新高考数学二轮复习考法分类训练专题04 统计概率（解答题10种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考点一 超几何分布
【例1-1】（2022·广东汕头·二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）（2）
【解析】（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则．
（II）由题意所有可能的取值为：，，，.
；
；
；
．
所以随机变量的分布列为
随机变量的均值为．
【例1-2】（2023·陕西铜川·校考一模）某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究．现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一组，3份；第二组，8份；第三组；第四组；第五组，4份；已知其中得分高于60分的问卷份数为20．
(1)在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率；
(2)如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【解析】（1）由于成绩在的问卷为4份，又得分高于60分的问卷份数为20，
故第四组有16份问卷.
由于所取两份问卷分差不低于20分，故由题意知是在第二组与第四组中各取一人，
故所求概率为．
（2）由题意知随机变量X取值为0，1，2，3，4．
，
X的分布列为：
所以期望．
【例1-3】（2023广东湛江）为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：
（1）若甲单位数据的平均数是122，求；
（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为， ，令，求的分布列和期望.
【答案】(1)8；(2)答案见解析.
【解析】（1）由题意，
解得．
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0,1,2,3,4.





的分布列为：
∴．
【例1-4】（2023云南某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的，，三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记，，三个区选择的疫苗批号的中位数为，求的分布列．
【答案】（1） ；
（2）随机变量的分布列为：
【解析】（1）设三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同为事件，则．
（2）的所有可能取值为1，2，3，4，5，则
，，，，．
所以随机变量的分布列为：
考点二 二项分布
【例2-1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展．某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：并整理得到如下频率分布直方图：
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)估计A小区满意度得分的第80百分位数；
(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)方案一，二的满意度平均得分分别为72.6，76.5，且方案二的措施更受居民欢迎；
(2)第80百分位数为85分；
(3)分布列见解析，4.
【解析】（1）设A小区方案一的满意度平均分为，
则，
设B小区方案二的满意度平均分为，
则，
因为，
所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；
（2）因为前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，
所以第80百分位数在第5组，
设第80百分位数为x，则，解得，
所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分；
（3）由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为，低于70分的频率为，
现从B小区内随机抽取5个人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
，，
，，
，，
所以X的分布列为
由二项分布知数学期望．
【例2-2】（2023·北京顺义·统考一模）为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
(1)若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：
(3)从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
(3)2
【解析】（1）只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人，
故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为；
（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为，
只服用药物B的患者7天内康复的概率为，
其中X的可能取值为，
，，
，
则分布列为：
数学期望为；
（3）只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为，
，
令，即，
解得：，因为，所以.
考点三 相互独立事件
【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
【例3-2】（2023·湖南·模拟预测）党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得分，对方选手得分选手抢到试题但回答错误或没有回答得分，对方选手得分道题目抢答完毕后得分多者获胜已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
(1)求乙同学得分的概率
(2)记为甲同学的累计得分，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【解析】（1）由题意，乙同学得分的基本事件有乙抢到两题且一道正确一道错误、
甲乙各抢到一题都回答正确、甲抢到两题且回答错误，
所以乙同学得分的概率为
（2）由题意，甲同学的累计得分可能值为0，50，100，150，200，
，
，
，
，
，
分布列如下：
所以期望．
考点四 正态分布
【例4-1】（2023·全国·模拟预测）为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生参加100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．
(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X服从正态分布，其中近似为女生短跑平均成绩，近似为样本方差，经计算得，，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y，求．
附参考数据：，随机变量X服从正态分布，则，，，，，．
【答案】(1)17.4(2)
【解析】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为:
；
（2）该校女生短跑成绩 服从正态分布,
由题可知，，则，
故该校女生短跑成绩在以外的概率为：，
由题意可得, ,
.
【例4-2】（2023·江西·校联考一模）2020年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》.某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远､掷实心球､1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表：
（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；
（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差.已知样本方差(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步.假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
①全年级有1000名学生，预估正式测试每分钟跳182个以上人数；(结果四舍五入到整数)
②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：若，则.
【答案】（1）；（2）①人；②分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】（1）由频率分步直方图得，得分为17，18的人数分别为6人，12人，
所以两人得分之和不大于35分为两人得分均为17分，或两人中1人17分1人18分，
所以.
（2）
又，所以正式测试时，，所以，
①所以，所以人；
②由正态分布模型，任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为，即，
所以，
所以，
所以的分布列为
所以.
答：（1）两人得分之和不大于35分的概率为；
（2）①每分钟跳182个以上人数为841；②随机变量的期望.
考点五 条件概率
【例5-1】（2023·广东深圳·统考一模）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．
(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．
【答案】(1)4
(2)40%．
【解析】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率，
由题意可得：该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数，
所以X的数学期望．
（2）记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．
由（1）知，，．
∵，
由全概率公式，则，解得，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．
【例5-2】（2023·安徽蚌埠·统考二模）有研究显示，人体内某部位的直径约的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤．某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约的结节，他做了该项无创血液检测．
(1)求患者甲检查结果为阴性的概率；
(2)若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；
(3)医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．
【答案】(1)0.8486；(2)0.00035；(3)13万元.
【解析】（1）记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，
由题，，，，，，，则
所以患者甲检查结果为阴性的概率为0.8486．
（2），
．
所以患者甲的检查结果为阴性，他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率为0.00035．
（3）记参加该项检查的1000位患者中，获得20万元赔付的有X人，
，则，
记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，
，
则，
所以保险公司每年在这个项目上的收益估计为13万元．
考点六 统计案例
【例6-1】】（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）“体育强则国家强，国运兴则体育兴”，多参加体育运动能有效增强中学生的身体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运动，为调查喜爱运动项目与性别之间的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.
(1)根据以上数据，填空下述列联表：
(2)根据以上数据，能否有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关?
(3)现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人发放礼品，求这3人中在甲组中的人数的概率分布列及其数学期望.
参考公式：，其中为样本容量.
参考数据：
【答案】(1)列联表见解析(2)有95%的把握(3)分布列见解析，
【解析】（1）列联表
（2）零假设为：学生选排球还是篮球与性别无关
由列联表可得
；
有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.
（3）按分层抽样，甲组中女生3人，乙组中女生2人
，，
∴概率分布列为
数学期望.
【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）实施新规后，某商场2020年1月份至10月份的收入情况如表．
并计算得，，，．
（1）是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用相关系数加以说明；(当时，那么变量，有较强的线性相关关系)
（2）建立关于的回归方程(结果保留1位小数)，并预测该商场12月份的收入情况．(结果保留整数)
附：，．
【答案】（1）与有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合，说明答案见解析；（2），预测该商场12月份的收入为20万元．
【解析】（1）由题中数据得，，，
于是得，
又，
从而，，
所以与有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合；
（2）由（1）知，而，，
从而得，
，
所以关于的线性回归方程为，当时，，
从而预测该商场12月份的收入为20万元．
【例6-3】（2022·山东聊城·统考三模）为迎接年北京冬奥会，践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.
(1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数与月份之间的经验回归方程（系数和的最终结果精确到），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至人以下？
(2)在某次足球训练课上，球首先由队员控制，此后足球仅在、、三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：
若传球次，记队员控球次数为，求的分布列及均值.
附：经验回归方程：中，，；
参考数据：，，，.
【答案】(1)，第十个月
(2)分布列见解析，
【解析】（1）解：由得.
由题意得，，
所以，
.
所以，即关于的经验回归方程为.
令，所以，解得.
由于，所以，
所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至人以下.
（2）
解：由题意得的可能取值为、、，
，，
，
所以的分布列为
所以，.
考点七 特征数做决策
【例7-1】（2023·四川乐山·统考一模）“双十一”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元（含200元）即可抽奖一次，抽奖方式有两种（顾客只能选择其中一种）.
方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元.
(1)某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望；
(2)若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理?
【答案】(1)分布列见解析，160元
(2)选择方案二更合理
【解析】（1）设实付金额为元，则可能取值为0，100，200．
则，，，
则的分布列为
∴（元）
（2）若选方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为，则，
由题意得，故．
∴（元）
若选方案二，设实付金额为，则的可能取值为0，150，250．
则，，．
则的分布列为
∴（元）
∵，∴选择方案二更合理．
【例7-3】（江西省2022届高三二轮复）某地的水果店老板记录了过去100天A类水果的日需求量x（单位：箱），整理得到数据如下表所示.
其中每箱A类水果的进货价为50元，出售价为100元，如果当天卖不完，就将剩下的A类水果以20元每箱的价格出售给果汁加工企业，以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率.
(1)如果某天的进货量为24箱，用X表示该水果店当天卖出A类水果所获得的利润，求X的分布列与数学期望；
(2)如果店老板计划某天购进24箱或25箱的A类水果，请以当天利润的期望作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)应当购进24箱
【解析】(1)若x=24，25，26，则，故；
若x=23，则，故；
若x=22，则，故，
故X的分布列为
故.
(2)记当天进货量为25箱时卖出A类水果所获得的利润为Y，
若x=25，26，则，；
若x=24，则，故；
若x=23，则，故；
若x=22，则，故，
则，
因为，所以应当购进24箱.
【例7-3】（2023·福建·统考一模）校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备．某学校引进M，N两种类型的自动体外除颤器（简称AED）若干，并组织全校师生学习AED的使用规则及方法．经过短期的强化培训，在单位时间内，选择M，N两种类型AED操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立．
(1)现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；
(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示，下面是两种方案：
方案甲：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，则第二次使用另一类型AED进行操作．
方案乙：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备．
假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案更好？
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】（1）设“操作成功”为事件S，“选择设备M”为事件A，“选择设备N”为事件B
由题意，
恰在第二次操作才成功的概率，
，
所以恰在第二次操作才成功的概率为．
（2）设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X，Y，则X，Y可能取值均为0，1，2，
；
；
；
所以
方法一：
；
；
所以
方法二：方案乙选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，
所以，
决策一：因为，故方案甲更好．
决策二：因为与差距非常小，所以两种方案均可
考点八 统计概率与数列综合
【例8-1】（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有发球权的概率为.假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.
【答案】(1)
(2)，甲队开球的概率大于乙队开球的概率
【解析】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，对应的概率分别记为：、、，
；
；
，
所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率.
（2）由全概率公式可得，，
即.
易知，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故.
又因为，所以.
而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率.
【例8-2】（2023·全国·高三专题练习）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析，参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元.
【解析】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）∵，
∴.
（3）由题可知，
遥控车移到第格有两种可能：
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，
∴，
∴时，，又∵，
∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，
∴，
以上各式相加，得，
∴时，，
∴到达“胜利大本营”的概率，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，
∴的期望，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元
【例8-3】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：
(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率
(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为的概率记为，求.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；
所以.
.
所以.
（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：
i. 记事件D：进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：
ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一.其概率为：
iii. 记事件：前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 其概率为：
，
则事件彼此互斥，记，
所以
.
所以
考点九 统计概率与函数导数综合
【例9-1】（2023·云南曲靖·统考一模）某地A，B，C，D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入A商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为p，，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求p的取值范围．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)(2)
【解析】（1），，，．
所以，则．
故y关于x的线性回归方程为．
（2）设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2．
，
，
．
所以，X的分布列为
所以，
．
令，即，解得，又，
所以．所以p的取值范围为．
【例9-2】（2022·湖北十堰·丹江口市第一中学校考模拟预测）某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分．若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答．5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为，且每人答每道题都是相互独立的．
(1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为，求的最大值和最大值点的值；
(2)以（1）中确定的作为p的值，求“领航队”积分成绩的数学期望．
【答案】(1)在处取得最大值，最大值
(2)．
【解析】（1），，
当时，在区间内单调递增；
当时，在区间内单调递减．
故在处取得最大值，最大值．
（2）“领航队”的每个成员积分成绩为Y，则，所以“领航队”积分成绩X的数学期望，
每个成员积分成绩Y的可能取值为，1，5，9，
记第i道题目答对为事件，
则，
，
，
．
Y的分布列为
则，故．
考点十 新概念
【例10-1】（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；
【解析】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
【例10-2】（2023·浙江·统考一模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．
(1)证明：；
(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可得满足二项分布，
由知，，当且仅当时取等号；
（2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），
（混管中恰有i例阳性）=，，
令，，
则，
当时，，为单调递减，
当时，，为单调递增，所以，
且，，
所以当，即，两边取自然对数可得，
所以当，时，
所以，
则．
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
【例10-3】（2023·广东肇庆·统考二模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为.
(1)当时，求；
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值.
【答案】(1)(2)1250
【解析】（1）由已知，
所以
；
（2）由已知，所以，
若，则，即，
即.
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，
解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250；
综上， ，估计信号发射次数的最小值为1250.
1．（2022·广西河池·校联考模拟预测）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值：
(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）由频率分布直方图得：.解得；
（2）由频率分布直方图得：
这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人）
在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，
现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列为：
.
2．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；
(2)甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析，
【解析】（1）两球颜色相同分为都是红球或白球，其概率为；
（2）依题意X=2，3，4，5，
，
X=3，就是前2个一个是红球，一个是白球，第3个是红球， ，
X=4，就是前3个有2个白球一个红球，第4个是红球，或前四个全是白球，
，
X=5，分为前4个球中有3个白球1个红球，第5个是红球，或者是前4个球中3个白球一个红球，
第5个是白球 ，
分布列为：
数学期望；
3．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．
(1)经过一轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；
(2)若经过两轮踢球，用表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)
【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，相互独立，
由题意得：，，
甲的得分X的可能取值为 ，
则，
，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种；
分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分；
或者甲第1轮得1分，第2轮得0分；
或者甲两轮各得1分，
于是：
.
5．（2023·湖南邵阳·统考一模）新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：
方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.
方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X.
(1)求X的数学期望；
(2)如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？
【答案】(1)(2)选择方案乙
【解析】（1）X可取1，2，…，8，9，
则，，2，…，8，
，
所以.
（2）把采用方案乙，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为Y，
则Y可取2，3，4，5.
，
，
，
，
则.
设每次检测的费用均为，
则方案甲的平均费用为，
方案乙的平均费用为，
因为，所以应选择方案乙.
6．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，
，，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则､､彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：.
7．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为
【解析】（1）由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
所以．
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.
【答案】（1）考生报考甲、乙两所大学恰好通过一门科目的概率分别为，；（2）.
【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，
则；
该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则.
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，
根据题意可知，，则，
报将乙大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3.
，
，
，
，
随机变量的分布列：
，
因为该考生更希望通过甲大学的笔试，∴，则，所以的范围为：.
9．（2023·福建漳州·统考二模）北京时间2022年11月21日0时，卡塔尔世界杯揭幕战在海湾球场正式打响，某公司专门生产世界杯纪念品，今年的订单数量再创新高，为回馈球迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次．已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖．假设每人每次抽奖是否中奖互不影响．
(1)任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率；
(2)任选2名成功下单金额达500元的顾客，记为他们获得的奖金总数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)0.64(2)分布列见解析，
【解析】（1）任选一名成功下单金额达500的顾客，记“该顾客抽到一等奖”为事件A，“该顾客抽到二等奖”为事件B，“该顾客不中奖”为事件C，
所以，
所以任选2名成功下单金额达500的顾客，这两名顾客都不中奖的概率为，
所以这两名顾客至少一人中奖的概率为：；
（2）的所有可能取值为，
则，
，
，
，
，
则的分布列为：
.
10．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．
(1)求出y关于x的经验回归方程；
(2)假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴
（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；
（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为，．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求的取值范围．
附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
【答案】(1)
(2)（i）1060万元；（ii）
【解析】（1）由题意得，，
所以，
故关于的经验回归方程为．
（2）（ⅰ）将代入，得，
所以（万元），
故估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元．
（ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为，则的可能取值为，，，
则，
，
，
所以，
则，解得．
又，所以，则．故的取值范围是．
11．（2023·广东广州·统考二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列；
(2)令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1）
(3)根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x）
参考数据：，，，，，，，，，，．
【答案】(1)
(2)(3)150元/天
【解析】（1）由题意，抽取两家深入调查，可能为0，1，2.
,，，
∴的分布列为：
（2）由散点图可知,散点并非均匀分布在一条直线的两侧，而是大致分布在一条曲线的两侧，不符合线性回归模型要求，∴更合适于此模型，
∵
∴
∴回归方程为：
（3）由题意得，,
在中
当时，解得：，
当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴函数在处取最大值，
∴收费标准为150元/天时，100天销售额L最大.
12．（2022·北京·景山学校校考模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】(1)0.20(2)的分布列见解析，数学期望为(3)5
【解析】（1）由频率分布直方图得：，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望.
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
13．（2022·重庆·统考模拟预测）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
(1)由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】(1)
(2)① ；②；
【解析】（1）由分布图：
则，在内为优品则
（2）①
②，且，
因为，且，由对勾函数知识可知：在上单调递减，当时，，所以，
因为，且
当时，，当时，，当时，，
∴最大值在时取得，可求得或，因为，所以，
求得
15．（2022湖南邵阳）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到）若掷出反面遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为P试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值．
【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）证明见解析，期望值为，约2万元.
【解析】（1）（千米）
（2）因为服从正态分布
所以
（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为,即．遥控车移到第n（）格的情况是下列两种，而且也只有两种．
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为
所以，
当时，数列是公比为的等比数列

以上各式相加，得
（）， 获胜的概率
失败的概率
设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0
X的期望
参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约2万元.
16．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验.
在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？
(2)若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围.
【答案】(1)方案一最优
(2)
【解析】（1）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，
所以，，
所以方案二检测次数的数学期望为；
方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为，
若呈阳性则检测次数为3次，其概率为，
设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为2，4，6，
所以，，，
所以方案三检测次数Y的期望为，
因为，
所以方案一最优；
（2）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，
所以，，
所以随机变量的数学期望为，
由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，
可得，即，解得，
所以当时，方案二比方案一更“优”.
17．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm手机SOC芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）
(1)求甲和乙各自被录用的概率；
(2)设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由．
【答案】(1)甲被录用的概率为，乙被录用的概率为
(2)不存在；理由见解析
【解析】（1）由题意，设甲答对题目的个数为，得，
则甲被录用的概率为，
乙被录用的概率为．
（2）的可能取值为0，1，2，
则，
，
，
∴
，
，
设，
则．
∴当时，单调递减，
当时，单调递增，
又，，，
所以不存在的值，使得.
18．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：
游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．
游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．
游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，表示“甲小朋友的当前累计得分为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则，，，其中，，．假设，．
（i）证明：为等比数列；
（ii）根据的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
【答案】(1)分布列见解析
(2)（i）证明见解析（ii）这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设
【解析】（1）由题意知所有可能的取值为，
，
，
，
所有分布列为：
（2）（i）证明：因为，
所以，
，
，
因为，
所以，
整理得：，，
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）知
所以，
累加求和得，
所以，
所以
表示甲小朋友当前累计得分为分时，本轮游戏最终甲获胜的概率，
由计算结果可以看出，假设一次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5，
乙小朋友完成一次游戏中的指令动作的概率为0.6，
本轮游戏中甲小朋友获胜的概率，
这种情况发生的概率比较小，能够说明这种游戏方案能够充分验证
“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，
乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
19．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？
（参考数据，）
【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析
(2)大约在2023年年底总资产可以翻一番
【解析】（1）若投资项目一，设获利为万元，
则的分布列为
．
若投资项目二，设获利为万元，
则的分布列为
．
．
，
，
，
这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资．
（2）假设n年后总资产可以翻一番，
依题意，，即，
两边取对数，得，
，
大约在2023年年底总资产可以翻一番．
20．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子．规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束．
(1)记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；
(2)已知甲先掷，求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率．
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【解析】（1）依题意，抛掷骰子一次获胜的概率，
的可能值为1，2，3，4，
，，，，
所以的分布列为；
期望.
（2）设甲抛掷第n次骰子且不获胜的事件的概率为，
依题意，，当时，，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
当时，甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率，
显然当时，满足上式，
所以甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率为.
21．（2023·湖南岳阳·统考一模）8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下：
假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时.
(1)试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；
(2)若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，
【解析】（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下:
A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，则事件A对应三种情形：①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟；②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟；③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.
所以
.
（2）X所有可能的取值为0，1，2.
对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟，
所以;
对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，
所以；
对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，
所以；
所以X的分布列为：
所以
22．（2023·湖南长沙·统考一模）为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；
(2)已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件则
由题意可得，的取值有
则的分布列为：
所以
（2）设甲乙两组对每个问题回答正确的概率分别为，两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，
则一个题被甲小组抢到为事件，则，
设一个题答对为事件，则
该题如果被答对，恰好是甲小组答对即为
23．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）某校有，两个餐厅﹐为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从餐厅随机抽取了67人，从餐厅随机抽取了69人，其中在，餐厅对服务不满意的分别有15人、6人，其他人均满意.
(1)根据数据列出2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为用餐学生与两家餐厅满意度有关联？
(2)学校对大量用餐学生进行了统计﹐得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐厅用餐，从第二次用餐起，如果前一次去了餐厅，那么本次到，餐厅的概率分别为，；如果前一次去了餐厅，那么本次到，餐厅的概率均为.求任意一名学生第3次用餐到餐厅的概率.
附：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联.(2)
【解析】（1）零假设为：用餐学生与两家餐厅满意度无关联，依题意列出列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联.
（2）设事件“第次在餐厅用餐”，事件“第次在餐厅用餐”，其中，
由题意与互斥，且，，；，，
由全概率公式得，
，又，，
由全概率公式得.
24．（2023·安徽马鞍山·统考一模）为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体高（单位：cm）如下表，请进行数据分析.
(1)已知甲品种中体高大于等于130cm的成年水牛以及乙品种中体高大于等于111cm的成年水牛视为“培育优良”，现从甲品种的5头水牛与乙品种的5头水牛中各随机抽取2头.设随机变量为抽得水牛中“培育优良”的总数，求随机变量的分布列与期望.
(2)当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的量纲不同，直接使用标准差来进行比较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响.而变异系数（C．V）可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公式为：变异系数.变异系数没有量纲，这样就可以进行客观比较了.从表格中的数据明显可以看出甲品种的体高水平高于乙品种，试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大小.（参考数据：，）
【答案】(1)分布列见解析，
(2)甲品种的成年水牛的变异系数大
【解析】（1）随机变量的可能取值为，
，，
，，
.
随机变量的分布列为：
随机变量的期望.
（2），，.
，，.
根据公式，甲品种的变异系数为，乙的变异系数为，
所以甲品种的成年水牛的变异系数大.
25．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）为提高核酸检测效率，某医学实验室现准备采用某种检测新冠肺炎病毒核酸的新型技术进行新一轮大规模核酸筛查.经过初步统计分析得出该项技术的错检率约为0.04，漏检率约为0.01.（错检率指在检测出阳性的情况下未感染的概率，漏检率指在感染的情况下检测出阴性的概率）
(1)当有100个人检测出核酸阳性时，求预计检出的假阳性人数；
(2)为节约成本，实验室在该技术的基础上采用“混采”的方式对个别疫区进行核酸检测，即将n个人的样本装进一根试管内送检；若某组检测出核酸阳性，则对这n个人分别进行单人单试管核酸采样.现对两个疫区的居民进行核酸检测，A疫区共有10000名居民，采用的混采策略；B疫区共有20000名居民，采用的混采策略.已知两个疫区每个居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通过计算比较A、B两个疫区核酸检测预计消耗试管数量.
参考数据：，
【答案】(1)4；
(2)A疫区核酸检测预计消耗试管数量比疫区核酸检测预计消耗试管数量少.
【解析】（1）解：当有100个人检测出核酸阳性时，预计检出的假阳性人数为.
（2）解：先计算疫区核酸检测预计消耗试管数量. 设疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为，
采用的混采策略，则该小组所需检测次数为和，对应的概率分别为和,所以该小组检测次数的期望为，
10000名居民分成1000个小组，所以整个疫区检测次数的期望值为.
再计算疫区核酸检测预计消耗试管数量. 设疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为，
采用的混采策略，则该小组所需检测次数为和，对应的概率分别为和,所以该小组检测次数的期望为，
20000名居民分成1000个小组，所以整个疫区检测次数的期望值为.
因为，所以，，
所以，
所以A疫区核酸检测预计消耗试管数量比疫区核酸检测预计消耗试管数量少.
26．（2023·广东茂名·统考一模）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析（ii）分布列见解析，均值为0
【解析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
（2）（i）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为－2，0，2，则
得分为的分布列用表格表示
（ii）设在二轮比赛中得分为，则的可能取值为－4，－2，0，2，4，则
得分为的分布列用表格表示为
27．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）抗击疫情众志成城.假期期间一高中同学积极参加社区抗疫宣传活动.抗疫宣传活动共分3批次进行，每次活动需要同时派出2名志愿者，且每次派出人员均从5名志愿者同学中随机抽选，已知这5名志愿者中，有2人有活动经验，其他3人没有活动经验.经验可以累积.
(1)求5名志愿者中“小K”，在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率；
(2)求第二次抽选时，选到没有活动经验志愿者的人数最多可能是几人？请说明理由.
【答案】(1)
(2)第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人；理由见详解.
【解析】（1）5名志愿者中“小K”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，
则这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率.
（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.
设表示第一次抽取到的没有活动经验志愿者人数，可能的取值有，
则；；.
设表示第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数，可能的取值有，
则；
；
，
因为，
故第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是人.
28．（2023秋·广东·高三统考期末）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：
(1)记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望；
(2)以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份､28百份两种方案中应选择哪种？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)选择每天生产配送27百份
【解析】（1）根据题意可得：的所有可能取值为，
，
，
的分布列为：
（2）当每两天生产配送27百份时，利润为：
（百元）
当每两天生产配送28百份时，利润为：
（百元）
，选择每天生产配送27百份.
29．（2023·全国·模拟预测）年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术亮点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高频率定位持球球员，以此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从生产的传感芯片中随机抽取个，将抽取到的传感芯片的最高频率（单位：）统计后，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求这批芯片的最高频率的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和方差；
(2)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率服从正态分布．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，试估计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于的概率；
(3)若传感芯片的最高频率大于，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内置个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和维护费用约为万元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为万元/场，从单场比赛的成本考虑，每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？
附：，，．
【答案】(1)，
(2)约为
(3)，成本最低．
【解析】（1）解：由题意可得，
.
（2）解：由题意可得，，则.
因此，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于的概率约为.
（3）解：（i）时，足球可以满足赛事要求的概率为，
期望成本；
（ii）时，足球可以满足赛事要求的概率为，
期望成本；
（iii）时，足球可以满足赛事要求的概率为，
期望成本；
（iv）时，足球可以满足赛事要求的概率为，
期望成本.
所以，中，最小.
综上，，成本最低．
30．（2023春·广东·高三统考开学考试）2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含，，，，，六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目的概率；
(2)记为这四个人中选择项目的人数，求的分布列及数学期望；
(3)如果将甲、乙、丙、丁四个人改为个人，其他要求相同，问：这个人中选择项目的人数最有可能是多少人？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)答案见解析.
【解析】（1）由题意可知，每个人选择项目的概率为，则每个人不选择项目的概率为，
故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择项目的概率为
（2）由（1）可知，每个人选择项目的概率为，且每个人是否选择项目相互独立，
故服从二项分布：，
所以，
，，
，，，
则的概率分布列为：
的数学期望．
（3）设选择项目的人数最有可能为人，
则，
，
，即，
即，即，
解得，
又，
所以当，时，则不等式为，
则当或，即当被3除余2时，选择项目的人数最有可能是人和人；
当，且时，则不等式为，
则，即当被3除余1时，选择项目的人数最有可能是人；
当，且时，则不等式为，
，即当被3整除时，选择项目的人数最有可能是人．
31．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，，三类问题，每位参加比赛的同学先在三类问题中随机选择一类，并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从剩下的两类问题中随机选择一类并从中抽取一个问题回答，回答错误则该同学比赛结束；若回答正确，则从剩下的最后一类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分．已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，能正确回答类问题的概率为0.7．且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的期望．
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】(1)80
(2)选择先回答类问题，理由见解析．
【解析】（1）解：可能的取值为0，20，90，100，170，
依题意得：，，
，，
，
所以．
（2）解：设小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，80，100，150，170．
依题意，，
，，
，
所以
同理设小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，70，90，150，170，
依题意得，，
，，
，
所以．
因为，所以为使累计得分的期望最大．
故小明应选择先回答类问题．
32．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球，在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播.已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人，“次密接”人员有3人，且每个“密接”人员被感染的概率为，每个“次密接"人员被感染的概率为
(1)求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；
(2)设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量，求的数学期望.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）“密接”人员感染两人的概率，
“次密接”人员感染两人的概率，
“密接”人员，“次密接”人员各感染一人概率，则恰好有两人感染新冠肺炎的概率；
（2）对于（2），可得感染人数可能为.
则，
，，
，
，
.
得分布列如下：
则.
33．（2023·高三课时练习）设两名象棋手约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金a元.已知每局甲赢的概率为p(0