新高考数学二轮复习核心专题讲练第2讲 三角恒等变换与解三角形（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数式求值
突破二：已知三角函数值求角问题
突破三：三角函数式化简
突破四：和（差）角公式逆应用
突破五：拼凑角
突破六：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
角度2：利用正弦定理解三角形
角度3：利用余弦定理解三角形
角度4：正余弦定理综合应用
突破七：判断三角形的形状
突破八：三角形面积相关问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）
（2）
（3）
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式
①
②
4、辅助角公式
(其中)
5、正弦定理
6、余弦定理
；
7余弦定理的推论
；
；
8、三角形常用面积公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数式求值
1．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））若为第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】为第二象限角，，，
由得：，，，
，
.
故选：D.
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知 ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】 ，，
则
,
故选：．
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）求值_________．
【答案】##
【详解】 ，
故答案为：.
4．（2022·河南焦作·一模（理））计算：___________.
【答案】##
【详解】
.
故答案为：
突破二：已知三角函数值求角问题
1．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【详解】依题意，均为锐角，
由得，
由得，
所以，
而，所以.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，，，，
，
又，.
故选：B.
3．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，且，，
所以，，所以，
因为，，
所以，，
所以，
所以，
故选：C
4．（2022·全国·高一课时练习）已知，均为锐角，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，均为锐角，且，，
∴，，
∴
.
又∵，均为锐角
∴.
∴.
故选：B.
5．（2022·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为
所以，
整理得：，
因为，
所以，
所以，
解得：
故选：B
突破三：三角函数式化简
1．（2022·广东汕头·高三期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
故选：A
2．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数（且）的图像过定点P，且角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于___________.
【答案】
【详解】由题设知：过定点，故，
所以.
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）化简：＝________.
【答案】##
【详解】原式=
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）化简：值是________．
【答案】
【详解】解：
，
故答案为：
5．（2022·山西忻州·高三阶段练习）（1）已知，求；
（2）已知，，且，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，，
所以，即
所以
（2）因为，，且，，
所以，，
所以，
因为，，所以，
所以
突破四：和（差）角公式逆应用
1．（2022·江苏·高三专题练习） （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式，化简可得：
.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，
∴ tan(A＋B)＝＝－.
又0＜A＋B＜π，
∴ A＋B＝，∴ C＝.
故选：C
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】依题意，原等式变为：，即，
显然是第三象限角或第四象限角，，即或，
于是得，当时，，
当时，，
所以的可能值为或.
故选：BD
4．（2022·江苏·海安市立发中学高三期中）在中，若，则_________.
【答案】
【详解】因为，
所以，，
由题意可得，
若，则，不妨设为锐角，则，
则，不合乎题意，
所以，，故，因此，.
故答案为：.
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知，，，则 __________
【答案】
【详解】，，；
，
两式作和得：，
.
故答案为：.
突破五：拼凑角
1．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为，所以，又，
所以，
所以
故选：D
2．（2022·天津·高三期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：D
3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，
，
.
.
故选：A
4．（2022·山西忻州·高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】,,
.
故选：C
5．（2022·山东烟台·高三期中）已知，则______．
【答案】
【详解】由诱导公式可知，，
因为，
所以.
故答案为：.
突破六：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
1．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）在中，，，，此三角形解的情况为（ ）
A．一个解B．二个解C．无解D．无法确定
【答案】B
【详解】由正弦定理，可得，则，
因为，则，所以有两个解，
故选：B.
2．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不能确定
【答案】C
【详解】由正弦定理，得，
得，
因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.
故选：C.
3．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）在中，已知，则满足条件的三角形（ ）
A．有2个B．有1个C．不存在D．无法确定
【答案】A
【详解】由正弦定理可得，又
所以，所以，
因为，所以 ,又
所以或
∴满足条件的三角形有2个．
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．无法判断有几解
【答案】A
【详解】在中，，由正弦定理得，
而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解．
故选：A
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（ ）
A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定
【答案】C
【详解】由正弦定理，得，解得.
因为，所以.
又因为，所以或，
故此三角形有两解，
故选：C.
角度2：利用正弦定理解三角形
1．（2022·四川·成都市第二十中学校高三期中） 中， 已知 、 、 分别是角 、 、 的对边， 且 ， 、 、 成等差数列， 则角（ ）
A．B．C． 或 .D． 或
【答案】D
【详解】由 ， 利用正弦定理得: ，
即 ，，
，， .
或 .
或 .
又 、 、 成等差数列， 则 ，
由 ，得 .
当 时， ；
当 时， .
或
故选：D.
2．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
或（舍）
故选：C.
3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，，则__________．
【答案】
【详解】解：在中，
由正弦定理得
，
，
．
故答案为：．
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______．
【答案】
【详解】由正弦定理，①，
又，
代入式①得：，
∴，∵，∴，，
故，又，∴．
故答案为：
5．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）已知在中，，，，则_________ ．
【答案】14
【详解】∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，∴．
故答案为：14
角度3：利用余弦定理解三角形
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则B＝______．
【答案】
【详解】由余弦定理可得，化简得，
则，
又，所以，
故答案为：．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）在中，角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为___________.
【答案】
【详解】由余弦定理可知：，
而，
因为，所以，
因为，当时等号成立
设的面积为，
所以有，
故答案为：
3．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）设的内角的对边分别为，，则__．
【答案】8
【详解】解：在中，因为，
所以，
又，所以，
所以，
所以.
故答案为：8．
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则的面积S为___________．
【答案】
【详解】因为，所以由得，解得，故，
又因为，所以，故，
所以
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形的三边分别是，，，则该三角形的内切圆的半径是________.
【答案】
【详解】解：设中、、，
由余弦定理可得，即，
所以，则，
所以，
设的内切圆的半径为，则，即，
解得；
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acs B－bcsA）＝16，a－b＝2，∠C＝，则c的值等于___．
【答案】
【详解】解：由余弦定理，得，
∴，
又，则，
则a＝5，b＝3，又，
所以，
∴．
故答案为：
角度4：正余弦定理综合应用
1．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））在中，内角，， 所对的边分别为 ．已知．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，因为，得
又因为
得
整理得
由正弦定理可得
得
得，因为
所以
所以
故选:B
2．（2022·河南驻马店·高三阶段练习（理））钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（ ）
A．9B．C．6D．
【答案】A
【详解】解：因为，
所以，
又因为，
所以，为锐角，
所以，，
因为由余弦定理得，解得或，
因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去.
所以
所以的周长为．
故选：A
3．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）在中，角所对的边为，若，且的面积，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】已知的面积，
则，即，
即，则，
由可得：，
由余弦定理可得：，
即，由正弦定理可得：，则,
由正弦定理可得：，
则，又，则,则，
则.
故答案为：.
4．（2022·江西赣州·高三期中（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c是a，b的等比中项，且的面积为，则_________．
【答案】
【详解】
由正弦定理得，，
即，
又，所以，得，
由，得，得.
又c是a，b的等比中项，所以.
由余弦定理得.
∴，即，
则，即.
故答案为：
5．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，角的平分线交于点M，若，则______．
【答案】
【详解】
因为，
所以由正弦定理得，即，
故，
因为，则，所以，所以，
因为平分，所以，
在中，，即，
在中，，即，
因为，所以，
所以，所以，故，
在中，，所以，
即，解得，，
由得，
即，所以.
故答案为：
6．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在中，为上一点，，，则______；若，则______．
【答案】 ## ##
【详解】如下图所示：
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
消元可得，所以，；
在中，由正弦定理可得，①
在中，由正弦定理可得，②
②①可得，，
，，由余弦定理可得.
故答案为：；.
突破七：判断三角形的形状
1．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则为（ ）
A．钝角三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】由结合正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，故为直角三角形，
故选：C
2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））在中，已知，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【详解】因为，，
所以，
所以由正余弦定理得，化简得，
所以，
所以为等腰三角形.
故选：B.
3．（2022·四川·模拟预测（文））在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【详解】向量，共线，，
由正弦定理得：，
，则，
，，，即．
同理可得．
形状为等边三角形．
故选：A．
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，，则一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．无法确定
【答案】A
【详解】解：由 ，根据余弦定理，故，所以，所以，，所以，
所以，因为，所以，即，所以，
因为，所以，
所以，从而.所以三角形为等边三角形，
故选:
5．（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ）
A．钝角三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】在中，由正弦定理得，而，
∴ ，即，
又∵、为的内角，∴，
又∵，∴，
∴由余弦定理得：，∴，
∴为等边三角形.
故选：B.
突破八：三角形面积相关问题
1．（2022·贵州·模拟预测（文））在中，角，，所对的边分别为，，，是边上一点，平分，且，若，则的最小值是（ ）
A．B．6C．D．4
【答案】C
【详解】解：∵，
由正弦定理得，
∴，∴，
∵，∴，∴，即，∴.
∵，
∴，
∴，∴.
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
所以最小值为.
故选：C.
2．（2022·河南·高三阶段练习（理））在中，已知，AC＝4，则的面积为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】依题意，
∴由正弦定理得
∴．
故选：C．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知的内角所对的边分别为，记的面积为.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得，
由余弦定理得
即，（其中）
因为，所以当时，，所以
所以
故选:C.
4．（2022·天津二十中高三阶段练习）已知是内的一点，且，则的最小值是（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】A
【详解】由得
取边中点为,则,
因此可知：在过且与平行的中位线上，
由得,由于为三角形的内角，因此,
所以,所以,
因此,
设，
故，
当且仅当时，即时，等号成立，
故最小值为8，
故选：A
5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且，则的面积为_________________．
【答案】##
【详解】∵，∴，
∴，∵，
∴，
∴，∴，∴．
在中，，
在中，，
联立两式，整理得①；在中，
由余弦定理得，②，
解得，，∴，
∵，∴．
6．（2022·江苏常州·高三期中）在中，，，边上的中线长为，则的面积为______．
【答案】
【详解】解：因为，由正弦定理可得，
又，所以，
设中点为，，
所以
所以，解得，
所以，所以．
故答案为：.
7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））在中，，点D在线段AC上，且，，则面积的最大值为_________．
【答案】
【详解】设，则，
在中，由余弦定理，得
，
在中，由余弦定理，得
，
由于，得，
即，整理，得，
在中，由余弦定理，得
，即，代入式化简整理，
得，
由，解得，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为.
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为_______．
【答案】
【详解】解：解法1：，
又，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，又，∴，
∵，
∴，．
解法2：由射影定理，，又由题意，，
∴，
∴，
∵，∴，
又，
∴，．
故答案为：
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：D．
2．（2022·江苏南通·高三期中）已知，，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
．
故选：C．
3．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，故，.
故选：B
4．（2022·湖北·宜都二中高三期中）等于（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】.
故选：C.
5．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【详解】
.
故选：A.
6．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9B．4C．3D．8
【答案】B
【详解】由条件可得.
在中，由余弦定理得，
∴，
∴，，
∴，
∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为，
∴面积为4.
故选：B
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，即，由余弦定理可得，
即，又，故可得，由正弦定理可得：
，则，
，又均为锐角，故可得，即；
由可得，又，故可得；
由，可得；
又
，
又，，解得或（舍去负值）,
则，即的取值范围是.
故选：A.
8．（2022·江西省丰城中学高三期中（文））已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以.
设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为.
故选：A.
二、多选题
9．（2022·重庆·高三阶段练习）在中，，，为内角，，的对边，，记的面积为，则（ ）
A．一定是锐角三角形B．
C．角最大为D．
【答案】BCD
【详解】A选项，取，但△ABC显然为直角三角形，故A错误；
B选项，由，以A，C为焦点、2b为长轴长的椭圆上运动，
结合椭圆的几何性质知，当B为短轴端点时△ABC面积最大，
且为，故B正确；
C选项，，
当且仅当时取等号，故，故C正确；
D选项，，
，
，
显然，故，
即，即，故D正确.
故选：BCD.
10．（2022·河北·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】AD
【详解】因为，又，，所以，
因为，所以，所以，
解得或3，
故选：AD.
三、填空题
11．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））若是第二象限角，且，则等于___________.
【答案】5
【详解】，
由于是第二象限角，所以，
所以.
故答案为：
12．（2022·全国·高三阶段练习（理））锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为________________．
【答案】
【详解】因为，所以由余弦定理得．
因为为锐角三角形，所以．所以，即．
因为为锐角三角形，所以解得．
由正弦定理，得
．
所以．
因为，所以，所以．
因为，所以，
所以，所以，即
．在中，由两边之和大于第三边，得．
综上所述：．
故答案为：
13．（2022·天津·高三期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，若，则b边的最小值为______.
【答案】2
【详解】由题意得，，又，所以，则，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2.
故答案为：2.
14．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在中，角所对的边分别为，若，且，则__________．
【答案】
【详解】中，，，
，
由正弦定理有，，
由，得，
有，即，
，得，
由，可得，
即，代入，
得，∴，
由余弦定理，
，得，
故答案为：