新高考数学二轮复习考法分类训练专题03 空间几何（解答题5种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考法一 证明平行常用的思路
【例1-1】（2022福建模拟节选）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是线段上的中点，证明： 平面
【例1-2】（2022广东模拟节选）如图，是菱形，，. 求证：平面.
【例1-3】（2022广西模拟节选）如图，在直角梯形中， ，截面交于点,求证： ；
【例1-4】（2022甘肃节选）如图，三棱锥中， 是的中点， 是的中点，点在上且，证明： 平面；
【例1-5】（2022山西）如图5，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求证：平面ABCD；
【例1-6】如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8. 求证：直线MN∥平面PBC．
图5

考法二 证明垂直的常见思路
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.
【例2-2】（2022·云南）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面
【例2-3】．（2022·广东）如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，，.求证：平面PCD⊥平面PAC；
【例2-4】（2021·福建节选）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：
【例2-5】（2023·山西）如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且，求证：平面平面；
考法三 空间角
【例3-1】（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【例3-2】（2022·江西）如图1，已知等边的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且满足，，如图2，将沿MN折起到的位置．
(1)求证：平面平面BCNM；
(2)若四棱锥的体积为，求平面和平面的夹角的余弦值．
【例3-3】（2022·河北·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且.
(1)证明：；
(2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
【例3-4】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求直线与所成角的正切值．
【例3-5】（2022·河北石家庄·一模）如图，在梯形中，为直角，，，将三角形沿折起至.
(1)若平面平面，求证：；
(2)设是的中点，若二面角为30°，求二面角的大小.
考法四 空间距离
【例4-1】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．
(1)证明：平面ABC
(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．
【例4-2】（2022·北京·北大附中三模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【例4-3】（2022·北京市第五中学三模）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 .
(1)求证： ;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;
(3)在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.
考法五 动点问题
【例5-1】（2022·广东江门）如图，在正四棱锥中，，，P在侧棱上，平面.
(1)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【例5-2】（2022·湖北）已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点．
(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【例5-3】（2022·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
(1)证明：；
(2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在， 求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．
【例5-4】（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使.
(1)证明：平面平面；
(2)试探究在线段DM上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
考法六 最值问题
【例6-1】（2022·广东·一模）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
【例6-2】（2022·四川）四棱雉 中， 平面， 底面 是 等腰梯形， 且， 点 在棱 上.
(1)当 是棱 的中点时， 求证: 平面;
(2)当直线 与平面 所成角 最大时， 求二面角 的大小.
【例6-3】（2023·广东）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，，M，N分别是对角线BD，AE上异于端点的动点，且．
(1)求证：直线平面CDE；
(2)当MN的长最小时，求二面角A-MN-D的正弦值．
【例6-4】（2022·福建）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
考法七 空间中的外接球
【例7-1】（2022·河南）如图，已知正三棱锥中，，，VD⊥平面ABC，垂足为D，DE⊥平面VAB，垂足为E，连接VE并延长，交AB于点M．
(1)证明：M是AB的中点；
(2)过点E作EF⊥平面VAC，垂足为F，求四面体VDEF的外接球的体积．
【例7-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在正三棱锥中，是高上一点，，直线与底面所成角的正切值为.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
【例7-3】（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，，且平面平面.
（1）求球的表面积；
（2）证明：平面平面，且平面平面.
（3）与侧面平行的平面与棱，，分别交于，，，求四面体的体积的最大值.
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
2．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点．
(1)若，求证：直线平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
3．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
4．（2023·广东茂名·统考一模）如图所示，三棱锥，BC为圆O的直径，A是弧上异于B、C的点.点D在直线AC上，平面PAB，E为PC的中点.
(1)求证：平面PAB；
(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
5．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）如图，在三棱锥中，平面平面 ，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的余弦值.
6．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.
(1)证明：M为PD的中点.
(2)若二面角B-AM-C的余弦值为，求AB.
7．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，为线段上一点.
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
8．（2023·天津河西·高三天津实验中学校考期末）如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的大小；
(3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.
9．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面.
(1)证明：；
(2)若为上的点，当与平面所成角的正弦值最大时，求的值.
10．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）如图，在多面体中，四边形是平行四边形，四边形是矩形， ，，，H是棱AD的中点，P是棱EF上的动点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值.
11．（2023江苏苏州·高三统考期末）如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线DF与平面所成角的最大值．
12．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
13．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）如图，四边形是菱形，，平面，，，设，连接，交于点，连接，.
(1)试问是否存在实数，使得平面?若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.
(2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
14．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，.
(1)证明：；
(2)若，平面与平面所成的锐二面角的角余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
15．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中点．
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若二面角的余弦值为，求a的值；
(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
16．（2023浙江宁波·高三期末）在菱形中，G是对角线上异于端点的一动点（如图1），现将沿向上翻折，得三棱锥（如图2）.
(1)在三棱锥中，证明：；
(2)若菱形的边长为，，且，在三棱锥中，当时，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）如图，在三棱柱中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，，BC1与交于点E，平面平面ABC，，是侧棱上一点．
(1)若D为的中点，证明：平面BCD．
(2)是否存在点D，使得二面角的正弦值为？若存在，指出点D的位置；若不存在，请说明理由．
18．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点．
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
19．（2023春·全国·高三校联考开学考试）如图，四边形ABCD为菱形．，平面ABCD，，，设，连接AC，BD交于点M，连接EM，FM．
(1)试问是否存在实数，使得平面AFC？若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由；
(2)当时，求异面直线EM与FC所成角的余弦值．
20．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）如图，直三棱柱中，，D为上一点．
(1)证明：当D为的中点时，平面平面；
(2)若，异面直线AB和所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值．
21．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在四棱锥中，，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)若是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的大小.
22．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥在以为直径的圆上，平面为的中点，
(1)若，证明：⊥；
(2)当二面角的正切值为时，求点到平面距离的最大值.