新高考数学二轮复习考法分类训练专题11 函数与导数（选填题8种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考法一 函数图像
【例1-1】（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，且，
函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.
【例1-2】（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.
故选：A.
【例1-4】（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.故选：D.
考法二 函数的单调性
【例2-1】（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
【例2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 在为增函数，
则，解得；
在为减函数，则，即或，
因为“”能推出“或”，反之不成立，
所以命题q是命题p的必要不充分条件，故选：B．
【例2-3】（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】当时，，解得，
当时，，即，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
【例2-4】（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】令，则在为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得，
即的取值范围为．故答案为：
【例2-5】（2023·上海·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】函数的定义域为.
因为在上为增函数，在上为增函数，
所以在上为增函数，
又，所以不等式的解集为.故答案为：
考法四 函数奇偶性
【例4-1】（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）函数为上的奇函数，当时，，则（ ）
A．98B．C．90D．
【答案】A
【解析】因为函数为上的奇函数，所以，
又当时，，所以.故选：A.
【例4-2】（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
【例4-3】（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选：D．
【例4-4】（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
考法四 函数的周期性与对称性
【例4-1】（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，
，解得：.故选：A.
【例4-2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【解析】因为的图象关于直线对称，所以，
所以，
因为，所以，所以为偶函数．
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以的周期为，所以．
因为，所以，故．故选：A
【例4-3】（2023·内蒙古·模拟预测）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得：，
令，则；
关于对称，，
，为定义在上的奇函数；
又为上的增函数，为增函数，在上单调递增，
则由得：，
，解得：，即的解集为.故选：D.
【例4-4】（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以
因为，所以.
所以.
故选：D
考法五 函数的最值及极值
【例5-1】（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．
【例5-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，当时， ，
因为函数的值域为，所以，得，
所以实数的取值范围是，故选：D.
【例5-3】（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D
【例5-4】（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，，∴，
又∵在恰有2个极大值点，∴由正弦函数图象可知，，解得：.
故选：B.
【例5-5】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________.
【答案】4
【解析】因为函数有两个极值点与
由，则有两根与
所以，得
因为，
所以，又
则，
所以
故答案为：
【例5-6】（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为 是 的一个零点， ，将 看作直线 上一个点的坐标，则原题就变为：求当 时，点 到原点的距离的平方的最小值，
原点到直线的距离为 ， ，
令 ， ，当 时，, 是增函数，
在 时， ；
故答案为： .
【例5-7】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数在处取得极大值，则实数a的范围是______．
【答案】
【解析】，可得，
令，则．
①当时，在上单调递增.
又，则当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.
所以在处取得极小值，不合题意；
②当时，，令，
解得在上单调递增.
又，.
可得当时，，从而在上单调递减；
当时，，从而，在上单调递增，
所以在处取得极小值，不合题意；
③当时，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，所以，从而，
所以在上单调递减，不合题意；
④当时，，令，
解得在上单调递减.
又,故当时，，
从而在上单调递增，
当时，，从而在上单调递减．
所以在处取得极大值，符合题意.
综上，实数a的范围为．
故答案为：.
考法六 切线及应用
【例6-1】（2023·四川·校联考一模）曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知时，，即切点为，
又，则，
故曲线在处的切线斜率为，
故切线方程为，即，
故选：D
【例6-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数是偶函数，当时，．若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】C
【解析】当时，，所以，又函数是偶函数，
所以当时，，则，所以．又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，所以，，解得．故选：C
【例6-3】（2023·四川·校联考一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，所以，切线斜率为，
由题知得或（舍），所以，，此时点到直线距离.故选：C
【例6-4】（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【例6-5】（2023·陕西西安·统考一模）过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
设切点为，则切线方程为，
切线过点，，整理得到，
方程有三个不等根.
令，则，令，则或，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
极大值，极小值，函数与有三个交点，
则，的取值范围为.故选：D
考法七 零点定理
【例7-1】（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数有且仅有2个零点，
则有且仅有2个解，
设，根据符号作出的草图如下：
则或，故选：D.
【例7-2】（2023·山西忻州·统考模拟预测）若函数在内恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以．令，得．当时，，解得；当时，，解得．
综上，的取值范围是．故选:D
【例7-3】（2023·江西上饶·统考一模）已知函数，则在上的零点个数是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】B
【解析】因为，
所以函数是周期为的周期函数，
又，
当时，令，
可得或或
当时，，当且仅当时，
函数在上单调递增，
因为，，所以函数在存在一个零点；
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递减，
因为，，
所以函数在存在一个零点；
当时，，所以函数在上单调递增，
因为，，
所以函数在不存在零点；
所以当时，函数有两个零点，且零点位于区间内，
所以在上共有个零点.
故选：B.
【例7-4】（2023·陕西咸阳·校考一模）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且，则方程实根个数为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】B
【解析】因为函数满足，
所以，，即函数为周期函数，周期为，
因为当时，，
所以，当时，恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为为定义在上的偶函数，
令，则定义域为，，
所以函数为定义在上的偶函数，
因为
因为，
所以
所以，作出函数，图象如图，
由图象可知，当时，函数与图象有4个交点，
所以，由偶函数的对称性可知，当时，函数与图象有4个交点，
所以，方程实根个数为个.故选：B
【例7-5】（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
考法八 求参数
【例8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，对于恒成立，则满足题意的a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数，对于恒成立，
所以，对于恒成立，
所以，对于恒成立，
设，则为上的增函数，所以，
则，对于恒成立，
设，则，
当时，恒成立，所以在上为增函数，
因为，所以存在，使得，不满足，对于恒成立；
当时，令，得，
所以当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以，则，
设，则，
令，得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，即.
综上所述：的取值集合为.故选：D
【例8-2】（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【例8-3】（2023·全国·模拟预测）已知，，恒成立，则的最大值为______．
【答案】
【解析】因为，由于，则，即，
令，则，即，
令，，则当时，，
当时，，则函数在单调递减，
当时，，则函数在单调递增，
所以当时，，即，
所以，当且仅当时等号成立，所以，则，所以．
设，则，易知当时，，单调递增；
当时，，单调递减．所以，即的最大值为．
故答案为:
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D
3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；故选：C．
3．（2021·天津·统考高考真题）函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
4．（2021·北京·统考高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.
5（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
而，故.故选：C.
6（2023·四川·校联考一模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图象的对称性可知，函数为偶函数.
对于A，，为偶函数；
对于B，，为奇函数，不符合题意；
对于C，，为偶函数；又，不符合题意；
对于D，，为奇函数，不符合题意，故选：A．
7．（2023·江西上饶·统考一模）若函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】由函数得，.故选：A.
8．（2023·山东临沂·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则在R上单调递增，
由，则时，即，而，
∵，∴..综上：.故选：B.
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】易知在上单调递增，所以当时，；
在上单调递增，所以当时，.
所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得.故选：C.
10．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先化简，构造函数，
所以有，显然在单调递增，所以；
又因为，，所以由“”不能得出“”，由“”可得出“”，故“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B
11．（2023·河南·校联考模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
且，
所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，
只需研究的图象，当时，，则，排除选项.
故选：．
12．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）若某函数在区间上的大致图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A选项，设，则当时，，
则，不符合图像，排除A；
C选项，设，当时，，且，，，所以．
所以，不符合图像，排除C；
D选项，设，令，解得或，与图像不符，排除D.
故选：B．
13．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在R上单调递减，
在同一坐标系中作的图像，如图：
所以，故，
故选：A.
14．（2023·山西忻州·统考模拟预测）溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为（ ）（取，）
A．摩尔/升B．摩尔/升
C．摩尔/升D．摩尔/升
【答案】A
【解析】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，
从而，
即该溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．
故选：A
15．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于，当时，，所以，故选项错误；
对于，当时，，所以，故选项错误；
对于，当时，，所以，且时，，；当时，，所以，且时，，，故选项正确；
对于，当时，，则，所以，故选项错误，
故选：.
16．（2023·陕西西安·统考一模）函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
是偶函数，排除选项B和D
当时，，，即，排除选项C
故选：A
17．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则函数图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由得函数与的零点相同，所以可排除C选项，
因为当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，趋近于正无穷，
所以当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，排除选项B和D，
故选：A．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，化简得，所以．
又是函数的一个极值点，所以当时，函数取得最值，所以，
解得．因为，所以．故选：A．
19．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，函数的定义域是，在上不是单调函数，A错误．
对于B，由题得，解得，
所以函数的定义域为，不符合题意，B错误；
对于C，根据对勾函数单调性可知：函数在上单调递减，C错误；
对于D，令，则的定义域为，且，
因此是奇函数，又，当且仅当时等号成立，则函数在R上单调递增，D正确．故选：D
20．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，
又，所以为偶函数，
当时，则在上单调递增，
令，，所以，
所以在上单调递增，
则在上单调递增，从而得到在上单调递减，
则不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为.故选：C
21．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知，，，若满足，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由题意，令，则，，，
即，，，
令，则，，，解得，
.故选：C.
22．（2023·吉林·统考二模）设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，
若，则，故A错误，
若，则，故B错误；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，即，所以，
由得，则，故C正确；
由得，则，故D错误.
故选：C.
23．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.
24．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.
25．（2023·山东淄博·统考一模）（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，在有最小值1
B．当时，图象关于点中心对称
C．当时，对任意恒成立
D．至少有一个零点的充要条件是
【答案】AC
【解析】对于，当时，，
当时，则当且仅当，即时去等号，
所以函数在有最小值1，故选项正确；
对于，当时，则，
因为，所以此时函数图象不关于点中心对称，故选项错误；
对于，当时，则，令，
则，当时，；
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
则当时，对任意恒成立，故选项正确；
对于，因为时，函数有一个零点，所以选项错误，
故选：.
26．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）（多选）已知，，且，下列结论中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为，，且，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，
由于函数在上单调递减，所以，故A不正确；
对于B，因为，，且，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C，因为，，且，所以，则，
设，则恒成立，所以在上单调递增，则，则，即，故C正确；
对于D，因为，，且，所以，则，
所以，当时，等号成立，故D不正确.
故选：BC.
27．（2023·山西忻州·统考模拟预测）（多选）已知，分别是定义在R上的函数，的导函数，，，且是奇函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．D．
【答案】ABC
【解析】因为，所以（a为常数），
所以．因为，
所以．
令，得，解得，
所以，则的图象关于直线对称，故选项正确．
因为，且，所以．所以，即是偶函数．因为是奇函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为是偶函数，所以的图象关于点对称，则选项正确．
因为是奇函数，所以，所以，
所以，则是周期为4的函数．
因为，所以，所以，，则．因为是奇函数，
所以，所以，
则选项正确．
因为，所以，所以，，，
，所以，所以，
则选项错误．
故选：.
28．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）（多选）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】令，则方程化为，
由给定的选项知，方程有实根，设其根为，
函数定义域为R，
，在上递减，在上递增，
且的图象关于直线对称，，
当时，方程无解，
当时，方程有一解，
当时，方程有两解且和为2，
对于A，当时，方程有两解且和为4，
与题意矛盾，故A不符合要求；
对于B，当时，方程有两解且和为2，又关于对称，故B符合要求；
对于C，当时，方程有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C不符合要求；
对于D，当时，方程有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又关于对称，关于对称，故D符合要求，
故选：BD.
29．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）（多选）设函数，则（ ）
A．的一个周期为B．在上单调递增
C．在上有最大值D．图象的一条对称轴为直线
【答案】BD
【解析】对A：，故不是的周期，A错误；
对B：令，则，
则，
∵，则，
∴在上单调递增，且，
又∵在上单调递增，故在上单调递增，B正确；
对C：∵，则，
∴，则，
又∵在上单调递增，且，
∴在上最大值为，
即在上有最大值，C错误；
对D：，故图象的一条对称轴为直线，D正确.故选：BD.
30．（2023·山西忻州·统考模拟预测）（多选）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，所以．
设，则在上单调递增．
因为，所以，则A正确．
因为，，且，所以，所以，则B正确，
因为，取，则，所以C不正确.
因为，所以，所以，即，则D正确．
故选：ABD.
31．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）（多选）已知函数的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A．B．
C．的图象关于点对称D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以的图象关于点对称，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，A正确；
因为定义域为的函数的图象关于点对称，所以，B正确；
由，得，即，．
因为，所以，
又因为，相减得，
所以的图象关于点中心对称，C错误；
因为函数的定义域为，所以，所以．
记，
结合A、C分析知：数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，，
所以，D正确；
故选：ABD．
32．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．为函数的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．在上有两个极值点
D．的值域为
【答案】AB
【解析】A选项：，故A正确；
B选项：，所以的图象关于直线对称，故B正确；
C选项：易知，令，得或，当时，无解，由，得，故函数在上只有一个极值点，故C错误；
D选项：易知，又，所以，故D错误．
故选：AB
33．（2023·全国·模拟预测）（多选）若函数的定义域为，且满足与都为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为是奇函数，所以，
所以，即的图象关于直线对称．
因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点对称，所以是周期为4的周期函数．
选项A，B：因为的周期为4且其图象关于点对称，
所以，，所以A，B正确；
选项C：易知，，
所以，
所以，故C错误；
选项D：因为，
所以，故D正确．
故选：ABD．
34．（2023·山东临沂·统考一模）（多选）已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为是偶函数，所以，即，所以是奇函数.
对于A，定义域为，所以不满足题意；
对于B，定义域为，，符合题意；
对于C，定义域为，，不符合题意；
对于D，定义域为，，而，符合题意.
故选：BD.
35．（2023·山东威海·统考一模）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为为偶函数，所以，
所以，故A正确；
对于B，因为，左右两侧分别取导数可得，，
所以，故B正确；
对于D，因为，又为奇函数，则，
所以，即，则，故D正确；
对于C，令，则为偶函数，为奇函数，满足题干，
当时，，，
所以，即存在，使得不成立，故C错误.
故选：ABD.
36．（2023·山东潍坊·统考一模）（多选）已知，过点和的直线为.过点和的直线为，与在轴上的截距相等，设函数.则（ ）
A．在上单调递增B．若，则
C．若，则D．均不为（为自然对数的底数）
【答案】CD
【解析】由已知可得，直线的方程为，
由，可得；
直线的方程为，
由，可得.
由已知可得，，
整理可得，.
因为，函数在上单调递增，所以，
所以.
对于A项，令，，则，.
令，则在R上恒成立，
所以，在R上单调递增，即在R上单调递增.
又，所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，故A项错误；
对于B项，设，则.
令，则，
显然在上单调递增，
且，，
根据零点存在定理，可得，有，
且当时，有，即在上单调递减，所以在上单调递减；
当时，有，即在上单调递增，所以在上单调递增.
因为，，，
根据零点存在定理，可得，有，
且当时，有，即在上单调递减；
当时，有，即在上单调递增.
因为，，，.
所以有，可得或，
因为，所以有可得，，所以或（舍去）.
所以，，
所以，，故B项错误；
对于C项，因为，则由可知，.
所以，，所以，故C项正确；
对于D项，因为，所以，所以.
①当时，则有.
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以恒成立，
所以，方程在上无解，即不存在；
②当时，则有.
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，所以恒成立，
所以，方程在上无解，即不存在.
综上所述，均不为，故D项正确.
故选：CD.
37．（2023·吉林·统考二模）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
所以，，
所以，，，
所以BD正确，C错误；
若，则，A错误.
故选：BD
38．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【解析】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
39．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
40．（2021·浙江·统考高考真题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【解析】，故，故答案为：2.
41．（2021·全国·统考高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，时，整理得到，
故，故答案为：1
42．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
43．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
44．（2022·北京·统考高考真题）函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
45．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
46．（2023·四川成都·统考模拟预测）函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故答案为：.
47．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则_____________．
【答案】
【解析】因为为奇函数，则，
令，则，故，则，
令，则，
又因为为偶函数，则，
令，则，
令，则
因为，即，所以，
联立，解得，
所以当时，.
又因为，即，
则，
所以函数是以4为周期的函数，
故.
故答案为：.
48．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）请写出与曲线在处具有相同切线的另一个函数：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】的导函数为，又过原点，
在原点处的切线斜率，
在原点处的切线方程为；
所求曲线只需满足过点且在处的导数值即可，如，
，又过原点，
在原点处的切线斜率，
在原点处的切线方程为.
故答案为:（答案不唯一）.
49．（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数的图象在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为，所以．因为，，所以所求切线方程为，即.
故答案为：
50．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）若函数的极小值点为1，则实数a的取值范围是__________，
【答案】
【解析】由得，
，
令得，
令，
所以，
又，
所以有两个不同的根，令，
当或时，单调递减；当单调递增，
①当即时，的大致图象如图1：
当时，，当时，，所以为的极大值点，
当时，，当时，，所以1为的极小值点，
当时，，当时，，所以为的极大值点，
故时满足题意.
②当时,是的最大根，的大致图象如图2：
时，当时，所以1为的极大值点，此时不满足题意.
③当时，的大致图象如图3图4，时，，当时，所以1为的极大值点，此时不满足题意.
④当时，，时，，当时，所以1为的极大值点，此时不满足题意.
综上：的取值范围：，
故答案为：
51．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数______．
【答案】2
【解析】设切点为，则有.
故答案为：2.
52．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________．
【答案】
【解析】 ，所以 是奇函数，
又 ， 在R的范围内是增函数，
有解等价于 ， 有解，
令 ，
当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；
当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数，
；
令 ，则 ，当 时， ，
是增函数，当 时， 是减函数，
并且当 时， ， ，
当 时 ，即当 时， 满足题意，
所以a的取值范围是 ；
故答案为：.
53．（2023·山东威海·统考一模）若不等式对任意成立,则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为对任意成立,
不等式可变形为:,
即,
即对任意成立,
记,所以,
所以在上单调递增,
则可写为:,
根据单调性可知,只需对任意成立即可,
即成立,记,即只需,
因为,故在上,,单调递增,
在上,,单调递减,
所以,
所以只需即可,解得:.
故答案为:
54（2023·山东菏泽·统考一模）定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________.
【答案】1
【解析】若为偶函数，为奇函数，
则，，
令，则，即，
令，则，即，
又因为，所以.
故答案为：1.
55．（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且的图象关于直线对称.若时，，则______.
【答案】
【解析】因为的图象关于直线对称，所以，即，
所以的图象关于直线对称，故（*）.
由，得，所以，所以，
所以的周期为4，所以.由（*）式得.
故答案为：.
56．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
57．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
58．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
59（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【解析】∵，∴
∴
故答案为：1，
60．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1