新高考数学三轮冲刺练习查补易混易错点04 三角函数与解三角形及平面向量（2份，原卷版+解析版）

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三角函数、解三角形与向量，是高考的重点考查内容之一，一直也是教学的重点，其中一道三角函数（解三角形为主）的大题，一道或者两道三角函数小题，一道向量小题，向量多数是以向量基础知识为考察内容，三角函数与解三角形则是从多个角度考察学生对三角函数与解三角形知识的综合应用能力和分析能力。常以三角函数的定义，同角三角函数的基本关系以及诱导公式，和差角二倍角公式为基础考察三角函数的求值，值域，最值，单调性，周期性等问题，解三角形则以正余弦定理为依托，考察三角函数求值，三角形面积，三角形周长面积最值范围，三角恒等式证明等。对三角变换要求一般，更加强化对基本知识基本技能基本思想的考察。
易错点1：忽视（漏）三角函数特别是正切函数的定义域。
易错点2：忽视（漏）三角函数求单调区间时，系数是否是正的。
易错点3：忽视（漏）三角函数“左加右减”时系数是否是1.否则需要“提”系数。
易错点4：忽视（漏）解三角形时锐角三角形这个条件下的角度取值范围需要互相“制约”
易错点5：忽视（漏）求函数取值范围等时三角函数正余弦的有界性
易错点6：忽视（漏）解三角形时是否有多解或者多解中出现“增解”
易错点7：忽视（漏）向量共线（平行）是同向与反向
易错点8：忽视（漏）向量求模计算忘记“开根号”
易错点9：忽视（漏）两向量夹角的范围
易错点10：忽视（漏）解三角形时使用正弦定理边角互化，要注意是否齐次式，能否消掉2R
易错点11：忽视（漏）解三角形时cs=0有可能成立，sin则恒大于0
一、单选题
1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象可得，即可求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得解.
【详解】依题意可得，解得，又，
所以，解得，
所以，又函数过点，所以，
即，所以，，所以，，
又，所以，
所以.
故选：A
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考）在中，，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【分析】利用三角公式得到，求出，即可判断.
【详解】在中，因为，
所以，
即,
展开，整理化简得：.
因为为三角形内角，所以，所以.
因为为三角形内角，所以，
所以为直角三角形.
故选：B
3．（2023春·江西赣州·高三校考）△ABC中，已知，，，如果△ABC有两组解，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得，列出关于的不等式求解即可.
【详解】在中，已知，，，
由于有两组解，则，即，即.
故选：C.
4．（2023春·江西赣州·高三校考）函数零点的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】画出函数和的图象，根据函数图象得到答案.
【详解】画出函数和的图象，其中，如图,
由图可知，
当时，，两函数图象没有交点；
当时，两函数图象有3个交点；
当时，，两函数图象没有交点，
综上，函数和的图象有3个交点，
所以，函数零点的个数为3．
故选：C.
5．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三下学期联考数学试题）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，结合题意得，结合即得解.
【详解】，
因为，所以，
又，所以．
故选：B．
6．（2023·广东茂名·统考二模）已知函数，若实数a、b、c使得对任意的实数恒成立，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】设，得到，根据题意转化为，由此得出方程组，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】设，
可得，其中，且，
因为实数使得对任意的实数恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以
由上式对任意恒成立，故必有，
若，则由式①知，显然不满足式③，所以，
所以，由式②知，则，
当时，则式①，③矛盾.
所以，由式①，③知，所以.
故选：B.
7．（2023·上海闵行·统考二模）已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（ ）
A．1B．－1C．0D．1或－1
【答案】B
【分析】根据题意令分析可得关于t的方程有两个不相等的实根，结合韦达定理可得，分类讨论的分布，结合正弦函数分析判断.
【详解】令，
令，则，即，
∵，
则关于t的方程有两个不相等的实根，设为，令，
可得，则有：
1.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，无实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
2.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：无实数根，在内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
3.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
4.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有且仅有一个实数根，
①对任意正奇数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
②对任意正偶数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
5.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有且仅有一个实数根，在内有两个不相等的实数根，
①对任意正奇数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，符合题意；
②对任意正偶数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
综上所述：当，时，符合题意.
此时，解得.
故选：B.
8．（2023春·北京·高三校考开学考试）已知函数在区间上的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用的单调区间，对区间进行分类讨论，从而求出的表达式，进而可求的最小值.
【详解】因为的最小正周期为，由的图像与性质可知，
的单调递增区间为,单调递减区间为，
当时，即，此时最大值为，
故，恒为定值1，
当时，即，
在单调递增，此时最大值为，
又，所以此时的最小值为，当且仅当时取到，
当时，且，得到，
又，所以，此时最大值为，又，
所以此时的最小值为，当且仅当时取到，
当时，即，
在单调递减，此时最大值为，
当时，且，得到，
又，所以，
此时最大值为，
所以当时，
又因为在区间上单调递减，故当时，取到最小值，且最小值为，
综上可知，
的最小值为，当时取到，
故选：D.
二、多选题
9．（2023春·福建福州·高三福州日升中学校考）已知向量，，则（ ）
A．B．与向量共线的单位向量是或
C．D．与的夹角余弦值为
【答案】BC
【分析】根据平面向量共线的性质，结合平面向量夹角公式、数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】两个向量的横坐标不同，显然两个向量不相等，故选项A不正确；
与向量同向的单位向量为，
与向量反向的单位向量为，所以选项B正确；
因为，
所以，因此选项C正确；
，与的夹角余弦值为，
因此选项D不正确，
故选：BC
10．（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知，在下列向量中，不能与向量组成平面中一组基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】不能与向量组成平面中一组基底的是两个向量共线,根据向量共线坐标运算公式分别判断各个选项即可.
【详解】与向量组成一组基底是两个向量不共线,
不能与向量组成平面中一组基底的是因为两个向量共线,
与,,与不共线可以做基底,A选项不合题意;
与,,与不共线可以做基底,B选项不合题意;
与,,,C选项正确;
与,,,D选项正确;
故选:CD.
11．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考）在中，，，E为AC上一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】先利用正弦定理和余弦定理求出，.不妨设，.对四个选项一一验证：
对于A：直接判断；对于B：利用模长公式求出，即可判断；
对于C：利用正弦定理分别表示出，.即可证明；对于D：利用余弦定理分别求出， .即可判断.
【详解】在中，因为，
所以，即.
因为，所以由余弦定理得：.
不妨设，则.
对于A：.故A正确；
对于B：因为，
所以
所以.故B正确；
对于C：在中，由正弦定理得：，所以.
同理可求：.
因为，所以.
所以.
因为，所以，即.
而，所以.故C正确；
对于D：因为，，所以
在中，，，，由余弦定理得：
.
同理可求：.
所以不成立.故D错误.
故选：ABC
12．（2021·高三课时练习）已知，则下列选项正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由已知条件，两边平方求出，即可判断A；再根据，得出和，由即可判断B；再根据即可判断C和D，进而得出答案．
【详解】两边平方，得，
即，则，选项A正确；
因为，所以，
又因为，所以，
因为，
所以，选项B正确，
因为，故D正确， C错误，
故选：ABD．
三、填空题
13．（湖南省湖湘教育三新探索协作体2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知，，且，，则___________.
【答案】
【分析】首先求出，，再根据两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，，且，，
所以，，
所以.
故答案为：
14．（西藏拉萨市2023届高三一模数学（理）试题）已知函数在上有且仅有两个零点.若，且，对任意的，都有，则满足条件的的个数为__________.
【答案】1或2
【分析】由题意可知当时有，由换元法可得在上有且仅有两个零点，则，结合余弦函数的图象，即可求解.
【详解】由，对任意的，都有，
得对任意的，都有，
所以为在上的最大值，为在上的最小值.
令，则在上有且仅有两个零点，
根据余弦函数的图象，得，所以.
如图，因为，所以，，，且，
所以在上，当时，仅取得1次最小值-3，
即，满足条件的的个数为1；
当时，可取得2次最小值-3，
即，满足条件的的个数为2.
综上，满足条件的的个数为1或2.
故答案为：1或2.
15．（2023春·湖北武汉·高三华中科技大学附属中学校联考）已知函数），若方程在 上恰有5个实数解，则实数的取值范围为___．
【答案】
【分析】由可得，运用换元法令，将问题转化为在上恰有5条对称轴，画图象运用数形结合列式即可求得结果.
【详解】当时，，
因为函数在区间上恰好有5个x，使得，
故在上恰有5条对称轴．令，
则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．
故答案为：.
16．（2023·吉林·统考三模）规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】（注：可以用不等关系表示）
【分析】讨论和的条件，时，，根据正余弦函数的单调区间解不等式即可.
【详解】函数，
当时，，
当时，，
时，，在上单调递增，
则有或，
解得，当时，有解；
或，当时，有解.
实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．（2023春·浙江·高三校联考）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行的结论即可求出结果；
（2）根据向量的数量积运算结合平方关系、两角和的正弦公式即可求出结果.
【详解】（1）
即
（2）
，且①
，且②
由①②知.
18．（2023·陕西·统考一模）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间及对称轴方程；
(2)若在中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值．
【答案】(1)单调减区间为，；对称轴方程，
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用整体代入法求函数的单调递减区间及对称轴方程；
（2）由，求出角A，余弦定理求的最大值，面积公式可求面积的最大值．
【详解】（1），
由，，得函数的单调减区间为，．
由，，得，，
所以函数的对称轴方程，．
（2）由得，由，∴，∴．
又，由余弦定理得，
所以，得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为．
19．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将条件整理，然后利用正弦定理角化边，最后利用余弦定理求解；
（2）先根据的面积得到的值，再结合（1）中得到的关系可得的值，则周长可求.
【详解】（1），
，
，
由正弦定理角化边得，
，又，
；
（2）由已知得，
，又，
，
，
，
的周长为.
20．（2006·江西·高考真题）如图，已知是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过的中心G，设．
（1）分别记，的面积为，，试将，表示为的函数．
（2）求的最大值与最小值．
【答案】(1) ，． (2) 最大值240,最小值216
【分析】（1）根据点是正的中心，可求得，进而利用正弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得，同理可得；
（2）把（1）中求得和代入求得函数的解析式，进而根据的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大值和最小值．
【详解】（1）点是正的中心，．
在中，，，
．
在中，同理，可得．
，
．
（2）
，当时，；
当或时，．
【点睛】本题考查解三角形的问题，考查学生综合分析问题和解决问题的能力，由一定综合性．
21．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理结合得到，求出答案；
选②，由正弦定理得到，利用余弦定理得到，求出答案；
选③，由正弦定理得到，由辅助角公式得到，求出答案；
（2）利用正弦定理和余弦定理得到，结合△ABC为锐角三角形，求出，求出答案.
【详解】（1）若选①
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以.
若选②
由，化简得.
由正弦定理得：，即，所以.
因为，所以.
若选③
由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
由（1）知：，又с=1代入上式得：
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，，
所以.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
22．（2022·浙江·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求C；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由题给条件求得，进而求得；
（2）先利用正弦定理和题给条件求得和，再构造函数，求得此函数值域即为的取值范围
【详解】（1）由，
可得，则
整理得，解之得或
又，则，则，则
（2）A ，B为的内角，则
则由，可得，则均为锐角
又，则，
则，则
则
令，则
又在单调递增，，
可得，则的取值范围为，
则的取值范围为