新高考数学一轮复习基础+提升训练专题6.2 求数列的通项公式（2份，原卷版+解析版）

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【909】．（2021·全国·高考真题·★★★）
记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
【910】．（2011·全国·高考真题·★★★★）
等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝化简bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】
（1）设数列{an}的公比为q,
由＝9a2a6得＝9,
所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
故.
所以数列的前n项和为
【911】．（2015·天津·高考真题·★★★）
已知数列满足，且成等差数列.
（Ⅰ）求的值和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）.
【解析】
【详解】
（Ⅰ） 由已知，有，即，
所以，又因为，故，由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，设数列的前项和为，则
，
两式相减得
，
整理得
所以数列的前项和为.
考点：等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.
【912】．（2013·湖南·高考真题·★★★★）
设为数列{}的前项和，已知，2，N
（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；
（Ⅱ）求数列｛｝的前项和．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【详解】
（Ⅰ）令，所以，因为，所以；因为，所以；，当时，，两式对减，，所以；
（Ⅱ），记｛｝的前项和为，
；
两式对减.
【913】．（2020·海南·高考真题·★★★）
已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】
(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
【914】．（2020·山东·高考真题·★★★）
已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.
（2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.
【详解】
（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）［方法一］：规律探索
由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有2个1；
对应的区间分别为，则，即有个2；
对应的区间分别为，则，即有个3；
对应的区间分别为，则，即有个4；
对应的区间分别为，则，即有个5；
对应的区间分别为，则，即有37个6．
所以．
［方法二］【最优解】：
由题意，，即，当时，．
当时，，则
．
［方法三］：
由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，．
所以
．
所以数列的前100项和．
【整体点评】
（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．
【915】．（2022·全国·模拟预测·★★★）
若数列满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等比中项法判断出为等比数列，设其公比为q（），由，求出，得到的通项公式；
（2）先得到，利用错位相减法求和.
(1)
因为数列满足，，，所以.
所以数列为等比数列，设其公比为q（）.
所以，解得：.
所以.
即的通项公式为.
(2)
由（1）可知：，所以，
所以 ①
得： ②
①-②得：
所以
【916】．（2022·上海松江·二模·★★★）
在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过基本量列方程组求解可得；
（2）先求通项，结合（1）可得通项，然后分组求和可得.
(1)
设等差数列的公差为，
由，
可得，
解得，
∴；
(2)
∵数列是首项为1，公比为3的等比数列，
∴，
又，可得，
所以
．
【917】．（2022·宁夏·银川一中模拟预测·★★★★）
已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出等比数列的公比即可得其通项公式，再求出等差数列的公差，求出其通项作答.
（2）利用（1）的结论求出，再利用错位相减法求解作答.
(1)
依题意，等比数列的公比，则有，因此，，
由得，等差数列的公差，，
所以数列、的通项公式分别为：，.
(2)
由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
所以.
考点6.2.2 累加法与累乘法
【918】．（2008·江西·高考真题·★★★）
在数列中，，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：在数列中，
故选A.
【919】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
(1)
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)

∴
【920】．（2008·福建·高考真题·★★★★）
已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn·bn+2＜b2n+1.
【答案】（1）an=1+(a-1)×1=n.（2）同解析
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，得出，即为等差数列，进一步求其通项；（2）先用累加法求出，再作差比较即可.
试题解析：(1)由已知得，则，又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.
由（1）得，则；
；因为
，所以.
考点：1.等差数列；2.累加法；3.作差法.
【921】．（2012·全国·高考真题·★★★）
已知数列{}中，=1，前n项和．
（Ⅰ）求
(Ⅱ)求{}的通项公式．
【答案】
【解析】
【详解】
本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和的相结合的综合运用．
【点评】
试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分利用通项公式和前n项和的关系式变形就可以得到结论．
【922】．（2007·陕西·高考真题·★★★）
已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足（k=1,2,…，n-1）,b1=1.
求b1+b2+…+bn.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据Sk＝N*)，利用数列通项与前n项和的关系求解；
（Ⅱ）根据，得到，再利用累乘法求得，再利用组合数性质求解.
【详解】
解：（Ⅰ）当，由及，得，
当时，由，
得．
因为，
所以．
从而．
，．
故．
（Ⅱ）因为，
所以．
所以
．
故，
．
【923】．（2022·山东省实验中学模拟预测·★★★★）
已知是数列的前n项和，，且当时，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，若，求正整数n的值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用与的关系求出通项公式即可
（2）利用累乘法求出的前项积的表达式，列出关于的方程，解出即可
(1)
由题意知当时，，
∴，整理得，
由，
∴，
经检验，也符合．
∴当时，．
由也满足，
∴数列的通项公式为．
(2)
由（1）得，
∴．
由，得.
【924】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）
数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项
【解析】
【分析】
（1）由题意得，与原式相除可得，利用累加法，即可得通项.
（2）设，分析可得数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数，分别讨论数列的奇数项和偶数项，根据数列的单调性，分析求解，综合即可得答案.
(1)
因为，
所以
两式相除得，
又当时，满足上式，所以
从而，
所以，
，，
累加可得时，则，
又当时，亦符合该通项，
所以的通项公式为，．
(2)
设，则数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数．
所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现．
（i）考查奇数项，令，解得，此时，
又，且，所以,
所以有，这表明数列的最小项为．
（ii）考查偶数项，令，解得，此时，
又，即，
所以有，这表明数列的最大项为．
综上所述，存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项．
【点睛】
解题的关键是熟练掌握由递推与通项、累加法等求通项的方法，难点在于分析得为摆动数列，结合数列的单调性，分奇偶讨论最大和最小，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
【925】．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中·★★★）
已知数列满足：且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题设得，再由累乘法及阶乘的定义即可求解；
（2）先求出，再由阶乘的运算及裂项相消求和即可求解.
(1)
由已知以及可知，从而有，
根据累乘法得：，整理得：，
由于该式对于也成立，于是数列的通项公式为：；
(2)
∵，，∴，即，
所以.
【926】．（2022·湖南师大附中三模·★★★★）
已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且对任意的都成立，数列是等差数列.
(1)求数列与的通项公式；
(2)证明：不存在，使得.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用推出n-1时的表达式，然后作差求出数列的通项公式，利用数列是等差数列利用累加法求出的通项公式；
（2）化简通过k≥4时，单调递增，且f（4）=1，所以k≥4时，f（k）≥1，结合f（1）=f（2）=f（3）=0，说明不存在，使得．
(1)
因为①，
则当时，②，
①—②，得，则，
在①中令，可得，所以.
由题设，，，，则，，
数列的公差为，
，
所以.
(2)
，
当时，单调递增，且，
所以时，，
又，所以不存在，使得.
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的通项公式的求法，递推关系式的应用，数列与函数的关系，考查分析问题和解决问题的能力.在解题过程中，一定要注意对题的条件的正确转化.
【927】．（2022·河北唐山·三模·★★★）
已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将题中条件转化，得到，之后利用累加法可求得答案；
（2）由（1）可知，利用时，放缩，再根据裂项相消法即可得出证明．
(1)
由已知，
即．
又，故，即（且）．
所以，当时，
当时，．
所以．
(2)
当时，．
．
法二：．
.
【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，在放缩时，注意的条件.
【928】．（2022·全国·二模（理）·★★★）
数列与满足，且，．
(1)若是等比数列，，求的前n项和；
(2)若是各项均为正数的等比数列，前三项和为14，求的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由等比等差数列的基本量运算可得数列的首项和公差，然后利用前n项和公式求和即可.
（2）由已知条件可得的通项，从而得到，然后利用累乘法可得通项公式.
(1)
设的公比为q，，，∴
∴，∴数列是等差数列，且公差，
前n项和．
(2)
设的公比为p，则，且
得，，则．即，
∴．
符合上式，∴．
【929】．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测·★★★）
已知数列的前项和为，若，且.
(1)求的通项公式;
(2)设，，数列的前项和为，求证.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知等式可得，采用累乘法可求得当时的，利用可求得，检验首项后可得结论；
（2）由（1）可得时的通项，由，采用裂项相消法可求得，由可得结论.
(1)
由得：，
则当时，，
又，，，
经检验：满足；
.
(2)
由（1）得：当时，；
，
，，.
【930】．（2022·福建南平·三模·★★★★）
已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用累乘法即可求解；
（2）由（1）代入可得，利用并项法求和即可求解.
(1)
因为，，
所以当时，，则，即，
当时，也成立，所以.
(2)
由（1），，，
则，
则
.
考点6.2.3 已知Sn，求an
【931】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
(1)
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)
解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
【932】．（2021·浙江·高考真题·★★★★）
已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】
（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】
易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
【933】．（2017·全国·高考真题·★★★）
设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
【答案】(1) ；(2).
【解析】
（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
【详解】
（1）数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
（2）
∴数列的前n项和
【点睛】
本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.
【934】．（2014·江西·高考真题·★★★）
已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对任意，都有，使得成等比数列.
【答案】（1）（2）详见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由和项求通项，主要根据进行求解. 因为所以当时又时，所以（2）证明存在性问题，实质是确定要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.
试题解析：（1）因为所以当时又时，所以（2）要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.
考点：由和项求通项，等比数列
【935】．（2022·河南·模拟预测·★★★★）
已知数列{an}对任意的n∈N*都满足．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题干中的已知条件可得当时，，当时，，即可求解数列的通项公式；
（2）代入化简数列，利用裂项相消法即可求解数列的前n项和.
(1)
解：∵，∴当时，，
当时，，
从而有，即当时，，
又满足上式，
故数列的通项公式为．
(2)
解：由题可知，，
所以，
，
所以.
【936】．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测·★★★★）
已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用数列中与的关系即可求得的通项公式；
（2）先利用题给条件求得数列的通项公式，再利用错位相减法去求数列的前项和．
(1)
当时，；
当时，．
综上，
(2)
因为，
所以当时，，所以．
当时，由
得，所以．
又当时，，所以．
所以，
，
所以，
所以．
【937】．（2022·山东聊城·三模·★★★★）
设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前15项的和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用关系及等比数列的定义求的通项公式.
（2）由（1）有n为奇数时，n为偶数时，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求前15项的和.
(1)
由得，
当n=1时，，解得.
当n≥2时，，从而，即，
因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.
(2)
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以数列的前15项和为
.
【938】．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测·★★★★）
已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)先根据和an＝Sn－Sn－1(n≥2)，推出数列{an}的递推公式，再求an.
(2)根据的通项公式的结构形式，结合裂项求和法进行适当放缩，再求和，即可证得结果.
(1)
当时，，即.
当时，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以数列为常数列，
所以，即.
(2)
证明：由（1）得，
所以，
所以.
【939】．（2022·江苏南京·模拟预测·★★★）
已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据与的关系，结合已知等式，利用等比数列的定义进行证明即可；
（2）结合（1）的结论，利用放缩法、等比数列前项和公式进行运算证明即可.
(1)
因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)
由（1）可知，所以，
所以．
【940】．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模·★★★）
若为数列的前n项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，利用数列通项和前n项和的关系结合等比数列的定义求解；
（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.
(1)
解：因为①，，
当时，②，
由①②可得，
即．
时，，
又，所以，
所以，所以，
所以数列是等比数列，且首项为2，公比为2．
所以．
(2)
由（1）知，
所以，
所以，
，
，
．
考点6.2.4 构造法
【941】．（2019·全国·高考真题·★★★★）
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），．
【解析】
【分析】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【点睛】
本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
【942】．（2015·广东·高考真题·★★★★）
设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．
（1）求的值；
（2）证明：为等比数列；
（3）求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）令可得的值；（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．
试题解析：（1）当时，，即，解得：
（2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列
（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以
即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是
考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.
【943】．（2014·全国·高考真题·★★★）
已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是=，
所以.
【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.
【944】．（2008·四川·高考真题·★★★★）
设数列的前 项和为，
（Ⅰ）求（Ⅱ）证明： 是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式
【答案】（Ⅰ） （Ⅲ）
【解析】
【详解】
（Ⅰ）因为，所以
由知
得①所以
，
（Ⅱ）由题设和①式知
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）
【点评】
：此题重点考察数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等；
【突破】
：推移脚标两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时应重视首项是否可以被吸收是易错点，同时注意利用题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节为求解下一问指明方向．
【945】．（2022·江苏南京·模拟预测·★★★★）
已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据与的关系，结合已知等式，利用等比数列的定义进行证明即可；
（2）结合（1）的结论，利用放缩法、等比数列前项和公式进行运算证明即可.
(1)
因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)
由（1）可知，所以，
所以．
【946】．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测·★★★★）
已知各项都为正数的数列满足， .
(1)若，求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义,利用以及,即可得到,即可证明.（2）根据分组求和和等比数列求和公式即可求解.
(1)
因为
所以，
因为所以
所以
所以
所以是首项和公比均为的等比数列.
(2)
由（1）易得：
因为所以
所以

【947】．（2022·湖南·长沙一中模拟预测·★★★★）
已知数列的前项和为，且，，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据，作差得到，即可得到，再由，即可得证；
（2）由（1）可得①，再又，即可得到，从而求出，根据分组求和及等比数列求和公式得到，再对分奇偶两种情况讨论，利用放缩法计算可得；
(1)
解：因为，，
当时，
当时，所以，
即，
即，又，，所以，
所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
(2)
解：由（1）可得①，
又，又，，所以，
所以，所以
即是以为首项，为公比的等比数列，
因此②，
①②可得，即
由，则
当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
【948】．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测·★★★★）
已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）计算得出，利用裂项相消法可证得结论成立.
(1)
证明：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，，且，
是首项为，公比为的等比数列.
(2)
证明：由（1）知，，，
，
.
【949】．（2022·吉林长春·模拟预测·★★★）
已知数列中，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由递推公式可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，从而得到，则，再利用裂项相消法求和即可；
(1)
证明：因为，，
所以，又，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
(2)
解：由（1）可得，
所以，
所以
所以
【950】．（2022·湖南·长沙一中一模·★★★★★）
已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)在和中插入k个数构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式．求数列的前30项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知及，求得的递推关系，从而可证为等比数列得；
（2）插入k个数构成一个新数列，则数列的前30项和包含了数列的前7项及数列的前23项，采用分组求和法求解即可.
(1)
由题意，当时，，
得，解得．
当时，，①
，②
①-②得，
因为，
所以．
则，
∵，∴
所以是以为首项，2为公比的等比数列．
(2)
由（1）知，．
在数列中，项之前（含）共有，
所以数列的前30项中包含了数列的前7项及数列的前23项，
所以
．