新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题22 解三角形大题十四大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146143120" 题型1正余弦定理的应用 PAGEREF _Tc146143120 \h 1
\l "_Tc146143121" 题型2余弦定理求最值与取值范围 PAGEREF _Tc146143121 \h 2
\l "_Tc146143122" 题型3正弦定理求最值与取值范围 PAGEREF _Tc146143122 \h 4
\l "_Tc146143123" 题型4不对称结构的最值取值范围问题 PAGEREF _Tc146143123 \h 5
\l "_Tc146143124" 题型5三角形中线问题 PAGEREF _Tc146143124 \h 7
\l "_Tc146143125" 题型6三角形角平分线问题 PAGEREF _Tc146143125 \h 8
\l "_Tc146143126" 题型7三角形高线垂线问题 PAGEREF _Tc146143126 \h 10
\l "_Tc146143127" 题型8普通多三角形问题 PAGEREF _Tc146143127 \h 12
\l "_Tc146143128" 题型9四边形问题 PAGEREF _Tc146143128 \h 13
\l "_Tc146143129" 题型10面积最值取值范围问题 PAGEREF _Tc146143129 \h 15
\l "_Tc146143130" 题型11与三角函数结合 PAGEREF _Tc146143130 \h 16
\l "_Tc146143131" 题型12三角形个数问题 PAGEREF _Tc146143131 \h 18
\l "_Tc146143132" 题型13证明问题 PAGEREF _Tc146143132 \h 19
\l "_Tc146143133" 题型14实际应用题 PAGEREF _Tc146143133 \h 21
题型1正余弦定理的应用
【例题1】（2022秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知、、分别为三个内角、、的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求、.
【变式1-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知在中，角的对边分别为，向量，.
(1)求角C的大小；
(2)若成等差数列，且，求c.
【变式1-1】2. （2023秋·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，内角A，B，C满足.
(1)求a的值；
(2)求的值.
【变式1-1】3. （2023秋·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考阶段练习）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，的内切圆半径，求的面积．
【变式1-1】4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）设的内角所对的边分别为，且．
(1)求角；
(2)若，且的内切圆半径，求的面积．
【变式1-1】5.（2021秋·北京·高三景山学校校考期中）在中，内角所对的边分别为，若且.
(1)求角的大小；
(2)在①成等差数列，②成等差数列，③成等差数列，这三个条件中任选一个作为已知条件，求的面积.（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
题型2余弦定理求最值与取值范围
【例题2】（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，且满足：
(1)求角；
(2)若的外接圆半径为 求的周长的最大值.
【变式2-1】1. （2024·陕西宝鸡·校考一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角A；
(2)若的面积为1，求的最小值.
【变式2-1】2. （2023秋·河北·高三校联考期末）在中，角、、所对的边长分别为、、，且．
(1)求的值．
(2)若的面积为1，求的周长的最小值．
【变式2-1】3. （2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求
(1)求角C；
(2)若，求的面积的最大值．
【变式2-1】4. （2023·江西景德镇·统考三模）在中，内角，，的对边分别是，，.已知.
(1)求角；
(2)若是钝角三角形，且，求边的取值范围.
题型3正弦定理求最值与取值范围
【例题3】（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角所对的边分别是且．
(1)求角A；
(2)若，求周长的范围．
【变式3-1】1. （2023秋·山西运城·高三统考阶段练习）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若，求周长的范围．
【变式3-1】2. （2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求的取值范围．
【变式3-1】3. （2023秋·广东·高三统考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围.
【变式3-1】4. （2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.
【变式3-1】5.（2024秋·山东临沂·高三校联考开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)若，求；
(2)求C的最大值．
【变式3-1】6.（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
题型4不对称结构的最值取值范围问题
【例题4】（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
【变式4-1】1. （2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在中，分别是角所对的边，已知，且.
(1)若的面积为，求的值；
(2)求的取值范围.
【变式4-1】2. （2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)求的最小值.
【变式4-1】3. （2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【变式4-1】4. （2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若为上一点，，，求的最小值.
【变式4-1】5.（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）记的内角的对边分别为，面积为，已知.
(1)求的值；
(2)若边上的中线，求周长的最小值.
【变式4-1】6.（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ，，且，.
(1)求的大小；
(2)求的最大值．
【变式4-1】7.（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知的内角所对边分别为，.
(1)若，求；
(2)求的最大值.
题型5三角形中线问题
【例题5】（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求的大小；
(2)若，，为的中点，求.
【变式5-1】1. （2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
(1)求B；
(2)若，且的面积为，是的中线，求的长.
【变式5-1】2. （2023秋·河南·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)证明：；
(2)点是线段的中点，且，求的周长．
【变式5-1】3. （2023秋·贵州贵阳·高三统考开学考试）在锐角中，角、、所对的边分别为、、．
①；②；③．
在以上三个条件中选择一个，并作答．
(1)求角；
(2)已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．
【变式5-1】4. （2023秋·广东揭阳·高三校考阶段练习）在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)若，AD为BC边上的中线，求.
题型6三角形角平分线问题
【例题6】（2022秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）在△ABC中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，为边上一点，为角的平分线，且，求的面积.
【变式6-1】1. （2023·河北唐山·模拟预测）在中，为边上一点，且平分．
(1)若，求与；
(2)若，设，求．
【变式6-1】2. （2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，．
(1)若的面积，求a；
(2)若D为的角平分线与边BC的交点，，求a.
【变式6-1】3. （2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）在中，已知内角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求角；
(2)若，角的平分线，求的面积.
【变式6-1】4. （2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答.
问题：已知分别为内角的对边，是边的中点，，且______.
(1)求的值；
(2)若的平分线交于点，求线段的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题型7三角形高线垂线问题
【例题7】（2023秋·山东泰安·高三统考阶段练习）的内角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若是上一点，，求的面积.
【变式7-1】1. （2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）如图，在中，．

(1)求的长；
(2)设为边上一点，且，求的面积；
(3)求的值．
【变式7-1】2. （2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，满足.

(1)求；
(2)点D在BC上，，，求AB.
【变式7-1】3. （2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H为锐角的垂心，为三角形的三条高线，且满足.
(1)求的值.
(2)求的取值范围.
【变式7-1】4.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）中，角的对边分别为，的平分线交边于，过作，垂足为点.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的长.
【变式7-1】5.（2023·全国·高三专题练习）中，角的对边分别是，且满足．
(1)求；
(2)若在上，，且，求的最大值．
题型8普通多三角形问题
【例题8】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是上的一点，且，求的最小值．
【变式8-1】1. （2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a，b，c，且有：．
(1)求角B的大小；
(2)设，若点M是边上一点，且，，求的面积．
【变式8-1】2. （2023·河南驻马店·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)若 D是线段AC上的一点，求BD的最小值．
【变式8-1】3. （2023·河南·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)点D在线段AC上，且，若的面积为，，求BD的长．
【变式8-1】4. （2024秋·江西·高三校联考阶段练习）在中，，．
(1)若，求的长；
(2)若，为延长线上一点，为边上一点，且，，求的面积．
【变式8-1】5.（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，的面积为，求的取值范围.
题型9四边形问题
【例题9】（2023秋·海南省直辖县级单位·高三校考开学考试）如图，已知平面四边形存在外接圆（即对角互补），且，，．
(1)求的面积；
(2)若，求的周长.
【变式9-1】1. （2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．

(1)求及；
(2)若，求周长的最大值．
【变式9-1】2. （2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求；
(2)若，求．
【变式9-1】3. （2023秋·湖南永州·高三校联考开学考试）如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点（与在同一平面内）满足，，.

(1)求；
(2)若的面积为2，求线段的长.
【变式9-1】4. （2023秋·河北·高三校联考阶段练习）如图，为等腰三角形，，点A，E在△BCD外，且，．

(1)求BE的长度；
(2)求的最大值．
题型10面积最值取值范围问题
【例题10】（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，，且.
(1)求；
(2)求面积的最大值.
【变式10-1】1. （2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【变式10-1】2. （2023秋·河南焦作·高三统考开学考试）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.

(1)求；
(2)若，求BC.
【变式10-1】3.（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b．c．已知．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
【变式10-1】4. （2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
题型11与三角函数结合
【例题11】（2023春·海南海口·高三统考期中）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象的一个对称中心为.
(1)求的解析式；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且的面积为，求的周长.
【变式11-1】1. （2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知向量，，，设函数
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值．
【变式11-1】2. （2023秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知的内角A，，所对的边分别为，，，的最大值为.
(1)求角；
(2)若点在上，满足，且，，求角C.
【变式11-1】3. （2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知函数的周期为，且图像经过点．
(1)求函数的单调增区间；
(2)在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求的值．
【变式11-1】4. （2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，角所对的边为．若，求的取值范围．
【变式11-1】5．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

(1)求的解析式；
(2)在中，若，，，求．
题型12三角形个数问题
【例题12】（2022秋·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知的内角所对的边分别为，，，三边，，与面积满足关系式：且______在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在前面横线中，求满足条件的个数.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答得分.
【变式12-1】1. （2022·河南开封·统考三模）已知中，，，.
(1)求AC；
(2)若D为BC边上一点，给出三种数值方案：①；②；③.判断上述三种方案所对应的的个数（不需说明理由），并求三种方案中，当唯一时BD的长.
【变式12-1】2. （2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，记的面积为S.
(1)求a；
(2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的的个数，并说明理由.
条件：①，②，③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【变式12-1】3. （2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.
(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
题型13证明问题
【例题13】（2024秋·福建漳州·高三统考开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若D为边BC上一点，且，，证明：为直角三角形.
【变式13-1】1. （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)证明：；
(2)若，，求的面积.
【变式13-1】2. （2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）在中，，的面积为，为的中点，于点于点.

(1)求的面积；
(2)若，求的值.
【变式13-1】3. （2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）记的内角的对边分别为．
(1)证明：；
(2)若，求．
【变式13-1】4. （2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：；
(2)若，求的面积．
【变式13-1】5.（2023·四川成都·校联考模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：，，是等差数列；
(2)求的最大值．
【变式13-1】6.（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．

(1)试证明：
(2)若P为重心，，求的面积．
题型14实际应用题
【例题14】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处（平行于地平面），已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为（）.

(1)设平面过且平行于地平面，点C到平面的距离为h米，求与的长（用h表示）；
(2)已知，求天门山的海拔.
【变式14-1】1. （2023秋·山东日照·高三统考开学考试）为美化校园，某学校将一个半圆形的空地改造为花园.如图所示，为圆心，半径为米，点，，都在半圆弧上，设，，且.

(1)若在花园内铺设一条参观线路，由线段，，三部分组成，则当取何值时，参观线路最长？
(2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，则当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？
【变式14-1】2. （2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的，位于该市的某大学与市中心的距离km，且. 现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学，其中，，km.

(1)求大学与站的距离；
(2)求铁路段的长.
【变式14-1】3. （2023·全国·模拟预测）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

(1)在某次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．
(2)在杆上有两点，满足．当横档的中点位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角．证明：．
【变式14-1】4. （2023·广东汕头·金山中学校考三模）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．

(1)求的值；
(2)若测得，求待测径长．
1. （2023·江西·校联考模拟预测）已知中内角，，所对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若边上一点，满足且，求的面积最大值．
2. （2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设的内角所对边分别为，若．
(1)求的值;
(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．
3. （2023·安徽·校联考模拟预测）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中：内角，，的对边分别为，，，__________．
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，求的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4. （2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，且.
(1)求；
(2)把的图象向右平移个单位长度，再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上恰有两个极值点，求的取值范围.
5. （2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)设是边上的高，且，，求的值．
6. （2023·江西九江·统考一模）中，内角所对的边分别是，已知，．
(1)求角的值；
(2)求边上高的最大值．
7．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
8．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
9．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
11．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
12．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
13．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
14．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
15．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
1.若式子含有a，b，c的2次齐次式，优先考虑余弦定理，"角化边"
2.面积和a，b，c2次齐次式，可构造余弦定理
”齐次对称结构”余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

1.可以利用向量法
2.倍长中线：中线可延长，补成对称图形
3.中线可借助补角.
角平分线
如图，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
技巧1：内角平分线定理：
技巧2：等面积法
，
技巧3：边与面积的比值：
技巧4:角互补：
+,
在△,
在△,
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形.如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件