新高考数学一轮复习基础+提升训练专题6.1 等差数列与等比数列基本量的计算（2份，原卷版+解析版）

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考点6.1.1 等差数列
1、等差数列的判断方法：定义法或
2、等差数列的通项：或。
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
3、等差数列的前和：，。
①前和是关于的二次函数且常数项为0.
4、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
①当时,则有，特别地，当时，则有.
5、若是等差数列 ， ，…也成等差数列.
【839】．（2007·辽宁·高考真题·★★）
设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的前项和的性质，列式求解.
【详解】
由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
故选：C
【840】．（2021·北京·高考真题·★★★）
《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
【841】．（2020·全国·高考真题·★★★★）
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【解析】
【分析】
第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】
设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】
本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
【842】．（2019·全国·高考真题·★★★）
记为等差数列的前n项和．已知，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】
由题知，，解得，∴，故选A．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
【843】．（2008·陕西·高考真题·★★）
是等差数列，，，则该数列前10项和等于
A．64B．100C．110D．120
【答案】B
【解析】
【详解】
设等差数列的公差为，由a1+a2=4，a7+a8=28，可得：
解方程组可得.
故选：B
考点：等差数列通项公式及求和
【844】．（2008·福建·高考真题·★★）
设是等差数列，若，则数列前8项的和为
A．128B．80C．64D．56
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的求和公式以及角标之和的性质求解即可.
【详解】
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等差数列的求和公式以及角标之和的性质，属于基础题.
【845】．（2012·浙江·高考真题·★★★）
设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是
A．若d＜0，则数列{S n}有最大项
B．若数列{S n}有最大项，则d＜0
C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S n＞0
D．若对任意的nN*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列
【答案】C
【解析】
【详解】
特殊值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0，1，2，…，满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn>0不恒成立选C.
【846】．（2018·全国·高考真题·★★★）
设为等差数列的前项和，若，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
【847】．（2022·全国·高考真题·★★）
记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
转化条件为，即可得解.
【详解】
由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
【848】．（2020·全国·高考真题·★★）
记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
【849】．（2019·全国·高考真题·★★★）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4.
【解析】
【分析】
根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】
因，所以，即，
所以．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
【850】．（2017·北京·高考真题·★★）
若等差数列和等比数列满足，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.
【详解】
设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，
求得，，那么，故答案为.
【考点】
等差数列和等比数列
【点睛】
等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
【851】．（2014·北京·高考真题·★★★）
若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．
【答案】8
【解析】
【详解】
试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以
所以，所以，，故数列的前8项最大.
考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.
【852】．（2013·广东·高考真题·★★）
在等差数列中,已知,则_____.
【答案】
【解析】
【详解】
依题意,所以.或:.
【考点定位】考查等差数列的性质和通项公式．
【853】．（2022·青海·模拟预测·★★★）
已知等差数列的前n项和为，满足，，若数列满足，则m＝（ ）
A．9B．10C．19D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用等差数列的前n项和结合等差数列性质，求出异号的相邻两项即可作答.
【详解】
等差数列的前n项和为，则，有，
，有，显然数列是递减的，且，
因，所以.
故选：B
【854】．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测·★★★）
数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分析数列的单调性，计算、，即可得出结论.
【详解】
因为，，则，故数列为递增数列，
因为，，
且当时，，所以，当时，，
所以，满足当时，的最大值为.
故选：C.
【855】．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测·★★★★）
已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得出关于的等式，结合可求得的值，求出、，分析数列的单调性，即可求得的最小值.
【详解】
由已知可得，即，可得，，解得，
，所以，，
，
令，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，数列中，最小，故的最小值为.
故选：D.
【856】．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测·★★★）
2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺
【答案】60
【解析】
【分析】
因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，所以夏至到立冬的日晷长的和可以用等差数列求和公式得到.
【详解】
因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，
设冬至日晷长13.5尺为，则芒种日晷长2.5尺为，所以，
所以夏至日晷长为1.5尺，
记夏至日晷长1.5尺为，小暑为，大暑为，……，立冬为
则.
故答案为：60.
【857】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★）
已知等差数列中，，是方程的两根，则的前21项的和为（ ）
A．6B．30C．63D．126
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质及韦达定理计算作答.
【详解】
，是方程的两根，由韦达定理得：，
所以等差数列的前21项的和．
故选：C
【858】．（2022·全国·模拟预测·★★）
已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．60B．75C．90D．105
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本量法求解得，再根据等差数列前项和的性质求解即可
【详解】
设等差数列的公差为，则由题意可得，
故，即，，故.
故选：D
【859】．（2022·江西·上高二中模拟预测·★★★）
已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用，，成等差数列解出，再利用求和公式化简求值即可.
【详解】
解：设等比数列公比为，由，，成等差数列可得，，化简得，解得或，
当时，2；
当时，.
故选：C.
【860】．（2022·海南海口·二模·★★★）
设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的前项和的性质及等差数列通项公式化简可得.
【详解】
因为，又，
所以，
所以，即，
设等差数列的公差为，
则，
所以，又，
所以，
所以．
故选：C.
【861】．（2022·贵州贵阳·模拟预测·★★★）
《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用等差数列前n项和公式求出首项即可计算作答.
【详解】
依题意，这5人得到的橘子数按从小到大的顺序排成一列构成公差的等差数列，
而数列的前5项和，由，解得，则，
所以分得橘子最多的人所得的橘子数为18.
故选：D
【862】．（2022·江苏·模拟预测·★★★）
已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得，进而可得，然后可得，利用等差数列的定义及求和公式即得.
【详解】
由得，
即，
所以，所以，
两式作差，得，即，
所以，
所以或，又，
故，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以数列的前n项和.
故选：A.
【863】．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测·★★）
若等差数列满足，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由是等差数列可得，从而即可求出的值．
【详解】
解：是等差数列，
，
．
故答案为：8．
【864】．（2022·上海普陀·二模·★★★）
已知等差数列（）满足，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质可得，进而可求结果.
【详解】
由题设，
所以，即.
故答案为：1
【865】．（2022·上海虹口·二模·★★★）
已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据等比数列的前项和的基本量的计算求出，即可得到数列的通项公式，再根据等差数列的前项和公式即可解出．
【详解】
由题可得，，而，解得：，所以，即，所以．
故答案为：．
【866】．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测·★★）
已知等差数列的前n项和为，若，，则___________．
【答案】6061
【解析】
【分析】
设出首项和公差，列出方程组，求出首项和公差，从而求出答案.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为d，
则
解得：，，
所以．
故答案为：6061
【867】．（2022·北京市大兴区兴华中学三模·★★★）
已知数列的前n项和为，，，2，3，…，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由已知条件可得数列是以为公差的等差数列，然后利用等差数列的性质和求和公式可求得结果
【详解】
因为，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列，
所以，
故答案为：
【868】．（2022·重庆八中模拟预测·★★）
在等差数列中，，则数列的前13项和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由等差数列的通项公式得，再代入求和公式可求得答案.
【详解】
解：设等差数列的公差为d，因为，
，
，
则，
故答案为：．
考点6.1.2 等比数列
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列），
2.等比数列的通项公式：或。
3．等比数列的前和：
= 1 \* GB3 ①当时，； = 2 \* GB3 ②当时，。
4、等比中项：
= 1 \* GB2 ⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项，
= 2 \* GB2 ⑵当时，则有。
5、若是等比数列 ， ，…也成等比数列.
【869】．（2022·全国·高考真题·★★★）
已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】
解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
【870】．（2017·全国·高考真题·★★★）
等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．－24B．－3
C．3D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的基本量求得数列的公差，再用其前项和公式即可求得结果.
【详解】
根据题意得，即，
解得d＝0(舍去)，d，
所以数列{an}的前6项和为.
故选：A
【871】．（2021·全国·高考真题·★★）
记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】
∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【872】．（2020·全国·高考真题·★★★）
记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
【873】．（2014·北京·高考真题·★★★）
设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.
考点：等比数列
【874】．（2007·海南·高考真题·★★★）
已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】
【详解】
解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列
根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，
当且仅当x=y时取“=”，
【875】．（2018·北京·高考真题·★★★）
“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
【876】．（2017·全国·高考真题·★★★★★）
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440B．330
C．220D．110
【答案】A
【解析】
【详解】
由题意得，数列如下：
则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
【877】．（2015·全国·高考真题·★★★）
已知等比数列满足，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.
【878】．（2014·全国·高考真题·★★）
等差数列的公差是2，若 成等比数列，则的前 项和
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．
【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．
【879】．（2014·广东·高考真题·★★★★）
若等比数列的各项均为正数，且，则 .
【答案】.
【解析】
【详解】
由得，
所以
【点睛】
等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
【880】．（2019·全国·高考真题·★★★）
记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】.
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
【点睛】
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
【881】．（2009·宁夏·高考真题·★★）
等比数列的公比，已知，，则的前项和__________．
【答案】
【解析】
【详解】
由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝．
【882】．（2017·全国·高考真题·★★）
设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
【答案】-8
【解析】
【详解】
设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
【883】．（2017·江苏·高考真题·★★★）
等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则=_____．
【答案】32
【解析】
【详解】
由题意可得，所以两式相除得代入得，填32．
【884】．（2022·上海青浦·二模·★★★★★）
设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（ ）
A．B．C．D．无穷多
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得，分析可知，则是的倍数，且，由已知，对的取值进行分类讨论，求出的值，并求出对应的的值，即可得出结论.
【详解】
根据题意可知，，化简可得，
因为各项均为正整数，则，故是的倍数，且，
因为、、成等比数列，则，分以下情况讨论：
①若，则，可得，，解得，合乎题意；
②若，则，可得，，解得，合乎题意；
③若，则，可得，，解得，不合乎题意；
④若，则，可得，，解得，不合乎题意；
⑤若，则，可得，此时，是常数列，且每项均为，合乎题意.
综上所述，公差的所有可能取值的个数为.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键时分析出，然后对的取值进行分类讨论，验证的值是否满足题意，即可得解.
【885】．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测·★★★★）
1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（ ）．
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三分康托集的构造过程可知：经历第步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是，根据规律即可求出属于，进而根据不等式可求解.
【详解】
不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间
经历第步，剩下的最后一个区间为，经历第步，剩下的最后一个区间为，……，
经历第步，剩下的最后一个区间为，去掉的最后开区间为
由化简得，解得
故选:A
【886】．（2022·福建龙岩·模拟预测·★★★★★）
如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知第行第个数的指数为二项式系数，第行数字的指数之和为二项式系数之和等于，利用等比数列求和得该“数字塔”前10层的所有数字之积，利用对数运算进行计算估计．
【详解】
根据题意可得，“数字塔”中第行第个数均为的形式，该“数字塔”前10层的所有数字之积
根据指数运算可知，则按原位置排列即构成杨辉三角，可得为二项式系数，则第行数字的和为二项式系数之和等于
∴前10层的所有数字之和
该“数字塔”前10层的所有数字之积
，则
故选：C．
【887】．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测·★★★★）(多选题）
已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列D．的最小值为0，最大值为20
【答案】BCD
【解析】
【分析】
当时，解出，当时，由退位相减法求得，讨论和，求出数列的通项，再依次判断即可.
【详解】
当时，，解得或，当时，，，
整理得，当时，若，可得，若，，
可得数列为等比数列，；当时，可得，数列为等差数列，
若，可得，若，可得；故A错误；B正确；C正确；当时，；
当时，；当时，；当时，；故D正确.
故选：BCD.
【888】．（2022·河北·石家庄二中模拟预测·★★★★）(多选题）
已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）
A．数列的最大项为B．数列的最小项为
C．数列为递增数列D．数列为递增数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.
【详解】
对于A，由题意知：当为偶数时，；
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于B，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.
故选：ABC.
【889】．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测·★★★★）(多选题）
设公比为的等比数列的前项和为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．数列：，，，成等比数列
B．当时，数列是等比数列
C．是等比数列
D．是等比数列
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用等比数列的定义及求和公式，结合，等特殊情况，分析数据，即可判断选项正误.
【详解】
解：A选项中，当时，数列，，，，为等比数列，但，
所以，，，就不能构成等比数列，故A错误；
B选项中，当时，，，
则，所以为常数，
所以数列是等比数列，故B正确；
C选项中，当时，则，即，
所以不能构成等比数列，故C错误；
D选项中，，则为常数，
所以是等比数列，故D正确.
故选：BD.
【890】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）(多选题）
已知等比数列的公比为，且，记的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，递减B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由，，得到，即可判断A错误；利用等比数列的通项公式和基本不等式求解，可判定B正确；分类讨论与1的大小关系，可判定C正确；分析出的特征，得到，可判定D正确.
【详解】
对于A中，因为，，所以，所以递增，所以A错误.
对于B中，当时，
，
当且仅当时等号成立，所以B正确.
对于C中，当时，递增，因为，所以当时，；
当时，，所以当或时，最小，
所以，故C正确.
对于D中，当时，是摆动数列，偶数项为正，奇数项为负，递减，
因为，所以当或时，最大，的前2022项中有1011项为正，1011项为负，所以，所以恒成立，所以D正确.
故选：BCD.
【891】．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测·★★★★）(多选题）
给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
通过计算求出的值，运用归纳法得到之间的关系，最后根据等比数列的定义和前n项和公式进行求解判断即可.
【详解】
由题意得：，
所以有，因此选项AB不正确；
，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，因此有，因此选项C正确；
，所以选项D正确，
故选：CD
【点睛】
关键点睛：通过计算得到是解题的关键.
【892】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）
已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式计算可得；
【详解】
解：因为等比数列的公比，
所以．
故选：D
【893】．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测·★★★）
已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列求和公式求出，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出，从而求出结果.
【详解】
由题意得：，解得：，
设等比数列的公比是，因为，所以，解得：，
显然，所以，所以，
所以
故选：D
【894】．（2022·河南安阳·模拟预测·★★★）
已知等比数列的前n项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用求出，再由数列为等比数列可求出的值，从而可求得答案
【详解】
当时，，
当时，
，
因为数列为等比数列，
所以，得，
所以，
故选：A
【895】．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测·★★★★）
已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，由已知条件可得出，将代数式与相乘，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
【896】．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测·★★★）
已知正项等比数列满足，则的最小值为（ ）
A．16B．24C．32D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
由得，，再利用基本不等式可得答案．
【详解】
等比数列满足，且公比，则，，，，当且仅当时等号成立．
故选：C.
【897】．（2022·北京·人大附中模拟预测·★★★★）
如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件，确定标准对数视力从下到上的项数，再利用等比数列计算作答.
【详解】
依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，
标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，
因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.
故选：D
【898】．（2022·湖南·长郡中学模拟预测·★★★）
设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64B．128C．256D．512
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可.
【详解】
由，得.
又，得.故.
由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.
故选：A.
【899】．（2022·上海闵行·二模·★★★★）
已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；
【答案】13
【解析】
【分析】
对题干条件变形得到，整理后得到，得到能整除，且，因为，
所以，求出满足条件的不同数列的个数.
【详解】
由题意得：此等比数列的公比，
由得：，
则，即，
所以能整除，且
因为，
所以，
解得：，
经检验，均满足要求，
故满足条件的不同数列的个数为13个.
故答案为：13
【点睛】
本题的关键点为化简整理得到，结合能整除，且，，从而得到，求出答案..
【900】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）
设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
运用等比数列的相关性质，以及前n项和公式来进行相关运算即可.
【详解】
∵，∴，∴，∵，
∴，，
将代入，可得.
故答案为：
【901】．（2022·河南省杞县高中模拟预测·★★★）
在等比数列中，，则的公比______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式和已知条件可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，因为，所以或．
故答案为：或．
【902】．（2022·福建·厦门一中模拟预测·★★★）
已知等比数列的前项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.
【详解】
由已知条件得
，解得，
∴；
故答案为：.
【903】．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测·★★★★）
“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
观察“雪花”图形可得其周长之间的关系为，根据等比数列的定义可知{}是公比为、首项为的等比数列，求得，即可求出.
【详解】
由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，
则周长之间的关系为，
所以{}是公比为的等比数列，而首项，所以，
当时，“雪花”状多边形的周长为.
故答案为：
【904】．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测·★★★）
已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由等比中项的性质可得答案.
【详解】
因为等差数列的公差d不为零，则由，
知，，．
故答案为：.
【905】．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测·★★★★）
已知等比数列{an}各项均为正数，，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k的值__________ .
【答案】9 (9~12的正整数均可)
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】
在等比数列{an}中，设公比为，数列各项均为正数，所以
由，则，解得或（舍），
又，解得.
则
即，即
当，即，也即 时，有成立.
又正整数，且
又当时，，显然有成立.
当时，也有成立.
所以9～12的正整数均可满足条件.
故答案为：9
【点睛】
关键点睛：运用分类讨论法是解题的关键.
【906】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）
设数列，满足，，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列．在和中插入个数构成一个新数列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前20项和______．
【答案】1589
【解析】
【分析】
首先求出的通项公式，再判断的前项的特征，利用分组求和法计算可得；
【详解】
解：，数列是以2首项，公比为2的等比数列，
，，，，
因为，所以，，，
知显然不是数列中的项．
，
是数列中的第4项，
设是数列中的第项，则、．
，
不是数列中的项．
，
是数列中的项．
，，，，，
数列的通项公式是．
因为，
所以的前项包括的前项，以及的前项，
所以
故答案为：.
【907】．（2022·宁夏·吴忠中学三模·★★★★★）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为，则满足的最小正整数的值为______.（参考数据：，）
【答案】9
【解析】
【分析】
根据图形变化规律分析出的通项公式，然后求和确定.
【详解】
由图形变化规律可得，，则有，所以最小正整数的值为9.
故答案为：9.
【908】．（2022·浙江·模拟预测·★★★）
我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为___________里．
【答案】192
【解析】
【分析】
由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为，根据等比数列前项和公式计算即可得解.
【详解】
解：由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为，
设第一天走了里，
则，解得，
即则该人第一天走的路程为192里.
故答案为：192.