新高考数学二轮复习考法分类训练专题09 空间几何（选填题8种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考法一 体积与表面积
【例1-1】（2023·山东威海·统考一模）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2021·全国·统考高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】（2023·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例1-4】（2023·全国·模拟预测）已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2，O是底面ABCD的中心，若异面直线OB1与CC1所成角的余弦值为，则该四棱台的侧面积为（ ）
A．12B．
C．D．9
考法二 平行与垂直
【例2-1】（2023云南）设是两不同的直线，是两不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【例2-3】（2021·浙江·统考高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【例2-4】（2023·山东菏泽·统考一模）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考法三 空间角
【例3-1】（2023·黑龙江大庆·统考一模）在三棱锥中，平面ABC，且，，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
【例3-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知四棱锥的顶点都在一个表面积为的球面上，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，则（ ）
A．
B．
C．直线PC与直线AB所成角的大小为
D．直线PC与平面PAB所成角的大小为
考法四 空间距离
【例4-1】（2023·福建·统考一模）已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．
【例4-2】（2023·浙江温州·统考模拟预测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为______．
【例4-3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）（多选）长方体中，，，，则（ ）
A．到平面的距离为
B．到平面的距离为
C．沿长方体的表面从到的最短距离为
D．沿长方体的表面从到的最短距离为
考法五 外接球与内切球
【例5-1】（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
【例5-3】（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在三棱锥中， 平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例5-4】（2023·陕西西安·统考一模）在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例5-5】（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
考法六 实际生活中的应用
【例6-1】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4D．5
【例6-3】（2023·陕西西安·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例6-4】（2023·全国·模拟预测）粮食是关系国计民生和国家经济安全的重要战略物资，也是人民群众最基本的生活资料，粮食安全是“国之大者”．如图为某农场的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为8m，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的6倍，且这两个圆锥的顶点相距10m，则该粮仓的体积约为（ ）
A．B．C．D．
【例6-5】（2021·北京·统考高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
【例6-6】（2021·全国·统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
考法七 截面或轨迹长度
【例7-1】（2023·江西上饶·统考一模）在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【例7-3】（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例7-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知点P为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一动点，四边形ABCD为正方形，，E为AB的中点，F为DD1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为
B．过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形
C．若平面A1C1E，则点P的轨迹长度为
D．若动点P到棱BB1的距离为，则点P的轨迹长度为
考法八 最值问题
【例8-1】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知圆锥的侧面积为，高为，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例8-2】．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例8-3】（2023·广东深圳·统考一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例8-4】．（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则（ ）
A．1B．C．D．
【例8-5】（2023·吉林·统考二模）三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．.
【例8-6】（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2023秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）设l是直线，是两个不同的平面（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知空间四条直线a，b，m，n和两个平面，满足，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
4．（2021·全国·统考高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·统考高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
6（2022·全国·统考高考真题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A．B．AB与平面所成的角为
C．D．与平面所成的角为
7．（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知直线a，b与平面α，β，γ，能使的充分条件是（ ）
A．，，B．，
C．，D．，，
9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体的棱长为1，点在线段上，有下列四个结论：
①；
②点到平面的距离为；
③二面角的余弦值为；
④若四面体的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2023·湖南·模拟预测）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在直三棱柱中，，，，，，分别是，， 的中点，则下面说法中正确的有（ ）
A．平面
B．
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．点到平面的距离为
13．（2023·上海黄浦·统考一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．平面平面ABN
C．直线GB与AM是异面直线D．直线GB与平面AMD无公共点
14．（2023·内蒙古·模拟预测）已知球O的半径为2，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·山东潍坊·统考一模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，中，，为的中点，将沿折叠成三棱锥，则该棱锥体积最大值为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是矩形，，分别是棱 的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·四川·校联考一模）四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．8
21．（2023·四川·校联考一模）在长方体中，已知异面直线与，与AB所成角的大小分别为和，则直线和平面所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·江西上饶·统考一模）蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，，，，则该鞠（球）被平面PAB所截的截面圆面积为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
24．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23B．24C．26D．27
27．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）三棱锥中，点A在平面BCD的射影H是△BCD的垂心，点D在平面ABC的射影G是△ABC的重心，，则此三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
28．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
29．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）表面积为的球内有一内接四面体，其中平面平面，是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
31（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
32．（2023·陕西西安·统考一模）在三棱锥中，平面平面BCD，是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知长方体中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，，的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
34．（2023·云南·统考模拟预测）（多选）如图，在正方体中，E､F､G分别为的中点，则（ ）
A．B．与所成角为
C．D．平面
35．（2023·重庆·统考一模）（多选）在棱长为的正方体中，则（ ）
A．平面
B．直线平面所成角为45°
C．三棱锥的体积是正方体体积的
D．点到平面的距离为
36．（2021·全国·统考高考真题）（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A．B．
C．D．
37．（2023·全国·模拟预测）（多选）如图，在正方体中，以下结论正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．异面直线与所成的角为60°D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为
38．（2023·全国·模拟预测）（多选）在长方体中，直线与平面、平面所成的角均为，则（ ）
A．
B．
C．直线与平面所成的角为
D．直线与所成的角为
39．（2023·全国·模拟预测）（多选）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，，点D为AB的中点，，则下列结论正确的有（ ）
A．CD⊥A1DB．平面A1DC⊥平面ABB1A1
C．平面A1BC1D．
40．（2023·辽宁·校联考模拟预测）（多选）在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
41．（2023·全国·模拟预测）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论成立的有（ ）
A．B．平面
C．与所成角的余弦值为D．点到平面的距离为2
42．（2023·山东威海·统考一模）（多选）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则( )
A．当时，的最小值为
B．当时，有且仅有一点P满足
C．当时，有且仅有一点P满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等
D．当时，直线AP与所成角的大小为定值
43．（2023·吉林·统考二模）（多选）已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（ ）
A．若，，且，则ABCD是平行四边形
B．若M是AB中点，N是CD中点，则
C．若，，，则CD在上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等
44．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）
A．高为B．表面积为
C．体积为D．上底面积、下底面积和侧面积之比为
45．（2023·云南红河·统考一模）（多选）三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．球心O在三棱锥的外部
C．球心O到底面ABC的距离为2D．球O的体积为
46．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）（多选）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，垂足为点O，，E为的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．平面
C．平面平面D．平面平面
47．（2023·山东日照·统考一模）（多选）已知正方体过对角线作平面交棱于点，交棱于点F，则（ ）
A．平面分正方体所得两部分的体积相等
B．四边形一定是菱形
C．四边形的面积有最大值也有最小值
D．平面与平面始终垂直
48（2022·全国·统考高考真题）（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
49．（2023·安徽宿州·统考一模）（多选）棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱AD，，的中点，过点E，F，G的平面记为平面，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．平面截正方体外接球所得圆的面积为
D．正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为
50．（2023·吉林·统考二模）（多选）如图，正四棱柱中，，动点P满足，且.则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线平面
B．当时，的最小值为
C．若直线与所成角为，则动点P的轨迹长为
D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是
51．（2023·山东临沂·统考一模）（多选）已知正方体的棱长为4，点分别是的中点，则（ ）
A．直线是异面直线B．平面截正方体所得截面的面积为
C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球的表面积为
52．（2021·全国·统考高考真题）（多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
53．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．
54．（2023·全国·模拟预测）已知在三棱锥中，是面积为的正三角形，平面平面，若三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为______．
55．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）在棱长为3的正方体中，点P在平面上运动，则的最小值为______.
56．（2023·山东菏泽·统考一模）正三棱锥的高为为中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为，则__________.
57．（2023·山东潍坊·统考一模）在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为__________.
58．（2023·上海·统考模拟预测）在棱长为1的正方体中，为底面的中心，，，为线段的中点，则下列命题中正确的序号为__________.
①与共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，过三点的平面截正方体所得截面的周长为；
④时，.
59．（2023·四川成都·统考模拟预测）在直三棱柱中，是等边三角形，，在该三棱柱的外接球内随机取一点，则点在三棱柱内的概率为_____________.
60．（2023·河南·校联考模拟预测）在四面体ABCD中，，，．若四面体ABCD的体积为，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______．
61（2023·山东日照·统考一模）设棱锥的底面为正方形，且，，如果的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为___________.
62．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）如图，在四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的表面积为______．