新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题26 等差、等比的性质应用十六大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc147869200" 题型1等差中项 PAGEREF _Tc147869200 \h 1
\l "_Tc147869201" 题型2等比中项 PAGEREF _Tc147869201 \h 5
\l "_Tc147869202" 题型3 下角标和性质 PAGEREF _Tc147869202 \h 9
\l "_Tc147869203" 题型4单调性问题 PAGEREF _Tc147869203 \h 12
\l "_Tc147869204" 题型5最大项与最小项问题 PAGEREF _Tc147869204 \h 17
\l "_Tc147869205" 题型6等差数列前n项和的性质1 PAGEREF _Tc147869205 \h 22
\l "_Tc147869206" 题型7等差数列前n项和的性质2 PAGEREF _Tc147869206 \h 27
\l "_Tc147869207" 题型8等差数列前n项和的性质3 PAGEREF _Tc147869207 \h 30
\l "_Tc147869208" 题型9等差数列前n项和的性质4 PAGEREF _Tc147869208 \h 32
\l "_Tc147869209" 题型10等差数列前n项和最值问题 PAGEREF _Tc147869209 \h 37
\l "_Tc147869210" 题型11等差数列Sn>0,Sn0， ，
所以在中最大的是．
故选C．
【点睛】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.
【变式5-1】4.（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）设等差数列的前n项和为．若，则数列的最小项是（ ）
A．第1011项B．第1012项C．第2022项D．第2023项
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和公式探讨数列单调性，确定绝对值最小的正负数项作答.
【详解】在等差数列中，，则
，则，
数列的公差，即数列是递减等差数列，
当时，，数列递减，当时，，数列递增，
，
所以数列的最小项是，即第1012项.
故选：B
【变式5-1】5.（2023·全国·高三专题练习）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
【答案】；3
【详解】数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=，数列的通项公式为，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项．
题型6等差数列前n项和的性质1
【例题6】（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A．10B．15C．20D．40
【答案】C
【分析】根据等差数列性质得到仍成等差数列，可设出，，，，又因为，代入数值进而求出结果.
【详解】数列是等差数列，为数列的前项和，
根据等差数列的性质得到：仍成等差数列，
记，设，
，，
，
，
计算可得到结果为：20.
故选：C.
【变式6-1】1. （2020·湖北宜昌·统考二模）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的重量和为（ ）
A．斤B．斤C．斤D．斤
【答案】C
【解析】把每段重量依次用（表示，数列是等差数列，根据等差数列性质可求解．
【详解】把每段重量依次用（表示，数列是等差数列，
由题意，两式相加得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键是从实际问题抽象出等差数列，然后应用等差数列性质解题即可．
【变式6-1】2. （2023·全国·高三专题练习）设是等差数列的前项和，，，则 .
【答案】200
【分析】根据等差数列前项和性质结合等差数列基本量的计算求出新等差数列的公差，最后根据等差数列的前项和公式计算可得.
【详解】依题意，，，，…，依次成等差数列，
设该等差数列的公差为.又，，
因此，解得，
所以.
故答案为：200
【变式6-1】3. （2022·河南洛阳·统考三模）有下列四个命题：其中真命题的序号是 .
①等差数列的前项和为，若，则；②函数的最小值4；③函数在点处的切线方程是；④函数的唯一零点在区间上.
【答案】①③④
【分析】对每一个命题逐一分析得解.
【详解】①设,故该命题正确；
②设，所以函数g(t)在上单调递减，所以函数的最小值为g(1)=5,所以该命题是假命题.
③切线方程为y-0=x-1,所以该命题是真命题；
④，所以函数在（1,2）上单调递增， ，所以函数的唯一零点在区间上.故该命题是真命题.
故答案为①③④
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，考查利用导数研究函数的最值和零点，考查导数几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
【变式6-1】4. （2023春·湖北·高三湖北省咸宁高级中学校联考期中）正项数列的前n项和为，且，，若直线与圆相切，则（ ）
A．90B．70C．120D．100
【答案】C
【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，由直线与圆相切可得，即可判断数列为等差数列，根据等差数列的前项和性质即可求得的值.
【详解】圆C的圆心为，半径，由直线与圆相切得：
圆心到直线的距离，整理得，即，
所以为等差数列．
在等差数列中，，，成等差数列，
所以，则，即．
故选：C.
【变式6-1】5.（2023·全国·高三专题练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，问：三层共有多少块扇面形石板(不含天心石)？
【答案】
【分析】设第环石板的块数为，可知数列为等差；根据等差数列片段和性质可构造方程，由此求得；利用等差数列求和公式可求得结果.
【详解】设第环石板的块数为，第一层共有环，则是以为首项，为公差的等差数列，
；
设的前项和为，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，，，
下层比中层多块，，
即，解得：，
，即三层共有扇面形石板块.
【变式6-1】6.（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A．数列是等差数列B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等差数列
【答案】ABC
【分析】设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，求出，利用等差数列的定义可判断选项；利用等比数列定义可判断C选项．
【详解】设等差数列的公差为，则，∴．
对于A选项，，∴为等差数列，A正确；
对于B选项，令，
∴，
故数列是等差数列，B正确；
设等比数列的公比为，
对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；
对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
题型7等差数列前n项和的性质2
【例题7】（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若为等差数列，是其前项的和，且为等比数列，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列以及等比数列的性质分别求得的值，结合三角函数诱导公式化简求值，即得答案.
【详解】因为为等差数列，故，
所以，
又因为为等比数列，，所以，
当时，；
当时，；
所以，
故选：D.
【变式7-1】1. （2022秋·安徽·高三校联考期末）设等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．90B．180C．45D．135
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和的公式结合等差数列的性质即可得解.
【详解】解：因为，
所以.
故选：A.
【变式7-1】2. （2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）公差不为零的等差数列的前为项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．16D．9
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质以及基本量计算可得解.
【详解】由等差数列的性质，，
又，
，
，
，
.
故选：C.
【变式7-1】3. （2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．150B．120C．75D．60
【答案】D
【分析】根据等差数列前项和的公式结合等差数列的性质即可得解.
【详解】因为也成等差数列，故，同理
因为，所以，故
所以.
故选：D
【变式7-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．3B．14C．28D．42
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质得，则可由已知等式求的值，从而利用求和公式和等差数列性质求得值.
【详解】解：正项等差数列，则
若，则，解得或（舍）
则.
故选：D.
【变式7-1】5.（2023·全国·高三专题练习）记等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】
【分析】利用等差数列前n项和、等差中项可得，再应用通项公式求结果.
【详解】，则，
其中为公差，则，故.
故答案为：
题型8等差数列前n项和的性质3
【例题8】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则 .
【答案】/
【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，代入即可求解.
【详解】由等差数列的前项和公式，得，
又由等差数列的性质，得，而，
所以.
故答案为：
【变式8-1】1. （2023·全国·高三专题练习）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】，
由于，
故答案为：
【变式8-1】2. （2023·全国·高三专题练习）设等差数列，的前n项和分别为，，且，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质化简计算作答.
【详解】等差数列，的前n项和分别为，，
所以.
故答案为：
【变式8-1】3. （2022秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）等差数列，的前项和分别是与，且，则 ； .
【答案】 / /
【分析】空1：根据等差数列的性质和求和公式，得到，代入即可求解；空2：设，，，代入即可求出.
【详解】空1：由等差数列的前项和公式，可得，
又由等差数列的性质，可得，
因为，可得.
空2：设，
所以，
，所以.
故答案为：；.
【变式8-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且 ，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由 可知P，B，C三点共线，从而有+λ=1，再由等差数列的性质可求解.
【详解】因为P，B，C三点共线，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=，
故选:B.
题型9等差数列前n项和的性质4
【例题9】（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ）
A．2 023B．-2 023C．-2 024D．2 024
【答案】C
【分析】设公差为，可得出也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从而得出答案.
【详解】由是等差数列，设公差为，则
所以，（常数），则也为等差数列.
由，则数列的公差为1.
所以
所以，所以
故选：C
【变式9-1】1. （2023·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（ ）
A．8B．8或9C．9D．17
【答案】B
【分析】结合已知条件求得，由此求得，进而求得，由求得正确答案.
【详解】依题意，
所以
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由，
所以取最大值时，n的值为或.
故选：B
【变式9-1】2. （2020·新疆·统考二模）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．-4040B．-2020C．2020D．4040
【答案】C
【分析】根据等差数列的前项和公式，可得为等差数列，由已知求出其公差，进而得到通项公式，即可得出结论.
【详解】在等差数列中，，其前n项和为，
则是以为首项的等差数列，设其公差为，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列前和基本量的运算，应用等差数列前项和的性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.
【变式9-1】3. （2019·全国·高三专题练习）等差数列{}的公差d≠0，且，，成等比数列，若＝5，为数列{}的前n项和，则数列{}的前n项和取最小值时的n为
A．3B．3或4C．4或5D．5
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式、等比数列的性质，列出方程组求出首项和公差，由此得到n﹣4，由此能求出数列{}的前n项和取最小值时的n．
【详解】由，，成等比数列，可得 = ，
即有：
由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，∴＝＝－3＋n－1＝n－4，
易知数列为单调递增的等差数列，
由n－4≥0，得n≥4，∴数列的前n项和取最小值时的n为3或4.
故选B.
【点睛】本题考查等差数列的前n项和与项数n的比值的前n项和取最小值时的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
【变式9-1】4. （2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的前项和形式满足，再根据拼凑对应的形式，进而用表达求解即可.
【详解】即，又等差数列的前项和形式满足，
故.则，
故.
故选：A
【变式9-1】5.（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）等差数列，前n项和分别为与，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和的特点，由已知设出，分别求出其通项公式，代入计算可得答案.
【详解】设等差数列，的首项和公差分别为，则，
因为，由等差数列前项和的特点，
故可设，其中为非零常数，
由，
当时，，
当时，，
当时上式仍旧适合，故，
同理可得，当时，，
所以.
故选：A.
【变式9-1】6.（2021·全国·高三专题练习）在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110．
【答案】S110＝－110．
【分析】方法一：利用前n项和公式列出方程组求解即可；方法二：利用等差中项的性质进行解题即可；方法三：利用等差数列的连续等片段和仍成等差出列求解即可；方法四：利用{an}等差数列，则数列是等差数列进行解题即可.
【详解】法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则，
解得，．
法二：∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，
∴a11＋a100＝－2．
又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
∴S110＝＝－110．
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，
∴设公差为d，数列前100项和为10×100＋d＝10，解得d＝－22．
∴前110项和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110．
法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，
则＝a1＋(n－1)．
∴数列是等差数列，其公差为．
∴，
且．
代入已知数值，消去d，
可得S110＝－110．
【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的性质，有公式法，连续等片段仍成等差数列，数列是等差数列等等，利用这些性质对于解题会有非常大的帮助.
题型10等差数列前n项和最值问题
【例题10】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人.因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层.假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S，则S的最小值是（ ）
A．42B．41C．40D．39
【答案】C
【分析】先求得“不满意度”之和S的解析式，再利用二次函数的性质求得S的最小值.
【详解】设在第n层下，则
又，则时S取得最小值40.
故选：C
【变式10-1】1. （2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项的和为，已知，，则等差数列的前项的和中，最小值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定等差数列的所有负数项即可推理作答.
【详解】等差数列的前项的和为，由，得，则，
由，得，，
等差数列的公差，即数列是递增的，前5项均为负数，从第6项起均为正数，
所以等差数列的前5项的和最小，即最小值为.
故选：A
【变式10-1】2.（多选） （2023·湖北黄冈·统考模拟预测）设数列前项和为，满足，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．数列为等差数列
C．当时有最大值
D．设，则当或时数列的前项和取最大值
【答案】ABD
【分析】A选项，根据求出为等差数列，公差为，首项为，得到通项公式；B选项，计算出，得到，从而得到，得到B正确；C选项，根据及二次函数的最值得到C错误；D选项，先得到时，，，，当时，，且，得到结论.
【详解】A选项，当时，，
又，解得，
当时，①，
②，①-②得，
，
即，故，
因为，所以不能对任意的恒成立，
故，
所以，
故为等差数列，公差为，首项为，
所以通项公式为，A正确；
B选项，，
故，则当时，，
故为等差数列，B正确；
C选项，，
故当时，取得最大值，C错误；
D选项，令得，令得，
则当时，，
当时，，当时，，
当时，，
又，，
则当或时数列的前项和取最大值，D正确.
故选：ABD
【变式10-1】3. （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则（ ）
A．B．
C．D．当时，取到最大值
【答案】ACD
【分析】利用条件，得到，从而得出，可判断出选项A正确；再逐一对选项BCD分析判断即可得出结果.
【详解】因为，所以，得到，所以，故选项A正确；
选项B，又，，所以，故选项B错误；
选项C，，故选项C正确；
选项D，因为，，所以当时，取到最大值，故选项D正确.
故选：ACD.
【变式10-1】4. （2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）已知等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则使为定值的的最小值为（ ）
A．15B．17C．19D．21
【答案】B
【分析】为定值，计算得到答案.
【详解】，故为定值.
又，所以为定值.
故选：B
题型11等差数列Sn>0,Sn0)。
等差：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
等比：若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
1.等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d，则：
= 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴d>0⇔{an}为递增数列；
= 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵d0时，
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①公比q>1，单调递增; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②q=1无单调性; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③0