新高考数学二轮复习考法分类训练专题07 数列（选填题6种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考法一 等差等比数列的运算及性质
【例1-1】（2023·江西上饶·统考一模）设等差数列前项和为，若，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
由可得，故，
由可得，故，
所以，所以故选：C
【例1-2】（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，
则，解得，所以.故选：D.
【例1-3】（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列
∴，∴，∴.故选：A.
【例1-4】（2023·贵州贵阳·统考一模）等差数列中，，则数列的前9项之和为（ ）
A．24B．27C．48D．54
【答案】B
【解析】在等差数列中，，则
所以，又，所以，所以.故选：B
【例1-5】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，
所以，，所以，，
解得，因此，.故选：D.
【例1-6】（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）设数列，均为等差数列，它们的前n项和分别为，，若，则________.
【答案】
【解析】因为数列，均为等差数列，所以，
所以.故答案为：.
【例1-7】（2023·河南·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【解析】因为，
当时，，
当时，，则，
当时，，则，
因为是等比数列，所以，则，所以，解得，
则，则.故选：B.
【例1-8】（2023·吉林·统考二模）已知是等比数列，下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．（k∈R）B．C．D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
当时，，数列不是等比数列；
当时，，数列不是等比数列；
当时，，数列不是等比数列；
因为，由等比数列的定义可知：
数列是等比数列，
故选：.
【例1-9】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．9
【答案】B
【解析】设数列的公比为，
若，则由题意知，，成等比数列，
则，又，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
即，时等号成立，
则的最小值为.
当时，由，可得，
所以，
故的最小值为.
故选：B.
考法二 常见求通项与求和方法
【例2-1】（2023·广西桂林·统考模拟预测）设为数列的前项和，已知， ，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，由，得，
则，，…，
将各式相加得，又，所以，
因此，
则
将上式减下式得，
所以.故选D.
【例2-2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）（多选）数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（ ）
A．
B．数列的前n项和
C．数列的前n项和
D．
【答案】BCD
【解析】由，有，又
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
则，则，A错误；
由，可得，解之得
又时，，则，整理得
则数列是首项为3公比为3 的等比数列，则，
则数列的前项和
，B正确；
，则数列的前项和
，C正确；
设数列的前项和，
则，，
两式相减得
整理得，则当时，，D正确.
故选：BCD.
【例2-3】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）数列满足，，则__________
【答案】
【解析】由得：，
；
设，
则，
，
，
，即，
，，
.
故答案为：.
考法三 数列在实际生活的应用
【例3-1】（2023·陕西咸阳·校考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米B．10.1米C．11.11米D．11米
【答案】C
【解析】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离.故选：C
【例3-2】（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【解析】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
【例3-3】（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【解析】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
【例3-4】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种治疗新冠肺炎的新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药2小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过3小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时B．14小时C．17小时D．20小时
【答案】C
【解析】检测第n次时，给药时间为，则是以2为首项，3为公差的等差数列，则.
设当给药时间为小时的时候，患者的血药浓度为，血药浓度峰值为a，则数列是首项为a，公比为0.4的等比数列，所以，
令，即，解得，
所以当血药浓度为峰值的时，给药时间为.
故选：C.
考法四 数列的单调性及最值
【例4-1】（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【例4-2】（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项积为，若，，且，则使最大的正整数n的值为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】B
【解析】易知，因为，，所以，，
将其代入，得，所以，
即数列是以128为首项，为公比的等比数列，
所以，，，
当时，，所以，因为均小于0，即，，故最大.
故选：B．
【例4-3】（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可得，
两式相减可得，则，
当时，可得满足上式，故，
所以，
因数列为单调递增数列，即，
则
整理得，
令，则，
当时，，当时，，
于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得，
所以的取值范围为．
故选：A
【例4-4】（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________．
【答案】6
【解析】在等比数列中，，，
所以公比，
所以，解得，故，
易得单调递减，且，
因为，，
所以当时，，当时，，
所以当取得最大值时，．
故答案为：6
【例4-5】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知数列满足，若，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意可得： ，
即： ，整理可得： ，
又 ，则数列 是首项为-10，公比为 的等比数列，
，
则： ,
很明显， 为偶数时可能取得最大值，由 可得： ，
则的最大值为.
考法五 斐波那契数列与三角垛
【例5-1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:.若正项数列的前项和为,且满足,数列的通项公式为,则根据三角垛公式,可得数列的前10项和（ ）
A．440B．480C．540D．580
【答案】A
【解析】由题知,所以,
当时,,
当时,满足上式,故,所以,
由三角垛公式:可得:
,
即,
因为,所以,
故.故选:A
【例5-2】（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（ ）
A．2023B．2024C．2696D．2697
【答案】D
【解析】因为，且，
所以数列为，
此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列为，是以6为周期的周期数列，
所以数列的前2023项的和，
故选：D
【例5-3】（2023·湖南长沙·统考一模）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且．卢卡斯数列是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以当时，，
所以，故，
因为，所以，，
故，
所以.故选：C.
考法六 数列与其他知识综合
【例6-1】（2023·全国·模拟预测）（多选）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若，点在函数的图像上，则下列结论正确的是（ ）
A．数列递增B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由题意知，
选项A：所以，故，
若存在，则有，即存在，
当时，，与矛盾，
当时，由得，若，有，则或，
若与且矛盾；若时有，递推可得，与矛盾，
综上，不存在，
所以，故数列递增，故A正确．
选项B：数列递增，，故，
故，所以与同号，
因为，所以，即．
综上，，故B正确．
选项C：由选项B知，
所以，即，故C错误．
选项D：由题意，可视为数列的前n项和，因为，
所以，
又递增，所以，故，即，故D正确．
故选：ABD.
【例6-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数且有三个不同的零点，，，若，则（ ）
A．
B．当为，的等比中项时，为，的等差中项
C．当为，的等差中项时，
D．实数a的取值范围为
【答案】BCD
【解析】A：，因为，所以，
根据函数和的图象及增长趋势，若满足，则，
又因为，所以，A错误．
B：，，，两边同时取对数，
，，，
，，
因为为，的等比中项，，所以，即是的等差中项，故B正确；
C：为，的等差中项，则，得，得，
则，整理为，则或，
由图象可知，，所以，故C正确；
D：当时，易知方程有两个不同的解，等号两边同时取对数得，
，令，则，令，得，
由A选项知，所以，，又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
，又当无限趋近于负无穷大时，为正数，无限趋近于正无穷大，当无限趋近于0时，也无限趋近于正无穷大，故要使有两个零点，只需，即，
所以，解得，又，故实数a的取值范围为，故D正确．
故选：BCD
【例6-3】（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）（多选）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
【答案】ACD
【解析】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，故A正确，，故B错误，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，故C正确，由于且，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知，均为等差数列，且，，，则数列的前5项和为（ ）
A．35B．40C．45D．50
【答案】B
【解析】由题知，均为等差数列，且，，，
所以，得，所以数列的前5项和为．故选：B
2．（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30B．10C．9D．6
【答案】B
【解析】为正数的等比数列，则，可得，∵， ∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，故.故选：B.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，得，解得；由，得，两式相减得，整理得，故数列是以6为首项，为公比的等比数列，
所以，，则．故选：A．
4．（2023·全国·校联考模拟预测）记数列的前n项和为．若等比数列满足，，则数列的前n项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以等比数列的公比，所以，则，
由，可知数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．故选：D．
5．（2023·山东威海·统考一模）已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】由可设的公比为，
等比数列的前三项和为84，，
，解得，故选：B.
6．（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，，则（ ）
A．17B．19C．21D．23
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，整理得①.
又，即，所以②.
由①②得，故.故选：A
7．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ）
A．196B．197C．198D．199
【答案】C
【解析】设该数列为，则；
由二阶等差数列的定义可知，
所以数列是以为首项，公差的等差数列，
即，所以
将所有上式累加可得，所以；
即该数列的第15项为.
故选：C
8．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前项和为， 若且， 则（ ）
A．25B．45C．55D．65
【答案】D
【解析】由等差数列 的前项和为， 所以为等差数列，设其公差为，
由，知，
所以，所以， 所以，
故选：D．
9．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文D．乙分到34文，丁分到40文
【答案】A
【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，则，解得，
所以乙分得（文），丁分得（文），故选：A.
10．（2023·山西临汾·统考一模）1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预㝘它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（ ）
A．2042B．2062C．2082D．2092
【答案】B
【解析】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，
则等差数列的通项公式为，
∴，.
∴可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年.故选：B.
11．（2023·广东深圳·统考一模）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Kch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，
所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，
由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，
即经过4次操作之后所得图形的面积是.
故选：A
12．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）设 为等差数列的前项和，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得，
所以.故选：C.
13．（2023·陕西铜川·校考一模）设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为q，则，且不为1
又由已知可得，解得，所以．
故选：D.
14．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列的通项公式为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，，数列是首项为2，公比为的等比数列，所以.故选：D
15．（2023·福建漳州·统考二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（ ）
A．110B．100C．90D．80
【答案】A
【解析】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，，
因为，所以数列的前20项和为：
，故选：A
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）记为数列的前n项积，已知，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【解析】1.当时，，，；
2.当时，有，代入，得，
化简得：，则，.
故选：D
17．（2023·河南郑州·统考一模）记为等比数列的前n项和．若，，则（ ）
A．32B．31C．63D．64
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，，解得
又，解得，则故选：B
18．（2023·河南郑州·统考一模）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方法1：∵为等差数列，，
∴，
；
方法2：∵为等差数列，，
∴，
∴.
故选：A.
19．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为为等差数列且，，
故，故，
故数列的前100项和为，
故选：A.
20．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得：，数列为等差数列，
又，，数列的公差，
，，.
故选：C.
21．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，所以有.又，，
所以，数列是以为首项，为公差的等差数列.所以，.
所以，，所以.故选：C.
22．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
23．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
24．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
25．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：所以，即．
故选：A．
26（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
当x为正整数且奇数时，函数单调递减，
当x为正整数且偶数时，函数单调递增，
所以时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得.
故选：B.
27．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则（ ）
A．2023B．2021C．1011D．1013
【答案】D
【解析】由，
得， ①
， ②
①-②得，即，，
当时，，即，也适合，
综上，，
因为
所以是以2为首项，公差为1的等差数列，
所以，所以.
故选：D.
28．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列．在，，，这4个数列中，局部等比数列的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．
若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．
若，则，则是等比数列，所以不是局部等比数列．
若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．
所以局部等比数列的个数是，
故选：.
29．（2023·河南·校联考模拟预测）任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列（为正整数），，若，则的所有可能取值之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，的可能情况有：
①；②；
③；④；
⑤；⑥；
所以，的可能取值集合为，的所有可能取值之和为.
故选：B.
30．（2023·安徽宿州·统考一模）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（ ）
A．
B．7阶幻方第4行第4列的数字为25
C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260
D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396
【答案】D
【解析】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为.
对A，，A对；
对B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字该数列的中间值，即，B对；
对C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C对；
对D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错.
故选：D
31．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列 满足：，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，
∴，，
∴，
又，故，
所以，
所以，
故，
则，
所以.
故选：C．
32．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知正项数列的前n项和为，且，设，数列的前n项和为，则满足的n的最小正整数解为（ ）
A．15B．16C．3D．4
【答案】A
【解析】由题设且，当时，，则，
当时，，则，可得，
所以，
当时，，则，
由上，也成立，故是首项、公差均为1的等差数列，则，即，
又，
所以，即，故的n的最小正整数解为.故选：A
33．（2021·全国·统考高考真题）（多选）设正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
34．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列1，1，2，3，5，8，…被称为“斐波那契数列”该数列是以兔子繁殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”，斐波那契数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】A选项：由题意知：，，，，，，
所以，所以A正确；
B选项：由得，当时，，
即，于是，故B正确；
C选项：，
所以C正确；
D选项：当时，，而，则，故D不正确，
故选：ABC.
35．（2023·全国·模拟预测）（多选）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A．B．当时，
C．D．
【答案】BC
【解析】A选项：因为，所以，所以A不正确；
B选项：因为，，则，
所以，所以，所以B正确；
C选项：因为，所以，
所以，所以C正确；
D选项：，
当且仅当时，等号成立．所以D不正确．
故选:BC.
36．（2023·安徽合肥·统考一模）（多选）已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BC
【解析】由可得，
若对，都有成立，即，
整理可得，所以对都成立；
当为奇数时，恒成立，所以，即；
当为偶数时，恒成立，所以，即；
所以的取值范围是，则整数的值可能是.
故选：BC
37．（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列的第项为B．数列的第2023项为
C．数列的前项和为D．
【答案】ACD
【解析】
…，
，故A选项正确；
，
，故B选项错误；
，，…，当时，，
所以，故C选项正确；
当时，，
，故D选项正确；
故选：ACD.
38．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）（多选）在数列中，若对于任意，都有，则（ ）
A．当或时，数列为常数列
B．当时，数列为递减数列，且
C．当时，数列为递增数列
D．当时，数列为单调数列
【答案】ABC
【解析】对于A选项，由得，
所以，当时，，是常数列；
当时，是常数列，故A选项正确；
对于B选项，，
因为，
所以，当时，，即，
同理可得，，
所以，即，
所以数列为递减数列，且，故B选项正确；
对于C选项，当时，由得，即
由得，
所以，，
同理可得，
所以，即，
所以，数列为递增数列，故C选项正确；
对于D选项，当时，由，即，
由得，符号不确定，
所以符号不确定，
所以，当时，数列的单调性无法确定，故错误.
故选：ABC
39．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）（多选）已知递增的正整数列的前n项和为．以下条件能得出为等差数列的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，时，，当时，满足，
而且时，，则为等差数列，A正确；
对于B，，当时，不满足上式，
得，因此数列不是等差数列，B错误；
对于C，，即为隔项等差数列，且是递增的正整数列，
则，，，且，有，即，
于是，，因此，
所以为等差数列，C正确；
对于D，，，
，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，
从到中间恰有项：，它们是递增的正整数，
而到中间恰有个递增的正整数：，
于是得，，又，，
令，即有，又，
故对，，显然数列是等差数列，D正确.
故选：ACD
40．（2023·福建·统考一模）（多选）记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由题意可得：等比数列的首项，公比，即，
对A：，且，即为等比数列，A正确；
对B：，且，即为等比数列，B正确；
∵，则有：
对C：，均不为定值，即不是等比数列，C错误；
对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误；故选：AB.
41．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）设正整数，其中.记，当时，，则（ ）
A．
B．
C．数列为等差数列
D．
【答案】ACD
【解析】当时，，又，所以，同理，所以，…，，所以，，
所以，所以，A项正确；，，B项错误；
当时，，
当时，
，
当时也符合，所以，所以，
所以，
所以数列为等差数列，C项正确；，
，D项正确.
故选:ACD.
42．（2023·山西·统考一模）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为偶数
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，
故选项A正确；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误；
对于C：由题意知：，所以
，故选项C正确；
对于D：，
故选项D正确，
故选：ACD.
43．（2023·全国·模拟预测）（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．数列的前2n项和的最小值为2
【答案】ACD
【解析】令且，
当时，①；
当时，②，
由①②联立得.
所以，
累加可得.
令(且为奇数)，得.
当时满足上式，
所以当为奇数时，.
当为奇数时，，
所以，其中为偶数.
所以，故C正确.
所以，故A正确.
当为偶数时，，故B错误.
因为，
所以的前2n项和
，
令，
因为数列是递增数列，所以的最小项为，
故数列的前2n项和的最小值为2，故D正确.
故选:ACD.
44．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选）已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】当时，，
当时，.
因为是等比数列，所以需满足，所以，.
所以，A项正确，B项错误；
因为，，
所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列.
所以，所以C项错误，D项正确.
故选：AD.
45．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）（多选）已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（ ）
A．n为偶数时，B．
C．D．的最大值为20
【答案】AC
【解析】根据递推关系可知，n为奇数时，
n为偶数时，，故A对；
根据奇数项构成等差数列
可得：
而又：
则有：，故B错误；
，故C对；
根据中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据特点可知：
的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值为，故D错
故选：AC
46．（2023·江苏南京·校考一模）（多选）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的第2021项为
C．数列的前项和
D．数列的前项和
【答案】CD
【解析】数列各项乘以10再减4得到数列
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；
从而所以故B错误
当时；
当时
0.3.
当时也符合上式，所以故C正确
因为所以当时
当2时，
所以
所以
又当时也满足上式，所以，故D正确.
故选：CD.
47．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）（多选）在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
【答案】AD
【解析】对A，有两个根，
，
解得：或，故A正确；
对B，若数列为等差数列，
和是关于的一元二次方程的两个根，
，
则，故B错误；
对C，若数列为等比数列且，由韦达定理得：，
可得：，，
，
由等比数列的性质得：，
即，故C错误；
对D，由C可知：，且，，
，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选AD.
48．（2023·江西上饶·统考一模）已知数列中，，，，记数列前项和为，则__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，令，则，所以，
则该数列奇数项是以，公比为的等比数列，
偶数项是以，公比为的等比数列，
.
故答案为：.
49．（2023·江苏南通·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.
①；②
【答案】（答案不唯一）
【解析】可构造等比数列，设公比为，
由，可知公比为负数，
因为，所以，
所以可取设，
则.
故答案为：.
50．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】，取得到，
当时，，
，
当时，不满足
所以.
故答案为：.
51．（2023·安徽宿州·统考一模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.
【答案】
【解析】数列的前n项和为，，，当时，，
两式相减得：，即，而，解得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
，
所以.
故答案为：
52．（2023·湖南·模拟预测）已知的非零数列前n项和为，若，则的值为____________.
【答案】65
【解析】由得：，
故两式相减得，
由于为非零数列，故，所以的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，且等差均为2，
所以，
故答案为：65
53．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，，若数列的前n项和为，则______．
【答案】
【解析】，时，，
两式相加得：，，
所以数列的奇数项和偶数项分别成公差为6的等差数列．
若n为偶数，设，，则，
中，令得：，
因为，所以，
所以，即．
若n为奇数，设，，则，所以．
综上，的通项公式为，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案为：
54．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列满足，，则数列的前项和________．
【答案】
【解析】由题意可得，，
所以是以3为首项，3为公差的等差数列，所以，
；
设数列的前项和为，
则.
故答案为：.
55．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知数列中：，则的前8项和为______．
【答案】
【解析】根据题意可得，
，
，
，
，
，
则的前8项和为
故答案为:
56．（2023·全国·模拟预测）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为______．
【答案】
【解析】因为能被除余且被除余的数即为能被除余的数，
故，又，即，解得，
又，所以且.
故答案为：.
57（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知数列的前n项和为，，，设，数列的前n项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】∵，时，，∴．
当时，，
∴，即．
∴，，
累加法可得：，
即，∴．
当，2时也满足，故．
又，
，
所以实数的取值范围为．
故答案为： ．
58．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知数列的前项和为，，，若数列满足，，则_____________.
【答案】5149
【解析】∵，∴.
当时，，
∴，
即.∴.……
，上式累加得，
∴.
当时也满足，故.又，，∴，
当时，，①
当时，，②
当时，，③
由①②得，由②③得，
∴
.
故答案为：5149
59．（2023·全国·模拟预测）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，则
∴
当且仅当，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为．
故答案为：.
60．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）在等比数列中，，，则______．
【答案】31
【解析】设，则
，
所以．故答案为：31