新高考数学一轮复习基础+提升训练专题2.1 指数函数、对数函数与幂函数（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础+提升训练专题2.1 指数函数、对数函数与幂函数（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习基础+提升训练专题21指数函数对数函数与幂函数原卷版doc、新高考数学一轮复习基础+提升训练专题21指数函数对数函数与幂函数解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。

考点1 根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
考点3 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点4 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN； ②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)； ④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1).
【225】．（2022·全国·高考真题·★★★）
已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
【226】．（2022·北京·高考真题·★★）
己知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】
，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
【227】．（2021·天津·高考真题·★★）
若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】
，，
.
故选：C.
【228】．（2021·全国·高考真题·★★★）
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】
由，当时，，
则.
故选：C.
【229】．（2014·江西·高考真题·★）
已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案
【详解】
解：由题意得，
所以，解得a=.
故选：A
【点睛】
此题考查分段函数求值问题，属于基础题
【230】．（2020·全国·高考真题·★★★）
Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入函数结合求得即可得解.
【详解】
，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
【231】．（2020·全国·高考真题·★）
设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】
由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
【232】．（2014·山东·高考真题·★）
函数的定义域为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
由已知，解得，故选C.
考点：函数的定义域，对数函数的性质.
【233】．（2018·全国·高考真题·★★）
已知函数，若，则________．
【答案】-7
【解析】
【详解】
分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
【234】．（2017·全国·高考真题·★★★）
设函数则满足的x的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【详解】
由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
【235】．（2015·浙江·高考真题·★）
计算：_________，_________．
【答案】
【解析】
【详解】
；.
考点：对数运算
【236】．（2015·安徽·高考真题·★）
__________.
【答案】-1
【解析】
【详解】
原式＝
考点：本题主要考查对数运算公式和指数幂运算公式.
【237】．（2014·陕西·高考真题·★）
已知则=________.
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：由得，所以，解得，故答案为.
考点：指数方程；对数方程.
【238】．（2014·安徽·高考真题·★）
________.
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：原式=
考点：1.指对数运算性质.
【239】．（2022·全国·模拟预测·★★★）
血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）（结果精确到0.1，，，）
A．0.4小时B．0.5小时C．0.6小时D．0.7小时
【答案】D
【解析】
【分析】
依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数
【详解】
设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： D
【240】．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测·★★★）
已知函数，则的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数解析式，分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；
【详解】
解：因为且，
所以或，
解得或，
综上可得原不等式的解集为；
故答案为：
【241】．（2022·上海静安·模拟预测·★★★★）
在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）
【答案】2.5##
【解析】
【分析】
设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，
再根据题意求，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.
【详解】
设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则
由题意可知，，
，
所以
倍.
所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.
故答案为：2.5
【242】．（2022·宁夏·吴忠中学三模·★★★★）
在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为，则满足的最小正整数的值为______.（参考数据：，）
【答案】9
【解析】
【分析】
根据图形变化规律分析出的通项公式，然后求和确定.
【详解】
由图形变化规律可得，，则有，所以最小正整数的值为9.
故答案为：9.
【243】．（2022·河南·开封高中模拟预测·★★★★）
已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，．给出以下4个结论：
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数是以2为周期的周期函数；
③当时，；
④函数在上单调递减．
其中所有正确结论的序号为______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
由题意，作出函数的图象，再根据图形变换，即可判断各结论的真假．
【详解】
由题知为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意x都有，所以其图象还关于点对称，
据此可判断函数为周期函数，2是函数的周期．
又当时，，画出函数图象可知①②正确，④错误．
当时，，所以，又因为函数是以2为周期的奇函数，所以，所以，所以③也正确．
故答案为：①②③．
【244】．（2022·山东聊城·三模·★★）
设集合，，则（ ）
A．⫋B．⫋C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合，再由真子集的定义即可求出答案.
【详解】
，所以，所以，
所以，所以⫋.
故选：A.
【245】．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模·★★）
已知全集为，设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数函数定义域可得，运用集合间的运算处理．
【详解】
∵，则
∴
故选：D．
【246】．（2022·山东师范大学附中模拟预测·★★★）
已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，化简后利用换元法解此不等式可求得结果
【详解】
由题意得，小时后的电量为毫安，此时转为B模式，
可得10小时后的电量为，则由题意可得
，
化简得，
即
令，则，
由题意得，则，
令分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，
由函数和的图象可知，
该不等式的解集为，
所以，得，
故选：C
【247】．（2022·河南·模拟预测·★）
计算______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数的运算可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
【248】．（2022·黑龙江·大庆中学二模·★★）
已知函数为上的奇函数，则实数______________________．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质有，列方程求参数a即可.
【详解】
由题设，
所以，可得.
故答案为：1
【249】．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测·★★）
已知函数是奇函数，则实数a的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义即可求解；
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
即，化简整理，得，即，
所以，解得.
所以实数a的值为.
故答案为：.
【250】．（2022·山东济宁·三模·★★）
已知函数，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用函数的解析式可求得的值.
【详解】
因为，则.
故答案为：.
【251】．（2022·广东佛山·三模·★★★）
已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得a的值，再利用函数单调性把不等式转化为，解之即可求得的取值范围.
【详解】
定义在R上函数的图象关于原点对称，
则，解之得，经检验符合题意
均为R上增函数，则为R上增函数，
又，
则不等式等价于，解之得
故答案为：
【252】．（2022·陕西·交大附中模拟预测·★★）
若，且，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.
【详解】
解：因为，所以，，，又，
所以，
所以，所以，
故答案为：.
【253】．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模·★★★）
设函数，若，则_________．
【答案】0或
【解析】
【分析】
对分类讨论，代入解析式求解即可.
【详解】
当时，，解得：；
当时，，解得： ；
故答案为：或.
【254】．（2022·山东临沂·二模·★★）
已知函数，则的值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用函数的解析式结合对数运算可求得结果.
【详解】
因为，则.
故答案为：.
专题2.1.2 比较大小
【255】．（2021·天津·高考真题·★★★）
设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】
，，
，，
，，
.
故选：D.
【256】．（2016·全国·高考真题·★★★）
已知，，，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即b