新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题19 三角函数零点与恒成立问题四大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145951252" 题型1含有 型 PAGEREF _Tc145951252 \h 1
\l "_Tc145951253" 题型2恒成立问题 PAGEREF _Tc145951253 \h 6
\l "_Tc145951254" 题型3存在成立问题 PAGEREF _Tc145951254 \h 11
\l "_Tc145951255" 题型4零点问题 PAGEREF _Tc145951255 \h 16
题型1含有 型
【例题1】（2023秋·江西抚州·高三阶段练习）已知函数（其中为正实数）的图象关于直线对称，且，且恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．不等式取到等号时的最小值为
C．函数的图象的一个对称中心为
D．函数在区间上单调递增
【答案】B
【分析】由辅助角公式化简函数，再由三角函数的周期性、对称性及单调性依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，函数（其中为正实数），又图象关于直线对称，可得当时，取得最值，即，又为正实数，则，显然不成立，A不正确；对于B，，且恒成立，说明函数最大值为，又函数最小正周期为，则不等式取到等号时的最小值为，满足题意；对于C，函数（其中为正实数）的图象关于直线对称，周期为，函数的图象一个对称中心为，不是，所以C不正确；对于D，函数（其中为正实数）的图象关于直线对称，函数取得最小值，函数取得最大值，函数在区间上单调递增是不正确的．
故选：B．
【变式1-1】1. （2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数的图象关于直线对称．若对任意，存在，使成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角函数恒等变换公式化简函数式，然后由对称性求得，再求得时的的最大值，从而化简题设不等式，由分离参数法求得的范围．
【详解】 ,
的图象关于直线对称，则，
所以，，
所以，此时满足对称性．
时，，，
由题意存在，使得成立，即成立，
，所以．
故选：C．
【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知，，若存在，对任意，恒成立，则 .
【答案】
【分析】依题意，先确定函数，再由三角函数的性质确定最大最小值.
【详解】依题意，


，
对任意， 恒成立，
当时，，
当时，则 ，
当时，，
当 时，.
所以，得，
所以.
故答案为：.
【点睛】对于不等式恒成立问题，常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式.
【变式1-1】3. （2021秋·江西南昌·高三阶段练习）函数，，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将题意转化为的值域是的值域的子集，再根据函数的单调性分析值域即可
【详解】对任意的，总存在，使得成立，等价于的值域是的值域的子集．函数在上单调递增, ,即．在上单调递减,当时在上单调递减, 即．所以只需．当时在上单调递增, ,即,所以只需解得．综上可得．
故答案为：
【变式1-1】4. （2020春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数，（）若存在，，使得则的取值范围 ．
【答案】
【详解】由题意知，函数f（x）=2sinωx是奇函数，
因为存在，，使得f（x1）=f（x2），
所以函数f（x）的周期T=，解得，
则ω的取值范围为，
故答案为．
【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.
【详解】至少存在两个不相等的实数，使得，
当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；
当，即时，，
，；
当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.
题型2恒成立问题
【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数恒成立，且在区间上单调，则的最大值为 .
【答案】3
【分析】先根据，得到是函数的对称轴，进而可以求出，进而得到为奇数；再根据在区间上单调，所以，，得到，然后利用，又为奇数，得到，最后分别代入验算即可求得结果
【详解】由已知得，是函数的对称轴，所以，，得，所以，，，为奇数；
又因为在区间上单调，所以，，所以，，所以，，又为奇数，所以，；
当时，利用，可得，故，在上不单掉，不符题意；
当时，利用，可得，故，在上不单掉，不符题意；
当时，利用，可得，故，满足题意；
故的最大值为3
故答案为：3
【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查了分析转化的能力，难度较大
【变式2-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【详解】，其中，
处取得最大值，
，即，，
，①，，
，，
，②，
①②得，
，
即，解得，（舍去），
由①得，，
，
在第一象限，
取，，
由，即，
，，
，，
使最小，则，
即，
若不等式恒成立，则，
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点是求出的值，需要转化，且在处取得最大值，得到，，再根据同角的平方关系得到关于的方程，解方程即得解.也是方程思想的体现.
【变式2-1】2. （2020·全国·高三专题练习）函数，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先令可得.又原不等式等价于在上恒成立. 令，利用导数可得恒成立，再利用三角函数的性质结合放缩法可证明当时是恒成立的.
【详解】取，则有，故.
又时，恒成立等价于在上恒成立.
令，，
当时，，时，，
所以在上减函数，在为增函数，
所以，故当时，有，
综上，.
故选：B.
【点睛】本题考查含参数的不等式的恒成立，可通过赋值法缩小参数的范围，再将复杂不等式等价转化为简单不等式，利用导数或函数的性质证明不等式恒成立，本题属于难题.
【变式2-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ）
A．11B．13C．15D．17
【答案】C
【分析】根据，求出，，再由在区间上有最小值无最大值，结合周期公式得出，结合选项，检验时，满足题意.
【详解】由题意，是的一条对称轴，所以，即①
又，所以②
由①②，得，
又在区间上有最小值无最大值，所以
即，解得，要求最大，结合选项，先检验
当时，由①得，即，又
所以，此时，当时，，
当即时，取最小值，无最大值，满足题意.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的性质求参数的值，属于中档题.
【变式2-1】4. （2022·上海·高三专题练习）已知函数定义在上的偶函数，在是增函数，且恒成立，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可得出，可知方程与方程同解，可解得，，进而由所求不等式得出，再由，，可得出，即可得出原不等式的解集.
【详解】由于函数定义在上的偶函数，在是增函数，
由可得，
所以，，
解方程可得，，
令，则，，
所以，，是方程的两根，
由韦达定理可得，解得，
由可得，所以，，
因为，，
所以，解得.
故答案为：.
【点睛】对于求值或求解函数不等式的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题，若为偶函数，则．
题型3存在成立问题
【例题3】（2023·全国·高三专题练习）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.
【详解】由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由题设求出，构造奇函数，根据区间内存在最值可知，进而求最值的和.
【变式3-1】1. （2022·全国·高三专题练习）函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由其在闭区间上递增，而在为增函数，列不等式组求的范围，又存在唯一，使得，而，即，求的范围，取交集即可.
【详解】由正弦函数性质，有，即，
∵在上单调递增，
∴，则，，又，即，
又存在唯一，使得，而此时，
∴，得，
综上，有.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：由区间单调性，结合正弦函数的单调区间列不等式组，在闭区间中有，其中存在唯一最大值，则，求参数范围.
【变式3-1】2. （多选）（2023秋·浙江杭州·高三期末）若函数在区间上单调递增，则（ ）
A．存在，使得函数为奇函数
B．函数的最大值为
C．的取值范围为
D．存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称
【答案】BCD
【分析】对A选项，计算，得到其与的关系即可判断，对B选项，根据正弦函数的值域即可求出的最大值，对C选项，根据在区间上单调递增，得到不等式组，解出即可，对D选项，令，解出，再结合C选项范围则可得到的值.
【详解】解：，定义域为，
不恒成立，
则不存在，使得函数为奇函数，故A错误;
由，得，则的最大值为，故B正确;
由于在区间上单调递增，故,
解第一个不等式得，,故，解二式得，故，
又，所以，故C正确;
令，，解得，，
由知的取值为，，，，共4个值，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D选项的判断，根据的某个单调增区间，则其整体应该在，即应该是后者的子集，再结合，从而得到关键的不等式组，解出范围，而D选项我们采取代入法，将代入则内部整体应等于对称轴通项即，再结合范围，则得到所有取值.
【变式3-1】3. （2023·上海·高三专题练习）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为
【答案】
【分析】利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果.
【详解】因为，由，得到，
所以或，
所以或，
又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以
且，即且，解得.
故答案为：
【变式3-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求得，再根据题意推得的关系式，结合的范围，即可求得答案.
【详解】因为为奇函数，
故，
即，由于,故，则，
由于，故，所以，
由，可得，
即
或，
对任意，存在，满足，
故，则,，，k取负值，
则只能，此时，
或，则，则,
综合可得或，
即实数的取值范围是，
故答案为：
【变式3-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是 .
【答案】
【分析】利用单位圆确定的取值范围，再根据题给条件分析的最值即可得出结论.
【详解】解：在单位圆中分析，由题意可得的终边要落在图中阴影部分区域(其中，如图，

由于恒成立，且为常数
， 位于连续两终边之间
当为的正整数倍时，连续两终边间的间隔长度为，
， 取，此时，
即，，当时取得最小值，.
当不为的正整数倍时，可设
这里的是根据 中的的最小值推导出，这里只考虑 情况.
时，，满足不为 的正整数倍时，.
所以时，
由得：，此时，
， 当为正整数时， 连续两终边间的间隔长度小于
所以必定存在正整数使得的终边落在区间 上，此时不符合题意.
综上，的最小值为.
故答案为：
题型4零点问题
【例题4】（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.
【详解】由得是一个周期为2的奇函数，当时，，因此，
因为是奇函数，所以 ，，
且的周期为，且，，，，
求的零点，即是与的交点，如图：

为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，
因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，
若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，
第11个零点坐标为，因此.
故选：A
【变式4-1】1. （2023·河北沧州·统考三模）已知函数的所有极值点为，且函数在内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对（ ）
A．只有2对B．只有3对
C．只有4对D．有无数对
【答案】B
【分析】根据题意求得函数，把函数的零点个数转化为方程实根的个数，结合方程在内实根的个数，分类讨论，即可求解.
【详解】由函数，
因为函数图象的对称轴方程为，
当时，可得，当时，可得，
即两个相邻的极值点间的距离为，即，则，可得，
因为的图象关于直线对称，所以，
即，解得，
则，
所以函数的零点个数等价于方程实根的个数，
先研究方程在内实根的个数，
当时，方程在内实根的个数为1；
当时，方程在内实根的个数为2；
当时，方程在内实根的个数为3，其中在内实根的个数为2，
因为是周期为的函数，所以当时，在，
内方程实根的个数均为2，
因为在内恰有2023个零点，且2023为奇数，
所以，不合题意.
当时，；当时，，
故满足条件的有序实数对只有3对.
故选：B.
【变式4-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式化简，由正弦函数的图像与性质求出的取值范围，最后根据两角和差公式求解.
【详解】,其中（取为锐角），
，其中（取为锐角），
设，由，可得.
在区间内没有零点，但有极值点时，,可得.
所以.
因为，，所以.
所以，
所以在上的最大值在取得，故.
又
，
,
所以的取值范围是.
故选:A.
【变式4-1】3. （2023·上海·高三专题练习）已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（ ）
A．1B．－1C．0D．1或－1
【答案】B
【分析】根据题意令分析可得关于t的方程有两个不相等的实根，结合韦达定理可得，分类讨论的分布，结合正弦函数分析判断.
【详解】令，
令，则，即，
∵，
则关于t的方程有两个不相等的实根，设为，令，
可得，则有：
1.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，无实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
2.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：无实数根，在内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
3.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
4.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有且仅有一个实数根，
①对任意正奇数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
②对任意正偶数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
5.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有且仅有一个实数根，在内有两个不相等的实数根，
①对任意正奇数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，符合题意；
②对任意正偶数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
综上所述：当，时，符合题意.
此时，解得.
故选：B.
【变式4-1】4.（多选） （2023秋·福建福州·高三福建省福州第一中学校考开学考试）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．图象的一条对称轴为直线
C．当时，在区间上单调递增
D．存在实数，使得在区间上恰有2023个零点
【答案】BCD
【分析】化简的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A；根据函数图象的对称轴的性质可判断B；结合正弦函数的单调性可判断C；取，结合正弦函数的零点可判断D.
【详解】对于A，，
故
，即为的一个周期，
说明不是的最小正周期，A错误；
对于B，
，
故图象的一条对称轴为直线，B正确；
对于C，当时，，则，
由于正弦函数在上单调递增，且，
故在上单调递增，且，
此时，
而在上单调递减，则在上单调递增，
故在上单调递增，C正确；
对于D，由A可知即为的一个周期，且的最小正周期为，
故的最小正周期为，
当时，，
当时，，则在上的零点为和，
故当时，恰有个零点，
且第个零点为，
故当时，恰有个零点，
即存在实数，使得在区间上恰有2023个零点，D正确，
故选：BCD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了含型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断.
【变式4-1】5．（2022春·安徽滁州·高三校考期中）已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为
A．B．036162C．3053234D．3055252
【答案】D
【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，
【详解】
结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，
在（2,4 上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，
所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，
∴在区间上所有解的和为，
故选D
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.
1. （2023·江西·统考模拟预测）已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值．现有下列四个结论：①；②的最小值为；③若函数在上存在零点，则的最小值为；④函数在上一定存在零点．其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用对称性计算判断①；探讨出值的表达式及范围判断②；对的取值验证判断③④即可作答.
【详解】因为函数在处取得最大值，即函数的图象关于直线对称，
因此，即，解得，①正确；
因为函数在处取得最大值，则，即，
有，于是，
又，即，因此或，从而，②错误；
当时，，
当时，，由得，此时，
当时，，
由得，当时，，
当时，，而区间长度，
即当时，函数在上存在零点，，③正确；
当时，，由得，
显然当时，，即函数在上存在零点，
当时，，而区间长度，
函数在上存在零点，综上得函数在上一定存在零点，④正确，
所以结论正确的个数是3.
故选：C
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的零点问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.
2. （2022春·新疆·高三校考阶段练习）定义：设不等式的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式在上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据定义解不等式即可.
【详解】解：不等式可化为．
由函数得只有一个整数解，这唯一整数解只能是，
因为点是图像上的点，所以．
所以数m的取值范围为.
故选：A.
3. （多选）（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数的周期，则，而，
即有，由知，，因此，A正确；
显然，当时，，因此单调递增，B正确；
将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，
而，C错误；
由，得，令，则，
令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，
当时，，令，，
函数在上都递减，即有在上递减，，
，因此存在，，
当时，，当时，，有在上递增，在递减，
，，
于是存在，，当时，，当时，，
则函数在上递减，在递增，，，
从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，
，，，
从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，
所以函数的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
4. （2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为 ；若恰有4个零点，则的取值范围是 .
【答案】 1
【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案.
【详解】第一空：当时，当时，，解得；
当时，，无零点，
故此时的零点个数是1；
第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；
①
若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得，
此时；
②
若恰有3个零点，则，此时，
所以恰有1个零点，符合要求；
③当时，，所以恰有1个零点，
而至少有4个零点，
此时至少有5个零点，不符合要求，舍去.
综上，或.
故答案为：1；.
【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题.
5. （2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑求解即可.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根由，可得，
由可得.
时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点;
当时，令，则，
此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，
则应满足或或，
则可解得的取值范围是：.
故答案为：.
【点睛】解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
6. （2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知函数（）的一个对称中心为，且将的图象向右平移个单位所得到的函数为偶函数.若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由是对称中心，可得，由平移后的函数为偶函数可得，可求得的关系式及，由代入可知恒成立，转化为恒成立，结合可求得实数m的取值范围.
【详解】是函数（）的一个对称中心，
①
的图像向右平移个单位得到的函数为，
为偶函数，②
由①②可知，，解得：
又
所以对任意，不等式恒成立，即恒成立
即恒成立，
又且，
，解得：
所以实数m的取值范围是
故选：B
7. （2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，都存在，使得，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意易得在上的值域包含在上的值域，再分析的最值判断值域的包含关系，结合选项排除即可
【详解】由题，，又对任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又当时，，即在上的值域包含.又当时， ，且有解，故区间包含，排除AB；又当时，，因为，故不包含不合题意排除D；当时，此时，故，故此时在上的值域包含满足条件.综上所述满足条件
故选：C
8．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
9．（2019·全国·统考高考真题）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．
10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
11．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
不等式恒成立问题的结论：
（1），恒成立 ；
（2），使得成立 ；
（3），使得成立 .
不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
有关三角函数综合问题的求解策略:1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.
2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.