新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题16 三角函数的图像与性质八大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145701319" 题型1正余弦平移问题 PAGEREF _Tc145701319 \h 1
\l "_Tc145701320" 题型2识图问题 PAGEREF _Tc145701320 \h 6
\l "_Tc145701321" 题型3恒等变换与平移 PAGEREF _Tc145701321 \h 14
\l "_Tc145701322" 题型4已知对称轴问题 PAGEREF _Tc145701322 \h 21
\l "_Tc145701323" 题型5已知对称中心问题 PAGEREF _Tc145701323 \h 24
\l "_Tc145701324" 题型6周期问题 PAGEREF _Tc145701324 \h 29
\l "_Tc145701325" 题型7平移与重合问题 PAGEREF _Tc145701325 \h 39
\l "_Tc145701326" 题型8sinx,csx和差积与最值 PAGEREF _Tc145701326 \h 43
题型1正余弦平移问题
【例题1】（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】，根据三角函数图象的平移变换即可求解.
【详解】因为,
所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象.
故选:B.
【变式1-1】1. （2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函数图象变换规律可得出函数的解析式.
【详解】由题意可知，将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得到函数的图象.
故选：C.
【变式1-1】2.（2023·甘肃陇南·统考一模）将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，以下方程是函数图像的对称轴方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件先求出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质求出对称轴即可.
【详解】将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，
纵坐标不变，得到函数的图像，
再将图像向右平移个单位长度，
得到，
其图像的对称轴满足，
即，
令时，有，
故选：C.
【变式1-1】3.（多选） （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数若把的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍后，再将图象向右平移个单位，可以得到，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的周期为π
C．的一个单调递增区间为
D．在区间上有5个不同的解，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据函数平移和伸缩变换得到g(x)解析式，对比可得ω和φ的值，从而求得g(x)解析式，从而可判断AB；根据正弦型函数单调性可判断C，数形结合可判断D．
【详解】横向压缩得，；
再右移个单位得，，
∴
又，∴故A选项正确；
∴，
∴周期，故B选项正确；
由得，故C选项错误；
在区间上有5个不同的解，由函数图象可知，区间的长度大于两个周期，小于等于3个周期，故，故D选项正确.
故选：ABD.
【变式1-1】4. （2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，，为的导函数，且，若当时，的取值范围为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数平移变换原则可得，结合可求得；利用整体代换的方式，结合余弦型函数的值域可求得结果.
【详解】，，
，，
，，又，，
；
当时，，
，，解得：.
故选：D.
【变式1-1】5. （2023·河南开封·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，再根据余弦函数的图象可得，求解即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.
时，，
在轴右方的零点为
因为函数的图象在区间内有5个零点，
所以，解得.
故选:D.
题型2识图问题
【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）

A．为偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
【答案】B
【分析】根据给定的图象依次求出，得函数的解析式，结合图象变换求出函数，再根据正弦函数性质逐项判断作答.
【详解】观察图象知，，，则，而，于是，
函数的周期满足：，即，解得，
又，即有，而，于是，
因此，所以，
把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，
则，所以，
显然函数为非奇非偶函数，故A错误；
的最小正周期，故B正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
则的图象不单调，故D错误.
故选：B
【变式2-1】1. （2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】根据函数的最大值和最小值可求得、的值，根据函数的最小正周期可求得的值，再由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式，计算出的值，结合函数的最小正周期可求得的值.
【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则，
，，
又因为，则，
因为，则，所以，，
因为，
又因为，
因此，.
故选：D.
【变式2-1】2. （2023秋·天津滨海新·高三校考期末）函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】对①，先根据图象分析出的取值范围，然后根据分析出的可取值，然后分类讨论的可取值是否成立，由此确定出的取值；对②，根据图象平移确定出的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出的单调递增区间，然后根据的取值确定出是否为单调递增区间；对④，根据的值是否为,即可判断.
【详解】解：由图可知： ，
，
即，
又，，
由图可知：，
又，
，
且，
，
故，
当时，，解得：，满足条件，
，
故，
对①，由上述可知①错误；
对②，，
的最小正周期为，故②正确；
对③，令，
即，
令，此时单调递增区间为，且，故③正确；
对④，，
不是对称中心，故④错误；
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数 ，
若求函数的单调递增区间，则令，；
若求函数的单调递减区间，则令，；
若求函数图象的对称轴，则令，；
若求函数图象的对称中心或零点，则令，
【变式2-1】3. （2022秋·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）如图是函数 的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】先由图用求出，由 求出,由 求出,
得到；运用二倍角公式和辅助角公式化简
利用三角函数图象平移性质得解.
【详解】如图知: ,
， , 又
,,
解得：
又,，，
由三角函数图象平移性质得

(技巧：由三角函数图象平移性质得 )
所以函数向右平移个单位长度得到.
故选：B
【点睛】本题考查由图象求函数的解析式.
确定的步骤和方法:
(1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，；
(2)求：确定函数的周期，则可；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
【变式2-1】4. （多选）（2022秋·福建宁德·高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）函数的部分图像如图所示， 则下列说法中， 正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．向左平移个单位后得到的新函数是偶函数
C．若方程在上共有 6 个根， 则这 6 个根的和为
D．图像上的动点到直线的距离最小时， 的横坐标为
【答案】ABD
【分析】选项A，把图像上的点代入函数解析式，可以求出，再算出最小正周期进行判断；
选项B，利用图像的平移，得到新函数解析式，再判断奇偶性；
选项C，方程的根转化为两个函数图像的交点问题，再根据对称性求和；
选项D，点到直线距离的最小问题，转化成曲线的切线问题解决.
【详解】因为经过点，所以，
又在的单调递减区间内，所以①；
又因为经过点，所以，，
又是在时最小的解，所以②．
联立①、②，可得，即，代入①，可得，又，所以，则．的最小正周期为，A正确．
向左平移个单位后得到的新函数是，为偶函数，B正确．
设在上的6个根从小到大依次为．令，则，根据的对称性，可得，则由的周期性可得 ，，所以，C错误．
作与平行的直线，使其与有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与相切时，直线与l存在最小距离，也是点M到直线的最小距离，
令，则 ，
解得 或，又，所以（舍去），
又，令，，，则由可得到直线的距离大于到直线的距离，所以到直线的距离最小时，的横坐标为，D正确
故选：ABD．
题型3恒等变换与平移
【例题3】（2020春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）设函数 在区间上单调，且，当时，取到最大值，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，则函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得，由得出对称中心及对称轴，得出，再得出的解析式，再有变换得出，再分别画出与图象，得出结论.
【详解】解：设 ，
，即，
又，
为的一条对称轴，
且，则为的一个对称中心，
由于，所以与为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，
则， ．
又，且，
解之得，．
故，由图象变换可得，．
因为在处的切线斜率为，在处切线斜率不存在，即切线方程为．
所以右侧图象较缓,如图所示，
同时时，，
所以的零点有个．
故选：D.
【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.
【变式3-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.
【详解】
．将图象向右平移至个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，
所以，，
∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时， ，
根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即
故选：C.
【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为的形式
【变式3-1】2. （多选）（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）已知是的导函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象
B．与的图象关于直线对称
C．与有相同的最大值
D．当时，与都在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】首先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误，根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D选项的正误.
【详解】，.
将的图像向右平移个单位得的图像，故A选项正确；
已知的图像与的图像关于直线对称，
，故B选项错误；
，其中，最大值为，
，其中，最大值为，故C选项正确；
当时，，，
当时，在上单调递增，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递减，
综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.
故选：AC
【变式3-1】3. （多选）（2022秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，具有下面三个性质：①将的图象右移个单位得到的图象与原图象重合；②，；③在时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．在时单调递减
B．
C．将的图象左移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若与图象关于对称，则当时，的值域为
【答案】BCD
【分析】根据①可得，再根据③可得，由此可得，从而可求得的值，再由②可知，可求得的值，从而可求出函数的解析式.求出函数的单调区间，即可判断A的正误；计算出的值，可判断B的正误；求出函数左移个单位长度后的解析式，判断其奇偶性，即可判断C的正误；根据对称性求出的对称区间后，再求函数的值域，可判断D的正误.
【详解】，
将右移个单位得到的函数解析式为，
又该函数的图象与原图象重合，所以，
所以，
又在时存在两个零点，所以，
所以，即，所以，所以，
所以，
又，，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，
由得，
所以函数的单调递减区间为
当时，函数在上单调递减；
由得，
所以函数的单调递增区间为
当时，函数在上单调递增；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
，
，
，
所以，故B正确；
将的图象左移个单位长度后得到的图象的解析式为，
又，所以函数为奇函数，
所以的图象关于原点对称，故C正确；
关于对称的区间为，
当时，，所以，
所以当时，的值域为，故D正确.
故选：BCD
【变式3-1】4. （2020·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，向右平移个单位后为奇函数，则 ，若方程在上恰有两个不等的根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简函数，其中，根据三角函数的图象变换和三角函数的性质，求得，求得，把方程在上恰有两个不等的根，转化为函数与在上的图象有两个不同的交点，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，其中，
因为向右平移个单位后，可得，
又由为奇函数，所以，即，
又因为，所以，所以.
由方程在上恰有两个不等的根，
即方程在上恰有两个不等的根，
即函数与在上的图象有两个不同的交点，
因为，即，
又由，且，且，所以，
所以当，函数取得最大值，最大值为5；
当，即，函数取得最小值，最小值为；
当，即，函数，
要使得函数与在上的图象有两个不同的交点，
则，即实数的取值范围是.
故答案为：，.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，三角函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
题型4已知对称轴问题
【例题4】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，且函数在上单调递增，则的取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先得到平移后的解析式，根据对称性得到，，从而求出的取值集合，再由的取值范围求出，结合正弦函数的单调性，求出的范围，即可得解.
【详解】的图像向左平移个单位长度后，得到，
因为关于轴对称，所以，，解得，，
因为，故当时，，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故，解得，因为，所以，故.
故选：B
【变式4-1】1. （2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象，已知函数的一个零点是，且直线是的图象的一条对称轴，则当取最小值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象的平移变换可得，进而结合零点和对称轴可得，，进而求得的最小值，进而求解.
【详解】由题意得，
令，即，
所以或，，
因为为函数的一个零点，
所以或，，①
又是的图象的一条对称轴，
所以，，②
①②得，，
即，，
由于，所以时，取最小值为，
此时，即.
故选：A.
【变式4-1】2. （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象变换以及三角函数的奇偶性求得，根据三角恒等变换以及三角函数值域的知识求得正确答案.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到，
由于是偶函数，所以，
由于，所以，
所以，
由于，所以，所以.
故选：A
【点睛】求解三角函数图象变换有关的题目，关键点有两个，一个是“左加右减”的理解，另一个是的影响.求解三角函数值域有关的题目，需要先按照三角恒等变换的公式进行化简，然后再根据角的范围求得相应的值域.
【变式4-1】3. （2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，先求得平移之后的函数，然后根据其关于轴对称，列出方程，即可得到，从而得到结果.
【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后，
得到函数的图像，
因为图像关于轴对称，所以，，则，.
令，得的最小值为.
故答案为：
【变式4-1】4. （2023秋·山西运城·高三统考阶段练习）已知函数，现将该函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，化简函数，结合图象平移求出函数，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.
【详解】函数，
因此，，
由，解得，
即函数在上单调递增，
于是，即，
解得，由，得，而，即或，
当时，，当时，，
所以的取值范围为.
故答案为：
题型5已知对称中心问题
【例题5】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）将函数的图像向左平移个单位长度后，所得函数是奇函数，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先根据辅助角公式化简得，平移单位长度后函数是奇函数得出，计算出最值即可.
【详解】,
图像向左平移个单位长度后得到是奇函数，
， 的最小值为.
故答案为： .
【变式5-1】1. （2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的平移可得函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式，进而结合正弦函数的奇偶性求解即可.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
要使该函数为奇函数，则，，
即，，
又，则．
故答案为：.
【变式5-1】2. （2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）将函数的图像向左平移个单位，得到偶函数的图像，下列结论中：①的图像关于点对称；②在上的值域为；③的图像关于直线对称；④在区间上单调递减.其中正确的结论有 .
【答案】①③④
【分析】利用函数平移法则及偶函数性质求出解析式，然后利用三角函数的图象与性质逐个判断即可.
【详解】将函数的图像向左平移个单位，
得到函数，
因为函数为偶函数，所以，，
因为，所以，所以，，
①，所以的图像关于点对称，故正确；
②因为，，所以，故错误；
③，所以的图像关于直线对称，故正确；
④由，得，，
所以在上单调递减，故正确.
故答案为：①③④
【变式5-1】3. （2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则 ,实数m的取值范围是 .
【答案】 /
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的表达式，根据其对称中心可求得，再利用其单调区间，分类讨论，求出m的范围，即可确定答案.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的函数的图象关于点对称，
，即，
因为，则，
若，则，
在区间上单调递增，，
当，，
，且，
即，且，；
若，则，
在区间上单调递增，，
当，，
，且，
即且，故；
综上可得，，.
故答案为：；
【点睛】难点点睛：根据三角函数的平移变换可得到平移后的函数解析式，根据对称中心可求得，难点就在于这两个值的取舍，要根据函数的单调区间求得参数m的范围，即可确定答案.
【变式5-1】4. （2021·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】首先化简，可得：，因为为奇函数，若要两函数与图象的对称中心完全相同，则为奇函数，又因为的周期为，故周期为，从这两方面即可得解.
【详解】依题化简得：，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，须为奇函数，且只能为，有如图的两类情况．

【点睛】本题考查了三角函数的化简和平移，考查了考查了正、余弦函数及正切函数的中心对称，考查三角函数的图像与性质，属于较难题.
题型6周期问题
【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
【变式6-1】1. （多选）（2020·全国·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．存在，使得函数是偶函数
C．当时，函数在上的最大值为
D．当时，函数的图象关于点中心对称
【答案】BC
【分析】本题可通过判断出A错误，然后通过取判断出B正确，再然后令，将转化为，通过求出函数在上的最大值判断出C正确，最后通过判断出D错误.
【详解】A项：因为，
所以，不是函数的一个周期，A错误；
B项：当时，，
满足，故函数是偶函数，B正确；
C项：当时，
，
令，则，，
因为，所以，
则，开口向下，对称轴为，
故当时，在上取最大值，，
故函数在上的最大值为，C正确；
D项：当时，，
则，，，
故函数的图像不关于点中心对称，D错误，
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质的判断，考查三角函数的周期性、奇偶性、在区间内的最值以及对称性，若函数满足，则关于点中心对称，若函数定义域为且满足，则函数是偶函数，考查推理能力与计算能力，是难题.
【变式6-1】2. （2023·北京·高三专题练习）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
① ；
② 是函数的周期；
③ 函数在区间上单调递增；
④ 函数所有零点之和为.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】① ③ ④
【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.
【详解】对于①：由可得，故①正确；
对于② ：由可得关于直线对称，
因为是定义域为R的奇函数，所以
所以，
所以函数的周期为，故② 不正确；
对于③ ：当时，单调递增，且，
在单调递减，且，
所以在单调递增，因为是奇函数，
所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图
函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，
所以函数所有零点之和为.故④ 正确；
故答案为：① ③ ④
【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.
【变式6-1】3. （多选）（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知函数 ，下列命题正确的有（ ）
A．在区间上有3个零点
B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度
C．的周期为，最大值为1
D．的值域为
【答案】BC
【分析】，根据的范围得出的零点，即可判断A项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断B项；由已知化简可得，即可判断C项；由已知可得，，换元根据导函数求解在上的值域，即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，.
因为，所以，
当或时，即或时，有，
所以在区间上有2个零点，故A项错误；
对于B项，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数，故B项正确；
对于C项，由已知可得， ，
所以，的周期，最大值为，故C项正确；
对于D项， .
令，，，
则.
解，可得.
解，可得，所以在上单调递增；
解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.
且，，
，.
所以，当时，有最小值；当时，有最大值.
所以，的值域为，故D项错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：求出.令，，.然后借助导函数求出在上的最值，即可得出函数的值域
【变式6-1】4. （多选）（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．是周期函数，且是它的一个周期B．的图象关于直线对称
C．的最大值为2D．在区间上单调递减
【答案】ABD
【分析】A选项，判断是否成立即可；
B选项，判断是否成立即可；
C选项，先求时的解析式，并求此时的最值，再利用的周期性求解即可；
D选项，根据时的解析式，求在上的单调递减区间，然后利用的周期性求解即可.
【详解】A选项：因为
，
所以是周期函数，且是它的一个周期，故A正确；
B选项：因为
，所以的图象关于直线对称，故B正确.
C选项：当，即时，，
易知，所以当，即时，，
因为是的一个周期，故当时，，C错误；
D选项：当时，由C选项知，，
令，得，
得的单调递减区间为.由的周期性知，
即为的一个单调递减区间，故D正确.
故选：ABD
【变式6-1】5.（多选） （2021·全国·高三专题练习）关于函数，有下述四个结论正确的有（ ）
A．f(x)的一个周期为；B．f(x)在上单调递增；
C．. 的值域与f(x)相同D．f(x)的值域为
【答案】BCD
【解析】A. 可验证是否等于可判断；B. 求出f(x)的单调递增区间可判断；
C. 根据图象左右平移的特征可得答案； D.根据周期计算出g(x)的值域可得答案.
【详解】A.
，错误；
B.当时，，所以，
单调递增区间为，
得，当时，，正确；
C. 把函数的图象向右移动单位得到
，
又它们的定义域都为，所以它们的值域相同，正确；
D．由C知函数与的值域相同，
，
所以时， ，
所以正确.
故选：BCD.
【点睛】有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题.
【变式6-1】6. （多选）（2022·河北唐山·统考三模）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．的周期为B．关于点对称
C．在上的最大值为D．在上的所有零点之和为
【答案】BCD
【分析】对A，根据正弦与正切的周期判断即可；
对B，计算是否成立即可；
对C，求导分析的单调性，进而求得上的最大值即可；
对D，根据的对称性与单调性，数形结合分析即可
【详解】对A，因为的周期为，的周期为，故的周期为，A错误；
对B，因为 ，故关于点对称，B正确；
对C，因为导函数在上为减函数，且当时，，即，故在上，，单调递增；在上，，单调递减.故；
对D，分析在上的所有零点即图象交点的横坐标，又均关于对称，故分析时的图象即可.由C选项,在上单调递增；在上单调递减，又关于对称，在上，为减函数，故可画出在区间上的简图.故图象交点有三对关于的对称点，故零点和为 ,故D正确

故选：BCD
【变式6-1】7.（2022·全国·高三专题练习）法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Jseph Furier，1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数之和，若某一乐声的数学表达式为，则关于函数有下列四个结论：
①的一个周期为2；
②的最小值为－；
③图像的一个对称中心为（，0）；
④在区间（，）内为增函数．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③B．①②C．②③D．①②④
【答案】D
【分析】依据周期的定义判断①；求得的最小值判断②；依据对称中心定义代入验证法判断③；求得在区间（，）内的单调性判断④.
【详解】因为，
所以2是的一个周期，①正确；
，
令，则，，
令，解得，令，解得或，
所以h（t）在区间[－1，－）和区间（，1]内单调递减，
在区间（－，）内单调递增，
当时，h（t）取得极小值，又，
故，②正确；
由于 ，
即，所以不是f（x）图像的一个对称中心，③错误；
当时，由得，解得或，
由得，解之得，
综合复合函数的单调性，所以在区间[0，），（，）内单调递增，
在区间（，），（，]上单调递减，④正确．
故选：D．
题型7平移与重合问题
【例题7】（2022秋·河南南阳·高三统考期中）若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对的解析式变形处理，列出等式，即可判断.
【详解】，周期，
函数的图像向右平移个周期后，
得函数的图像，
而，
由题意，，
令，得，故A错误；
令，得，故B错误；
令，得，故C正确；
令，得，故D错误.
故选：C.
【变式7-1】1. （2020·内蒙古·校联考一模）已知函数 ，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】,的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于， ，， ,
，
，则， ，选
【变式7-1】2. （2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图象变换可得，根据题意结合诱导公式可得，运算求解即可得结果.
【详解】将的图象向左平移个单位长度后，
得到，
则，解得，
所以当时，的最小值为.
故选：C.
【变式7-1】3. （2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设知且 、，即可求、，写出解析式，即可判断函数在上有时，则关于对称轴对称求，进而求.
【详解】由题设知：，即，，则，
∴，而且，即，
∴ ，则，故，
∴，即，所以，
当时，，而此区间内的对称轴只有，即，
∴当，且时，，则，即，
∴.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：由函数过点、区间单调以及图象平移后的性质求参数，写出函数解析式，进而根据确定给定区间内的对称轴.
【变式7-1】4. （2022·上海·高三专题练习）某作图软件的工作原理如下：给定，对于函数，用直线段链接各点，所得图形作为的图象.因而，该软件所绘与的图象完全重合.若其所绘与的图象也重合，则不可能等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，该软件所绘与的图象完全重合，说明给定的恰好为函数最小正周期的倍，若其所绘与的图象也重合，则也为函数最小正周期的倍，可得出，可得出所满足的不等式，即可得出的取值范围，进而得出正确选项.
【详解】由题意可知，该软件所绘与的图象完全重合，说明给定的恰好为函数最小正周期的倍，
若其所绘与的图象也重合，则也为函数最小正周期的倍，则，即，.
因此，不可能的取值为.
故选D.
【点睛】本题考查三角函数中参数的求解，解题的关键就是得出与正余弦型函数最小正周期之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
题型8sinx,csx和差积与最值
【例题8】函数的值域是 ．
【答案】
【分析】分3段讨论后，根据正余弦函数的性质可得．
【详解】解：当时，，；
当时，，；
当时，，，
∴时，，
根据正余弦函数的周期性可知，．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角函数的最值,周期性，属中档题．
【变式8-1】1.已知函数，，若的值域为，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，将原函数转化为二次函数的最值问题求解即可.
【详解】设，则，
则.
当时，则，得或，；
当时，则，得或，；
又，若的值域为，
则的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数型的复合函数的值域问题，本题是根据值域研究定义域，注意内层函数的值域作为外层函数的定义域，是一道难度较大的题目.
【变式8-1】2.已知函数，且对于任意的，当时都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】不妨设，可得，构造函数，可得函数在上为减函数，根据导数和函数的单调性的关系，结合换元法求得的取值范围.
【详解】依题意对于任意的，当时都有成立，
不妨设，可得，构造函数，可得函数在上为减函数，
，
则在上恒成立.
设，
则，在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，解得.
故选：C
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
【变式8-1】3. 已知 ，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解法一：考虑特殊值，通过排除法得到结果；
解法二：将等式交叉相乘并化简，根据的单调性得到与的关系，从而得到结果；
解法三：对等式两边分别化简，然后根据的单调性得到与的关系，从而得到结果.
【详解】解法一：（排除法）当时，，可排除B，C；
当时，，可排除A，可知D正确；
解法二：由已知得
又
函数在上为增函数，
所以.即；
解法三：
所以
又，
在上增函数
所以，即.
故选D.
【点睛】本题考查利用三角函数单调性对等式进行化简，难度较难.
（1）在化简过程中注意诱导公式、二倍角公式、三角恒等变换中的公式的灵活运用.
（2）函数值相等时，利用函数单调性，可得到对应自变量之间的关系.
【变式8-1】4. 若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：根据正弦函数的单调递减区间，可以求出的单调递减区间为；利用辅助角公式，先将化成，再利用余弦函数的单调递减区间可以求出的单调递减区间为；两个区间的交集即为两个函数的单调递减区间，根据的范围可确定的最大值．
详解：根据正弦函数的单调递减区间为 ，所以 的单调递减区间为，可解得
，由余弦函数的单调递减区间为，所以，可解得
因为与在 上同为单调递减函数，所以其交集为，所以
所以选B
点睛：本题考查了求三角函数单调区间，辅助角公式的应用等．熟练记忆正余弦函数的单调区间，掌握好求两个区间的交集运算．
【变式8-1】5. 设表示m，n中最大值，则关于函数的命题中，真命题的个数是（ ）
①函数的周期
②函数的值域为
③函数是偶函数
④函数图象与直线x = 2y有3个交点
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】求解时的值，再分析的图象，逐个选项判断即可.
【详解】当时，，此时.
在同一坐标系种作出与的图象：
故与直线在同一坐标系中的图象为：
①的周期为，故①正确；
②当时，取得最小值，当和时，取得最大值，故的值域为，故②正确；
③显然不为偶函数，故③错误；
④因为过，，过，，故图象与有3个交点，故④正确；
故①②④正确.
故选：C.
【变式8-1】6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，由题设可得在上恒成立，令，则，又，且，故，所以问题转化为不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．令函数，则，应选答案D．
点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．
【变式8-1】7．已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且 ，当在上与在上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导函数与单调性关系，可知为上的单调函数，设 ，
利用换元法即可得，进而可得为增函数，即可知也为增函数，先求得，并令，结合正弦函数的性质即可确定k的取值范围.
【详解】由函数没有零点，即方程无解，则或恒成立，
所以为上的单调函数，
都有，则为定值，
设 ，
则，易知为上的增函数，
∵，
∴ ，
又与的单调性相同，
∴在上单调递增，则当时，恒成立.
当时，，
所以由正弦函数性质可知，
∴.
所以，即，
故选：A.
【点睛】本题考查了导函数与单调性关系，换元法求函数解析式，正弦函数的性质求参数的取值范围，属于中档题.
1．（2021·天津滨海新·校联考一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数 ，周期，
因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，
假设函数在上有零点，
令，得，，得，，
则，得，，
又，所以或，
又函数在上有零点，且，
所以或.
故选：A
【点睛】关键点点睛：求出函数的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.
2．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．是的一个周期B．函数在单调递减
C．函数的值域为D．函数在内有6个零点
【答案】C
【分析】对于A，根据即可判断；对于B，当将化简，然后检验即可；对于C，求出函数在一个周期的值域，先求当，再求当的值域即可判断；对于D，根据函数为偶函数，可通过区间上零点个数从而确定其零点个数.
【详解】因为，所以A错误；
当， ，其中，不妨令为锐角，所以，所以，因为，所以B错误；
因为是函数的一个周期，可取一个周期上研究值域，当，
，，所以，即；因为关于对称，所以当时，故函数在上的值域为，故C正确；
因为函数为偶函数，所以在区间上零点个数可通过区间上零点个数，由，在图像知由2个零点，所以在区间上零点个数为4个，所以D错误．
故选:C.
3．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设关于、的表达式，当、取遍所有实数时，（ ）
A．既有最大值， 也有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．既无最大值， 也无最小值
【答案】D
【分析】根据，，的范围可以确定，但根据余弦函数取值特点，取不到端点值，用换元方法证明，进而得出答案.
【详解】由，，，易知.
同时，由于是无理数，因此当时，；当时，，故两端均不能取得等号.
补充证明：二元表达式（）可以取到任意接近和的值，
从而该式无最值.
①取，（），则.
对任意，由抽屉原理，存在，使得.
再考虑，使得（由的无理性，两头都不取等）.
则时，，从而，，即证.
②取，（），则.
对任意，由抽屉原理，存在，使得.
再考虑，使得（不取等的理由同上）.
则时，，从而，，即证.
故选：D．
4．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题，将函数化简，根据对称轴求得a的值，再根据已知条件求得两点必须关于对称中心对称，求得的值，可得结果.
【详解】由题，=，为辅助角，
因为对称轴为，所以
即 解得
所以
又因为在上具有单调性，且，
所以两点必须关于正弦函数的对称中心对称，
即
所以
当时，取最小为
故选A
【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键，属于中等较难题.
5．（多选）（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（ ）
A．
B．的最小值为
C．若函数在上存在零点，则的最小值为
D．函数在上一定存在零点
【答案】ACD
【分析】A选项，由图象关于对称结合可判断选项；B选项，由最小正周期，，且在处取得最大值可得表达式；C选项，结合AB选项分析确定表达式，验证即可；D选项，分，两种情况分析零点即可.
【详解】A选项，因在处取得最大值，则图象关于对称，则
，故A正确；
B选项，最小正周期，则，，
则或，又在处取得最大值，
则，则或，
其中，则的最小值为，故B错误；
C选项，由AB选项分析结合，可知时，
可取，令，
则 ，其中.
当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意；
由AB选项分析结合，可知时，
可取，令，
则 ，
当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意，
综上可知的最小值为，故C正确；
D选项，由C分析可知，时，可取，
此时 ，，存在零点；
时，可取，
此时，，存在零点；
当时，，注意到，
则此时函数在上一定存在零点，
综上在上一定存在零点，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：三角函数常利用整体代换法确定参数值，本题还用到了对称性.对于三角函数的零点问题，常利用代值验证结合周期分析可解决问题.
6．（多选）（2021·全国·模拟预测）已知点是函数的图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在单调递减，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数为奇函数
C．若的根为，则
D．若在上恒成立，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】先根据函数图象的对称性和函数的单调性得到函数的最小正周期，然后求出，的值，最后利用三角函数的图象和性质进行求解即可．
【详解】对于A，设的最小正周期为，因为点是函数图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在上单调递减，，所以，，故函数的最小正周期为，故A正确．
对于B，，因为，所以，因为，所以．又在上单调递减，所以，即，所以，，为偶函数，故B错误．
对于C，由得，，结合三角函数的周期性可知，方程有6个根，在内的两根关于直线对称，同理可得，所以C正确．
对于D，由得，因此，
所以，
故，即，所以的最大值为，故D正确．
故选：ACD
【点睛】利用三角函数性质求得函数解析式是解题关键
7．（2022·湖北襄阳·襄阳五中校考模拟预测）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则 ．
【答案】
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得，，再利用三角函数对称性列方程求解即可．
【详解】设，则，，
，则，，
∴，即，
∴，，
又是的一条对称轴，
∴ ，即.
故答案为
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换问题的应用，正弦型函数的对称性．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
9．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
10．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
11．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
12．（多选）（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径
注意：1.两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
2.变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求φ.
(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
已知对称轴，可以带入对称轴
已知对称中心，可以带入对中心
1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解.
2.利用图像观察求解.
3.定义证明：f（x+T）=f（x）.
4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期（需要证明是否是最小正周期）.
互相转化关系
如果,则由辅助角可知