新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题15 三角恒等变换八大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145710201" 题型1辅助角公式的运用 PAGEREF _Tc145710201 \h 1
\l "_Tc145710202" 题型2辅助角公式与最值 PAGEREF _Tc145710202 \h 2
\l "_Tc145710203" 题型3凑角求值 PAGEREF _Tc145710203 \h 3
\l "_Tc145710204" ◆类型1诱导公式法 PAGEREF _Tc145710204 \h 4
\l "_Tc145710205" ◆类型2拆角 PAGEREF _Tc145710205 \h 4
\l "_Tc145710206" 题型4分式型凑角求值 PAGEREF _Tc145710206 \h 5
\l "_Tc145710207" 题型5正切恒等变形 PAGEREF _Tc145710207 \h 6
\l "_Tc145710208" ◆类型1正切化简求值 PAGEREF _Tc145710208 \h 6
\l "_Tc145710209" ◆类型2与其他知识结合 PAGEREF _Tc145710209 \h 7
\l "_Tc145710210" 题型6正切求角 PAGEREF _Tc145710210 \h 8
\l "_Tc145710211" 题型7二倍角公式与升幂降幂 PAGEREF _Tc145710211 \h 9
\l "_Tc145710212" 题型8正余弦和差积问题 PAGEREF _Tc145710212 \h 11
题型1辅助角公式的运用
【例题1】（2023·全国·高三专题练习）用辅助角公式化简： .
【变式1-1】1. （2023秋·湖南永州·高三校联考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】2. （2023秋·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知，，且，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】3. （2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）函数的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】4. （2023秋·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）已知，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．0
【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）设为动点到直线的距离，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
题型2辅助角公式与最值
【例题2】（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数在处取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】1. （2023·河南·校联考模拟预测）若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】2. （2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）已知，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】3. （2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知函数，当取得最大值时， .
【变式2-1】4. （2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知函数，若的图像在区间上有且只有1个最低点，则实数的取值范围为 .
【变式2-1】4. （2021秋·广西南宁·高三统考阶段练习）已知函数f(x)=(sin2x+4csx)+2sinx，则f(x)的最大值为（ ）
A．4B．
C．6D．5+2
【变式2-1】5.（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）若函数，的值域为，则的取值范围为 .
题型3凑角求值
◆类型1诱导公式法
【例题3-1】（2023·河南开封·统考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】1. （2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】2. （2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】3. （2022秋·新疆巴音郭楞·高三八一中学校考阶段练习）设为锐角，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】4. （2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
◆类型2拆角
【例题3-2】（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知，均为锐角，且，，则（ ）
A．B．C．D．或
【变式3-2】1. （2022秋·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若都是锐角，且，，则
A．B．C．或D．或
【变式3-2】2. （2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】3. （2022秋·山东日照·高三校考阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型4分式型凑角求值
【例题4】（2021·湖北黄冈·黄冈中学校考一模）求值：
A．B．C．D．
【变式4-1】1. （2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）求值 ．
【变式4-1】2. （2022·全国·高三专题练习）计算求值：
(1)计算的值；
(2)已知、均为锐角，，，求的值．
【变式4-1】3. （2022秋·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）化简求值：
(1)
(2)
【变式4-1】4. （2023·全国·高三专题练习）化简：
(1) ；
(2) .
题型5正切恒等变形
◆类型1正切化简求值
【例题5-1】（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）若，且，则 .
【变式5-1】1.（多选） （2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知，为坐标原点，终边上有一点.则（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】2. （2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则 .
【变式5-1】3. （2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．-2
【变式5-1】4. （2023·四川成都·校联考二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为 ．
【变式5-1】5.（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式5-1】6.（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（ ）
命题p：对任何锐角A，都存在，使得；
命题q：对任何锐角A，都存在，使得．
A．p是真命题，q是真命题B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题D．p是假命题，q是假命题
◆类型2与其他知识结合
【例题5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列中，则数列的前n项和= .
【变式5-2】1. （2022·上海·高三专题练习）已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为 ．
【变式5-2】2. （2022·浙江绍兴·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角A为最小角且均为整数，则 ，设，的中点为D，则 .
【变式5-2】3. （2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于的两点.设，且，则的周长的最大值为 .
【变式5-2】4. （2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知A、B是椭圆与双曲线的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N．若MN过椭圆的焦点F，且，则双曲线的离心率为 ．
题型6正切求角
【例题6】（2023春·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）已知、是方程的两个根，且，则等于（ ）
A．B．
C．或D．或
【变式6-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】2. （2020·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（ ）
A．或B．C．D．
【变式6-1】3. （20122秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）在中，若，则角的大小为
A．B．C．D．
【变式6-1】4. （2022·湖南·校联考二模）已知在中，，则角的最大值为 ．
【变式6-1】5. （2022秋·江苏常州·高三统考期中）已知、、为的内角，若，则角的取值范围为 .
题型7二倍角公式与升幂降幂
【例题7】（2022·甘肃临夏·统考一模）已知角终边上一点M的坐标为，则（ ）
A．B．C．2D．
【变式7-1】1. （2020·北京·高三强基计划）已知，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【变式7-1】2. （2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）已知，则当取得最大值时， ．
【变式7-1】3. （2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知，则 ．
【变式7-1】4. （2023秋·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则= .
【变式7-1】5. （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若函数，则的最小值是 ．
【变式7-1】6. （2023秋·河南·高三校联考阶段练习）在中，，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．16
题型8正余弦和差积问题
【例题8】（2023秋·新疆巴音郭楞·高三校考开学考试）已知，，则（ ）
A．1B．C．D．
【变式8-1】1. （2022春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知为象限角，且满足，则（ ）
A．B．6C．D．
【变式8-1】2. （2022秋·吉林·高三吉林省实验阶段练习）已知，则的值为
A．B．C．D．
【变式8-1】3. （2022·陕西·校联考模拟预测）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若，则角可取的值用密位制表示错误的是（ ）
A．12-50B．2-50C．13-50D．32-50
【变式8-1】4. （2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式8-1】5. （2021·江西南昌·高三阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】6. （2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）若在上恒成立，则m的取值范围是 ．
【变式8-1】7. （2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
1．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·甘肃临夏·统考一模）已知函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）已知和是关于的方程的两根，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）设，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
6．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式tan p =，但是处理拔高题，仅仅简单的用此公式|是远远不够的，要学会推导过程.知其然知其所以然.并且，深层次应用，不仅仅会"化正"，更要会“化余”.
asin α＋bcs α=
令，,
asin α＋bcs α===eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)
辅助角公式满足：
asin α＋bcs α==eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
-eq \r(a2＋b2)≤asin α＋bcs α≤eq \r(a2＋b2)
常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
分式型最终目标是分别把分子分母化为积的形式，便于约分来化简.
两角和的正切公式的常见四种变形：
T(α＋β)：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
③④tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
④1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)；
T(α－β)：
①tan α1tan β＝tan(α1β)(1+tan αtan β)；
②tan α-tan β-tan α·tan β·tan(α-β)＝tan(α-β)；
③④tan α·tan β＝-1
④1+tan αtan β＝；
给值求角问题的解题策略:
(1)讨论所求角的范围．
(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．
(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角
1.二倍角公式
2.升幂与降幂公式
1．降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
2．升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
注意：倍角公式中的"倍角"是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，"倍"是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
问题一般通过1.平方法2.换元法进行解决