新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题23 解三角形压轴小题十一大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题23 解三角形压轴小题十一大题型汇总（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题23解三角形压轴小题十一大题型汇总原卷版doc、新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题23解三角形压轴小题十一大题型汇总解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共182页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146204531" 题型1正余弦定理 PAGEREF _Tc146204531 \h 1
\l "_Tc146204532" 题型2取值范围问题 PAGEREF _Tc146204532 \h 2
\l "_Tc146204533" ◆类型1转化角度法 PAGEREF _Tc146204533 \h 3
\l "_Tc146204534" ◆类型2正弦定理法 PAGEREF _Tc146204534 \h 3
\l "_Tc146204535" ◆类型3正弦定理+辅助角 PAGEREF _Tc146204535 \h 4
\l "_Tc146204536" ◆类型4转化正切法 PAGEREF _Tc146204536 \h 5
\l "_Tc146204537" ◆类型5余弦定理法 PAGEREF _Tc146204537 \h 6
\l "_Tc146204538" ◆类型6建系法 PAGEREF _Tc146204538 \h 7
\l "_Tc146204539" ◆类型7转化函数 PAGEREF _Tc146204539 \h 8
\l "_Tc146204540" ◆类型8二次型取值范围 PAGEREF _Tc146204540 \h 9
\l "_Tc146204541" ◆类型9基本不等式 PAGEREF _Tc146204541 \h 9
\l "_Tc146204542" 题型3中线问题 PAGEREF _Tc146204542 \h 10
\l "_Tc146204543" 题型4角平分线问题 PAGEREF _Tc146204543 \h 11
\l "_Tc146204544" 题型5高线问题 PAGEREF _Tc146204544 \h 11
\l "_Tc146204545" 题型6四边形问题 PAGEREF _Tc146204545 \h 12
\l "_Tc146204546" 题型7多三角形问题 PAGEREF _Tc146204546 \h 13
\l "_Tc146204547" 题型8与向量结合问题 PAGEREF _Tc146204547 \h 14
\l "_Tc146204548" 题型9实际问题 PAGEREF _Tc146204548 \h 16
\l "_Tc146204549" 题型10正余弦定理与立体几何 PAGEREF _Tc146204549 \h 18
\l "_Tc146204550" 题型11正余弦定理与解析几何 PAGEREF _Tc146204550 \h 21
题型1正余弦定理
【例题1】（多选）（2023·山西阳泉·统考三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】1. （2023·全国·高三专题练习）在中，，，，为内一点，若，则 .
【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）的内角的对边分别为，若，且的面积为，则 .
【变式1-1】3. （2022·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C满足，的面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】4. （2023·江西赣州·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为 ．
【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）在中，斜边为，点在边上，若，，则 .
题型2取值范围问题
◆类型1转化角度法
【例题2-1】（2023·全国·高三专题练习）中，角A，B，C满足，则的最小值为 ．
【变式2-1】1. （2023秋·重庆·高三重庆一中校考开学考试）在中，若，则的最大值为 ．
【变式2-1】2. （2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】3.（多选） （2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）用长为3的铁丝围成，记的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．存在满足成公差不为0的等差数列
B．存在满足成等比数列
C．的内部可以放入的最大圆的半径为
D．可以完全覆盖的最小圆的半径为
◆类型2正弦定理法
【例题2-2】（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）中，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】1. （2022秋·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）在锐角中，，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【变式2-2】2. （2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】3. （2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的值可为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】4. （2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
◆类型3正弦定理+辅助角
【例题2-3】（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】1. （2022秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（ ）
A．B．C．3D．
【变式2-3】2. （2022秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】3. （2022秋·广东广州·高三中山大学附属中学校考期中）设的面积为S，，已知，，则函数的值域为 ．
【变式2-3】4. （2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是 .
◆类型4转化正切法
【例题2-4】（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】1. （2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）在中，已知 ，边满足，则的最大值是 . （此空结果保留两位小数）
【变式2-4】2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．9
【变式2-4】3.（2023·全国·高三专题练习）1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，为费马点，则的取值范围是 .
【变式2-4】4. （2022秋·江苏南通·高三统考期末）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是 ．
◆类型5余弦定理法
【例题2-5】（2023·四川成都·校联考二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为 ．
【变式2-5】1. （2023·全国·高三专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知内接于半径为的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若，则的面积最大值为 .
【变式2-5】2. （2022秋·重庆·高三统考期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【变式2-5】3. （2023·全国·高三专题练习）已知中，点在边上，，，，当取最大值时， ．
【变式2-5】4. （2022·北京·高三校考强基计划）若三边长为等差数列，则的取值范围是 .
◆类型6建系法
【例题2-6】（多选）（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．当，时，不可能是直角三角形
C．当，，时，的周长为
D．当，，时，若为的内心，则的面积为
【变式2-6】1. （2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）在中，，为边上的中线，，则该三角形面积最大值为 ．
【变式2-6】2. （2022秋·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）在中，内角所对的三边分别为，且，若的面积为，则的最小值是 .
【变式2-6】3. （2023·河南安阳·统考三模）已知的面积为为常数且，若变化时的最小值为，则 .
【变式2-6】4. （2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-6】5.（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在中，，则的面积最大值为 ．
◆类型7转化函数
【例题2-7】（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知的三边长分别为，若，则的取值范围是 ．
【变式2-7】1. （2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-7】2. （2023·全国·高三专题练习）已知三角形中，，D是边上一点，且满足，则的最大值是 ．
【变式2-7】3. （2022春·全国·高三专题练习）已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-7】4. （2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）锐角三角形的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则的取值范围为 .
【变式2-7】5.（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）在中，设，，分别为角，，对应的边，记的面积为，且，则的最大值为 .
◆类型8二次型取值范围
【例题2-8】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，， ，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-8】1. （2023·河南周口·统考模拟预测）设锐角三角形的内角 ，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是 .
【变式2-8】2. （2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）在中，，D为BC的中点，则的最大值为 ．
【变式2-8】3. （2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考期中）已知的三个内角所对的边分别为，且，则面积的最大值是 ；若分别为的内切圆和外接圆半径，则的范围为 ．
【变式2-8】4. （2023春·江西·高三校联考开学考试）已知中，，，则面积的最大值是 .
【变式2-8】5.（2022春·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考开学考试）已知的三个内角分别为A，，，且，，成等差数列，则角的取值范围是 ；最大值为
◆类型9基本不等式
【例题2-9】（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，且，则S的最大值为 ．
【变式2-9】1. （2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为 ．
【变式2-9】2. （2022·全国·高三专题练习）如图，在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为 ．
【变式2-9】3. （2022·全国·高三专题练习）已知的内角所对应的边分别为，且满足， 则的面积取得最大值时，= ．
题型3中线问题
【例题3】（2023·全国·高三专题练习）在中，，为边上的中线且，则的取值范围是 ．
【变式3-1】1. （2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，且为正数，，为边上的中线，，则的取值范围是 .
【变式3-1】2. （2022秋·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为 ．
【变式3-1】3. （2022·河南·灵宝市第一高级中学校联考模拟预测）在中，，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】4. （2022·全国·高三专题练习）在中，，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】5.（2023·广西·统考模拟预测）已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为 .
题型4角平分线问题
【例题4】（2023·全国·高三专题练习）在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，是角的内角平分线，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】1. （2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（ ）
A．7B．C．D．4
【变式4-1】2. （2021秋·河南濮阳·高三濮阳市华龙区高级中学校考开学考试）在中，，，，平分交于点，则线段的长为 .
题型5高线问题
【例题5】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，点D在边AC上，且．过点D分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，设，，则的最大值为 ．
【变式5-1】1. （2023·全国·高三专题练习）在中，斜边为，点在边上，若，，则 .
【变式5-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB、AC的中点，且CD丄BE，则csA的取值范围是
A．B．C．[D．
【变式5-1】3. （2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）在中，，，E为线段AC上一点（不与A，C重合），D为BE延长线上一点，AD=2，CD=1，则面积的最大值是 .
题型6四边形问题
【例题6】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在平面四边形中，，则四边形的面积的最大值为 ．
【变式6-1】1. （2023·全国·高三专题练习）如图，一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.如果过点作一条直线分别交，于点，，并沿直线裁掉，则剩下的四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】2. （2023春·河南许昌·高三鄢陵一中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为．若，，，是边上的高线，点为垂足．点为线段上一点，点关于直线的对称点为点．从四边形中任取一点，该点来自的概率记为，则的最小值为 ．
【变式6-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知等腰梯形是半径为2的圆的内接四边形，且，，则等腰梯形的四条边长的乘积的最大值为 ．
【变式6-1】4. （2023·全国·高三专题练习）如图，菱形的边上有一点，边上有一点（，不与顶点重合）且，若是边长为的等边三角形，则的范围是 .
题型7多三角形问题
【例题7】（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】1. （2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】2. （2023·全国·高三专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 .
【变式7-1】3. （2020·北京·高三强基计划）已知，点D在的延长线上，且，点E在上，且，则 ．
【变式7-1】4. （2022·四川成都·高三四川省成都市新都一中统考阶段练习）如图，在中，，点D在线段上，且，则面积的最大值为 ．
题型8与向量结合问题
【例题8】（2023·全国·高三专题练习）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满足,若点P为的费马点，则（ ）
A．﹣1B．C．D．
【变式8-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】2. （多选）（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，为中点，在上，且，延长线交于点，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．的面积为D．
【变式8-1】3.（多选） （2023·全国·高三专题练习）对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．，
C．当，，时，则
D．
【变式8-1】4. （多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知的三个内角所对边的长分别为，若，则下列正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若平分交点，且，则的最小值为
题型9实际问题
【例题9】（多选）（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面ABC垂直．在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定M，N之间的距离的有（ ）

A．∠MCA，∠NCB，∠ABCB．∠ACB，∠NCB，∠MCN
C．∠MCA，∠NCB，∠MCND．∠MCA，∠NCB，∠ACB
【变式9-1】1. （2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，， ，，则，两点的距离为 海里.

【变式9-1】2. （多选）（2022秋·福建福州·高三校联考期中）某社区规划在小区内修建一个如图所示的四边形休闲区.已知米，米，且修建该休闲区的费用是200元/平方米，则下列结论正确的是（ ）
A．若四边形的四个顶点共圆，则米
B．若四边形的四个顶点共圆，则修建该休闲区的总费用为4万元
C．若时，则该社区修建该休闲区的修建费用为6万元
D．若要修建完成该休闲区，则该社区需要准备的修建费用最多为万元
【变式9-1】3. （2022秋·广东汕头·高三统考期末）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径，需要剪去四边形，可以经过对折，沿裁剪，展开就可以得到．
已知点在圆上且，．则镂空四边形的面积的最小值为 ．
【变式9-1】4. （2020·全国·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A．B．C．D．
题型10正余弦定理与立体几何
【例题10】（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知四面体中，，，，直线与所成的角为，且二面角为锐二面角．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-10】1. （2023·山东·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式10-1】2. （2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】3. （多选）（2023春·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）图中的扫地机器人的外形是按照如下方法设计的：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形德国工程师勒洛首先发现这个曲边三角形能够像圆一样当作轮子用，故称其为“勒洛三角形”将其推广到空间，如图类似地以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体便称为“勒洛四面体”则下列结论正确的是 （ ）

A．若正三角形的边长为，则勒洛三角形面积为
B．若正三角形的边长为，勒洛三角形的面积比其中间正三角形的面积大
C．若正四面体的棱长为，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
D．若正四面体的棱长为，勒洛四面体表面上交线的长度小于
【变式10-1】4. （多选）（2023·全国·高三专题练习）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．勒洛四面体的体积大于正四面体的体积
C．勒洛四面体被平面截得的截面面积是
D．勒洛四面体四个曲面所有交线长的和为
【变式10-1】5.（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）四面体的体积是 V，，则其外接球半径R为 .
【变式10-1】6.（2023秋·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）在中，，，，点为边边上一动点，将沿着翻折，使得点到达，且平面平面，则当最小时，的长度为 .
题型11正余弦定理与解析几何
【例题11】（2023·陕西宝鸡·校考一模）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】1. （2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【变式11-1】2. （2023·重庆·统考模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【变式11-1】3. （2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为 ．
【变式11-1】4. （2023·四川绵阳·统考模拟预测）双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
1．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在四面体中，，，向量与的夹角为，若，，则该四面体外接球的表面积为 ．
2. （2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3. （2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于两点，若的周长为20，则线段的长为 .
4. （2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，点为线段上一点，且，为线段的两个三等分点，的外接圆半径为（为半焦距），且为锐角，则 ．
6. （2022·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为已知，则的面积最大值为 ，此时 .
7.（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
9．（2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
10．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，根据已知条件和所求未知量的不同，选择合适的方法可以更加高效地解决问题，通过运用这两个定理，可以帮助我们求解各种未知边长和角度，在解题过程中，我们还可以利用三角形内角和为180度来辅助求解.

解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
对含有正切函数求最值取值范围，一般从一下方面分析：
切化弦，
在三角形中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
1.满足圆锥曲线定义，特别是“阿波罗尼斯圆”，可以适当的建系设点
2.利用正余弦平方形式可以建系设点
3.具有几何意义特征，如垂直，距离，斜率等.可以适当的建系设点
1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理2.中线可延伸补形得平行四边形
1.角平分线，可以借助面积"和"构造等量关系2.角平分线也是两边的“对称轴”
3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用
1.一般给高，基本就与求面积联系起来
2.高也可以分开构造直角三角形，得出对应的三角函数值
1.四边形可以“劈成”俩三角形. 2.四边形可以“补成”三角形

1.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
2.向量具有数形二重性，一方面具有“形”的特点，借助于几何图形进行研究，利用数形结合增强解题的直观性；另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的求解或证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，可以使复杂问题简单化，几何问题代数化