新高考数学三轮冲刺练习培优专题07 立体几何平行、垂直、体积、动点、最值归类（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4115" 重难点题型归纳 PAGEREF _Tc4115 \h 1
\l "_Tc19118" 【题型一】 平行存在型 PAGEREF _Tc19118 \h 1
\l "_Tc18746" 【题型二】线线垂直存在型 PAGEREF _Tc18746 \h 2
\l "_Tc239" 【题型三】线面、面面垂直存在型 PAGEREF _Tc239 \h 3
\l "_Tc17525" 【题型四】不等体积与比例体积转化 PAGEREF _Tc17525 \h 4
\l "_Tc27623" 【题型五】分割：两部分体积比 PAGEREF _Tc27623 \h 5
\l "_Tc18866" 【题型六】 不规则多面体体积 PAGEREF _Tc18866 \h 6
\l "_Tc30043" 【题型七】 等体积应用：点到面距离 PAGEREF _Tc30043 \h 7
\l "_Tc7920" 【题型八】 异面直线所成的角 PAGEREF _Tc7920 \h 8
\l "_Tc26997" 【题型九】 线面角 PAGEREF _Tc26997 \h 9
\l "_Tc3400" 【题型十】 二面角：定义法 PAGEREF _Tc3400 \h 10
\l "_Tc19482" 【题型十一】 知二面角求线面角 PAGEREF _Tc19482 \h 11
\l "_Tc13177" 【题型十二】 无交线 PAGEREF _Tc13177 \h 12
\l "_Tc27084" 【题型十三】体积最值 PAGEREF _Tc27084 \h 13
\l "_Tc14769" 【题型十四】 翻折：线面垂直 PAGEREF _Tc14769 \h 14
\l "_Tc2262" 【题型十五】 翻折：面面垂直 PAGEREF _Tc2262 \h 15
\l "_Tc22685" 【题型十六】 动点型体积求参数 PAGEREF _Tc22685 \h 16
\l "_Tc1168" 好题演练 PAGEREF _Tc1168 \h 17
重难点题型归纳
【题型一】 平行存在型
【典例分析】
在四棱锥中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求证：；
（Ⅲ）在棱上是否存在点（异于点）使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【变式演练】
如图，在直三棱柱中，点是线段上的动点.
（1）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请写出值，并证明此时，平面；若不存在，请说明理由；
（2）已知平面平面，求证：.
【题型二】线线垂直存在型
【典例分析】
如图，在三棱柱中，底面，，点是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：∥平面．
（Ⅲ）设，，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置; 若不存在，说明理由．
【变式演练】
已知长方体，点为的中点．
（1）求证：面；
（2）若，试问在线段上是否存在点使得，若存在求出，若不存在，说明理由．
【题型三】线面、面面垂直存在型
【典例分析】
三棱锥中，，面面．
（1）求长；
（2）求三棱锥体积；
（3）内（含边界）上是否存在点，使面． 若存在点，求出点的位置；若不存在点，说明理由．
【变式演练】
直三棱柱中，，，，点是线段上的动点.
（1）当点是的中点时，求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.
【题型四】不等体积与比例体积转化
【典例分析】
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.
(1)证明：；
(2)若平面，求三棱锥的体积.
【变式演练】
如图，矩形所在平面垂直于直角所在平面，，，，点在上且，为的中点，交于点.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求的长.
【题型五】分割：两部分体积比
【典例分析】
如图，四边形为矩形，平面，，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在线段上，且，过、、三点的平面将多面体分成两部分，设上、下两部分的体积分别为、，求.
【变式演练】
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为
(1)证明:直线平面.
(2)过点的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比.
【题型六】 不规则多面体体积
【典例分析】
在如图所示的多面体中，平面，，，，点、分别为、的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求多面体的体积．
【变式演练】
在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且.
(1)求证：E、F、G、H四点共面；
(2)若平面EFGH截四面体ABCD所得的五面体的体积占四面体ABCD的，求k的值.
【题型七】 等体积应用：点到面距离
【典例分析】
.如图，在直三棱柱中，D为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)设P为与的交点，若是边长为2的等边三角形，，求点P到平面的距离.
【变式演练】
如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【题型八】 异面直线所成的角
【典例分析】
已知三棱锥中，△ABC，△ACD都是等边三角形，，E，F分别为棱AB，棱BD的中点，G是△BCE的重心．
(1)求异面直线CE与BD所成角的余弦值；
(2)求证：FG平面ADC．
【变式演练】
如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，又为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与所成角的余弦值；
【题型九】 线面角
【典例分析】
如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA＝AD＝3，CD=．
（1）求证：AF平面PCE；
（2）求点F到平面PCE的距离；
（3）求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．
【变式演练】
如图，是的直径，动点P在所在平面上的射影恰是上的动点C，，D是的中点，与交于点E，F是上的一个点．
（Ⅰ）若平面，求的值；
（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值．
【题型十】 二面角：定义法
【典例分析】
如图，在四棱锥中，平面，， ，且，，
(1)求证：；
(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，请说明点的位置，如果不存在，请说明理由．
【变式演练】
.如图所示，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，E、F分别是棱BC、PD的中点．
(1)求证：平面PAB；
(2)若，，，，求二面角的正切值．
【题型十一】 知二面角求线面角
【典例分析】
如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，点分别在线段和上，且．
（1）求证：平面；
（2）设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．
【变式演练】
如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，且．
（1）求证：平面；
（2）设二面角为．若，求直线与平面所成角的正弦值.
【题型十二】 无交线
【典例分析】
如图，在平行四边形中，，，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且，，分别为，的中点.
(1)证明：平面.
(2)若平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.
【变式演练】
如图所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,侧棱⊥底面且．
(1)指出棱与平面的交点的位置（无需证明）；
(2)求点到平面的距离．
【题型十三】体积最值
【典例分析】
如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，点满足，，．
(1)若平面，求的值；
(2)当三棱锥体积最大时，求点位置，并求体积的最大值．
【变式演练】
如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，，EF是圆柱上异于AD，BC的母线，P，Q分别为线段BF，ED上的点．
(1)若P，Q分别为BF，ED的中点，证明：平面CDF；
(2)若，求图中所示多面体FDQPC的体积V的最大值．
【题型十四】 翻折：线面垂直
【典例分析】
如图，将直角边长为的等腰直角三角形，沿斜边上的高翻折，使二面角的大小为，翻折后的中点为.
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
【变式演练】
如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角.
（1）求证：平面BDE；
（2）求四棱锥体积.
【题型十五】 翻折：面面垂直
【典例分析】
如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE.
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积.
【变式演练】
．图1是由和组成的一个平面图形，其中是的高，，，，将和分别沿着，折起，使得与重合于点B，G为的中点，如图2.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求点C到平面的距离.
【题型十六】 动点型体积求参数
【典例分析】
如图，是边长为3的等边三角形，四边形为正方形，平面平面.点，分别为棱，上的点，且，为棱上一点，且.
（Ⅰ）当时，求证：平面；
（Ⅱ）已知三棱锥的体积为，求的值.

【变式演练】
如图，四边形ABCD为矩形，△BCF为等腰三角形，且∠BAE＝∠DAE＝90°，EA//FC.
（1）证明：BF//平面ADE.
（2）设，问是否存在正实数，使得三棱锥A﹣BDF的高恰好等于BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
好题演练
1．（2023春·浙江·高三台州市书生中学校联考）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
(1)求证：平面；
(2)已知点在上满足平面，求的值.
2．（2023高三考前模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1)求证：QN∥平面PAD；
(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
3．（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学）三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，与交于点的中点分别为，如图所示.
(1)在平面内找一点，使平面，并加以证明；
(2)求三棱锥的体积.
4．（2023春·全国·高三专题练习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．
(1)若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明．
(2)求多面体的体积．
5．（2023·四川自贡·统考三模）图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
6．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，，，平面平面ABCD，点M在线段PB上，平面MAC．
(1)判断M点在PB的位置并说明理由；
(2)记直线DM与平面PAC的交点为K，求的值；
(3)若异面直线CM与PA所成角的余弦值为，求二面角的平面角的正切值．
7．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考）如图，四面体中，都是边长是1的正三角形，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)当变化时，求该四面体表面积的最大值；
(3)当变化时，求该四面体体积的最大值.
【技法指引】
找面的经验：
1.任何一对互相平行平面，和第三个平面相交，交线互相平行
2.利用平移法做出平行四边形。要把平行线“沿着某个轨道（线）扔进面内”
3.利用中位线（等比例线段）做出平行四边形，关键在于怎么找“三角形”构造“中位线”
【技法指引】
使用好“逆向思维”这个证明垂直的捷径方法：要证明的必然是成立的。从这里出发，加上题中垂直条件，就能找到一些隐藏的垂直关系，再调整顺序即可证明
【技法指引】
1.等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。
2.尽可能寻找在表面的三个点
3.利用好“同底等高”和“同底比例高”。
【技法指引】
1.直接求体积，大多数是难度较大。
2.利用等体积转化（或者不等体积转化）
3.寻找合适的底面和平行高转化。
【技法指引】
1.大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥
2.多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”
【技法指引】
异面直线角，主要是用平移法求解，所以简称“平移角”。
1.直接借助平行线平移。
2.借助补形来“平移”。把棱锥等补为棱柱，可以得到相同位置“平行关系”
【技法指引】
直线与平面所成的角是指直线与其在平面内射影所成的角，简称为“射影角”
找（做，证）垂线
2.找摄影线
【技法指引】
二面角的平面角，主要是定义法和垂面法来求。
定义法：在棱上一点分别在两半平面做（证）棱的垂线。
垂面法：与棱垂直的平面与两个半平面相交，交线所成的角即为所求