性观众的概率为.
18．（河南省TOP二十名校2022-2023学年高三下学期四月冲刺考（一）文科数学试题）太平洋是地球上岛屿最多的大洋，有大小岛屿2万多个，岛屿面积约占世界岛屿总面积的45%，蕴藏着丰富的动植物资源．为了解太平洋某海域的岛屿上植物种数的生态学规律，随机选择了6个岛屿，搜集并记录了每个岛屿的植物种数（单位：个）和岛屿面积（单位：平方千米），整理得到如下数据：
并计算得，．
(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系．根据表中前4号样本数据，求y关于x的线性回归方程；
(2)根据所求的线性回归方程计算第5，6号样本植物种数的预报值，并与相应植物种数的真实值y进行比较．若满足，则可用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数，并估计面积为100平方千米的岛屿上的植物种数；若不满足，请说明理由．
参考公式：，．
【答案】(1)；
(2)不能.
【分析】（1）根据给定数表，求出，再利用最小二乘法公式求解作答.
（2）利用（1）中线性回归方程，按要求计算并判断作答.
【详解】（1）依题意，，
，，
所以所求线性回归方程为.
（2）当时，，，
当时，，，
所以不能用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数.
19．（2023·宁夏中卫·统考二模）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：
(1)根据表中数据判断，与（其中e＝2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果，求关于的回归方程；（结果精确到小数点后第三位）
附：线性回归方程中，，
参考数据：，，，
(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？
【答案】(1)适宜
(2)
(3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大
【分析】（1）根据增加速度逐渐变快即可得解；
（2）对两边取自然对数，得，转化为线性相关，再利用最小二乘法求出线性回归方程，再转化为关于的回归方程即可；
（3）对于首场比赛的选择分A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，三种情况讨论，分别求出对应概率，即可得出结论.
【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，
所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；
（2）对两边取自然对数，得，
令，得,
由于，，，
则，
，
∴关于的回归直线方程为，
则关于的回归方程为；
（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：
A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，
由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，
则甲公司获胜的概率分别是
，
，
，
由于，
∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．
20．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，400名学生物理成绩的频率分布直方图如图所示.
其中成绩分组区间是：，，，，，已知成绩在，，之间的人数依次构成等差数列.
(1)求图中，的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这400名学生物理成绩的中位数（结果保留整数）；
(3)若这400名学生物理成绩各分数段的人数（）与化学成绩相应分数段的人数（）之间的关系如下表所示，求化学成绩低于50分的人数.
【答案】(1)；
(2)72；
(3)23.
【分析】（1）根据频率分布直方图，各小矩形面积和为1，结合已知求出a，b值作答.
（2）求出物理成绩在分组各区间内的频率，确定中位数所在区间并求出作答.
（3）求出物理成绩在分组各区间内的频数，结合已知即可求解作答.
【详解】（1）因为成绩在，，之间的人数依次构成等差数列，则，，0.02也等差数列，
因此，又，即，
联立，解得，
所以.
（2）由频率分布直方图知，物理成绩在的频率依次为：，
则这400名学生物理成绩的中位数，由，解得，
所以这400名学生物理成绩的中位数为72.
（3）由（2）知，这400名学生物理成绩在，，，，的人数依次为：
，，，，，
则这400名学生化学成绩在，，，，的人数依次为15，162，80，100，20，
所以化学成绩低于50分的人数为.
21．（2023·江西·校联考模拟预测）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.
(1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.
（i）请用表示；
（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.
【答案】(1)分布列见解析，，
(2)（i），（ii）答案见解析
【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解；
（2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列cngestin求出设备升级后单位时间内的利润，即为；
（ii）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论.
【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，
；
（2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以
设备升级后单位时间内的利润为，即；
（ii）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，
则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
则，
所以当时，，单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当时，，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键.
22．（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
【答案】(1)，
(2)证明见解析；
(3)时，，当时，，统计含义见解析
【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；
（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.
【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,
…
0
1
1-
日均收看世界杯时间（时）
频率
0.1
0.18
0.22
0.25
0.2
0.05
非足球迷
足球迷
合计
女
70
男
40
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非足球迷
足球迷
合计
女
70
10
80
男
80
40
120
合计
150
50
200
样本号i
1
2
3
4
5
6
岛屿面积x
6
15
25
34
44
54
植物种数y
5
10
15
19
24
31
年份
2018
2019
2020
2021
2022
编号x
1
2
3
4
5
企业总数量y（单位：千个）
2.156
3.727
8.305
24.279
36.224
分数段
，之间的关系
0
1
2
3
产量
0
设备运行概率
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元）
2
1