新高考数学二轮复习考法分类训练专题06 导数（解答题8种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考法一 零点（交点）的个数
【例1-1】（2023·广东梅州·统考一模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，讨论函数的零点个数.
【例1-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若直线是曲线的一条切线，求a的值；
(2)判断函数的零点个数．
考法二 零点（交点）个数求参
【例2-1】（2022·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【例2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知函数
(1)若是的极小值点，且，求的取值范围；
(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围
考法三 零点之间的关系的证明
【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【例3-2】（2022秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考期中）已知和有相同的最大值.（）
(1)求的值；
(2)求证：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点且，使得成等比数列.
【例3-3】（2023·江苏南通·统考一模）已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.
考法四 利用导数证明不等式
【例4-1】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
考法五 利用导数解（能）恒成立
【例5-1】（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【例5-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若，判断的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.
【例5-3】（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
考法六 利用导数解决双变量
【例6-1】（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【例6-2】（2023·湖南·模拟预测）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．
(1)已知函数，，求实数取值的集合
(2)已知函数有两个不同极值点、．
①求实数的取值范围
②证明：．
【例6-3】（2022·河南新乡·统考一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实根，，求实数a的取值范围，并证明．
考法七 根据极值（点）求参数
【例7-1】（2023·新疆·校联考模拟预测）已知函数，是的导函数.
(1)若，求证：当时，恒成立；
(2)若存在极小值，求的取值范围.
【例7-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.
(1)证明：恰有一个零点；
(2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.
考法八 切线的相关问题
【例8-1】（2023·贵州贵阳·统考一模）函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若过原点O可作三条直线与的图像相切，求实数a的取值范围．
【例8-2】（2023·广东茂名·统考一模）若函数有两个零点，且.
(1)求a的取值范围；
(2)若在和处的切线交于点，求证：.
1．（2023秋·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期末）已知函数和函数有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为.
(1)求实数的值；
(2)求证：.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
4．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
(1)当时，讨论在上的单调性；
(2)当时，若存在，使，求a的取值范围.
5．（2023·山东潍坊·统考一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当吋，.
6．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若，，求实数a的取值范围.
7．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）设函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若方程有两个不相等的实数根，，证明：.
8．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知，记的导函数为．
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，且，证明：．
9．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求的单调区间；
(2)对于任意正整数n，，求t的最小正整数值．
10．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知函数．
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，求证：．
11．（2023·广东深圳·统考一模）已知函数，其中且．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数；
(3)若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围．
12．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数，，其中为实数.
(1)求的极值；
(2)若有4个零点，求的取值范围.
13．（2023·广西柳州·二模）已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)设，当时，函数有两个零点，求实数的取值范围.
14．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若函数恰有两个零点，求正数a的取值范围．
15．（2022·全国·模拟预测）设函数，为的导函数.
(1)当时，
①若函数的最大值为0，求实数的值；
②若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
(2)当时，设，若，其中，证明：.
16．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)求证：（其中是自然对数的底数）.
17．（2022·湖南永州·统考一模）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.
18．（2023·陕西商洛·校考三模）已知.
(1)若恒有两个极值点，（），求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明.
19．（2022·广东韶关·校考模拟预测）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)任取两个正数，当时，求证：.
20（2022·浙江·校联考模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)若有两个不同的极值点，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：（……为自然对数的底数）.
21．（2023·广东肇庆·统考二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
22．（2022·全国·校联考模拟预测）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.
23．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，求证：
(1)存在唯一零点；
(2)不等式恒成立．
24．（2023·云南曲靖·统考一模）已知函数的图像与直线l：相切于点．
(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；
(2)求c与a的函数关系；
(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数k的最值．
25（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围．
26．（2023·福建·统考一模）已知函数．
(1)讨论的极值点个数；
(2)若有两个极值点，且，当时，证明：．
27．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数.
(1)若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围；
(2)设的导函数为，若满足，证明：.
28．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若方程的根为、，且，求证：．
29．（2022·山东·模拟预测）已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，
①证明：；
②方程有两个实根，且，求证：.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求的最小值，并证明方程有三个不等实根；
(2)设(1)中方程的三根分别为，，且，证明：．