新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题28 数列求和十大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc148027026" 题型1倒序相加法 PAGEREF _Tc148027026 \h 1
\l "_Tc148027027" 题型2分组求和法 PAGEREF _Tc148027027 \h 8
\l "_Tc148027028" 题型3分奇偶型的分组求和法 PAGEREF _Tc148027028 \h 15
\l "_Tc148027029" 题型4等差型裂项相消法 PAGEREF _Tc148027029 \h 24
\l "_Tc148027030" 题型5分子不是1型裂项相消 PAGEREF _Tc148027030 \h 31
\l "_Tc148027031" 题型6指数型裂项相消 PAGEREF _Tc148027031 \h 36
\l "_Tc148027032" 题型7“和”型裂项相消 PAGEREF _Tc148027032 \h 44
\l "_Tc148027033" 题型8无理型裂项相消 PAGEREF _Tc148027033 \h 51
\l "_Tc148027034" 题型9错位相减法 PAGEREF _Tc148027034 \h 54
\l "_Tc148027035" 题型10含有（-1）n并项求和法 PAGEREF _Tc148027035 \h 61
题型1倒序相加法
【例题1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明图象关于点对称，转化为证明关系式；
（2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即函数的图象关于点对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为 ，
所以 （倒序），
又由（1）得，
所以，所以.
【变式1-1】1. （2023秋·河北·高三校联考期末）已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用隔项等差数列的性质，分别求出为奇数与为偶数时的通项，进而可得答案.
（2）利用倒序相加，求得，整理得，进而利用裂项求和法，得到
【详解】（1）时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有
当为奇数时，为等差数列，，
当为偶数时，为等差数列，，

（2），
，利用倒序相加，可得
，
解得，
，

【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知、是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且．
(1)求的值及的值；
(2)已知，当时，，设，数列的前项和，若存在正整数，，使得不等式成立，求和的值；
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据点在直线上，设，利用，可得，分类讨论：①，；②时，，利用函数解析式，可求的值；
（2）由（1）知，当时，，，代入，1，2，，，利用倒序相加法可得，从而可得数列的通项与前项和，利用化简即可求得结论.
【详解】（1）根据点在直线上，设，则，，
，．
①当时，，；
②当时，，
；
综合①②得，．
（2）由（1）知，当时，．
，，
时，①
②
①②得，，则．
又时，满足上式，．
，．
，，
，
，，
，为正整数，，
当时，，，．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用倒序相加法求出，再利用等比数列的求和公式得到，再代入化简，最后结合指数函数的值域即可求出的值.
【变式1-1】3. （2023·全国·高三专题练习）函数，数则满足.
(1)求证：为定值，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式；
（2）由（1）得，裂项相消求和得，求出的取值范围.
【详解】（1）证明：
，
则，
，
两式相加，得，即.
（2）由（1），，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，，
，
，
由题，，所以，
因为，
设，，
由对勾函数的性质，当时，最小，即，
所以当时，最大，即，
所以.
【变式1-1】4. （2022秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，令，求数列的前2020项和．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由题意可得，然后利用可求出数列的通项公式；
（2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果
【详解】（1）∵点均在函数的图象上，
∴．
当时，；
当时，，适合上式，∴．
（2）∵，∴．
又由（1）知，∴．
∴，①
又，②
①+②，，
∴．
【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．
（1）计算的值．
（2）求数列的通项公式．
（3）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．
【答案】（1）2；（2）；（3）．
【分析】（1）代入函数式直接计算；
（2）用倒序相加法计算；
（3）由裂项相消法求得，注意分类，，时可转化为求函数（数列）的最大值．
【详解】（1）.
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，
所以.
又不符合，
所以.
（3）由（2）知，，
因为，所以，，
由，得，，
当时，，，
，
，
由，得，
因为对勾函数在上单调递增，又，
所以，，所以
综上，由，得.
所以的取值范围为.
题型2分组求和法
【例题2】（2022秋·四川广安·高三广安二中校考期中）已知数列满足.等比数列的公比为3，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可求出数列通项；
（2）根据分组求和与裂项求和法以及等比数列的求和公式即可求出
【详解】（1）数列满足，
是以为首项，为公差的等差数列，
，，
等比数列的公比为3，且，
，
（2），

【变式2-1】1. （2023秋·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知数列为非零数列，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推公式，分当时和时，进行求解即可.
(2)由（1）得到通项公式，再根据分组求和，即可求解.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由，
得，
两式相除得：，即，当时，也满足，
所以．
（2）由（1）可知，，所以，
所以
，
.
【变式2-1】2. （2023秋·广东广州·高三广州市第一中学校考阶段练习）在数列中，已知，．
(1)求证：是等比数列．
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过凑配法证得是等比数列.
（2）利用分组求和法求得.
【详解】（1）由，得，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得.
所以
.
【变式2-1】3. （2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知各项均为正数的数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，两边同除从而得到，则得到其通项；
（2）根据正弦型函数的周期性，再进行分组求和，最后利用等比数列前项和公式即可.
【详解】（1）因为各项为正数，，
所以上式两边同时除以，得，
令，则，即，解得（负值舍去），
所以，又，
所以是以，的等比数列，
故.
（2），
当时，，当时，，当时，，
当时，，根据三角函数周期性知的周期为4，
则
【变式2-1】4. （2023·江西·校联考模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前30项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出和，可得通项公式；
（2）先求出，再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.
【详解】（1）设公差为，则，解得，，
所以 .
（2），
所以，
所以
.
【变式2-1】5.（2022秋·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）根据的关系即可得递推关系，进而可求解，
（2）根据分组求和，结合等差等比的求和公式即可求解.
【详解】（1）当时，由且得
当时，由得，所以.
所以，故，
又当时，，适合上式.
所以.
（2）因为， ，
所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.
故数列的前2n项的和，

所以数列的前2n项和为.
【变式2-1】6.（2023秋·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求证：；
(3)记其中，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）结合等差数列与等比数列的通项公式及题目条件，用基本量表达条件中的式子，即可求得两数列的首项与公差公比，代入通项公式即可；
（2）根据第一问写出表达式，再用裂项相消法化简式子，最后放缩即可证明；
（3）将前项和分成奇数项之和加上偶数项之和，分别求解奇数项和偶数项再相加即可.
【详解】（1）∵数列是公差为1的等差数列，且，
∴，解得，
∴，
∴数列的通项公式为：.
数列是等比数列，且，
设数列的公比为，
∴，解得，
∴，
∴数列的通项公式为：.
（2）由（1）知，
∴
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
（3）由（1）可知，
∴，
∴，
令，，
∴
，
，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴数列的前项和.
【变式2-1】7.（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意化简得到，得到数列为等差数列，进而求得数列的通项公式；
（2）由，得到，结合裂项求和及，即可得证.
【详解】（1）解：由，可得，即，
则数列是公差为的等差数列，
又由，可得，则，可得，
所以数列的通项公式是.
（2）解：由，则.
所以
.
因为，所以，
即.
题型3分奇偶型的分组求和法
【例题3】（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知数列满足
(1)记，求出及数列的通项公式；
(2)求数列的前200项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过代入数列的通项公式求出数列后一项与前一项的关系，从而判断其数列性质，得出通项公式；
（2）由的通项公式，得和，利用分组求和求数列的前200项和.
【详解】（1）因为，
所以，
所以．
因为，
所以数列是以19为首项，为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得，
则，
当时，符合上式，所以，
所以数列的奇数项构成首项为20，公差为的等差数列，偶数项构成首项为19公差为的等差数列，
则数列的前200项和为
．
【变式3-1】1. （2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推公式作商得，再分类讨论结合累乘法计算即可；
（2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可.
【详解】（1）∵，，则，
∴，两式相除得：，
当时，，
∴，即，
当时，，
∴，即，
综上所述，的通项公式为：；
（2）由题设及（1）可知：，
【变式3-1】2. （2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，，，，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意列式求，进而可得结果；
（2）利用分组求和以及裂项相消法求得，进而根据数列单调性分析证明.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，，可得，解得
所以的通项公式为；
因为，，则，
因为，可得，解得，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可得：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
设
，
即，
因为在上单调递增，则在上单调递增，
可得关于单调递增，所以.
【变式3-1】3. （2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项和；
(3)记，其前n项和为，若对恒成立，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）由已知条件，列方程组求出等差数列的公差和等比数列的公比，可得数列的通项；
（2）根据数列的特征，运用分组求和法求前项和；
（3）利用函数思想，求出A的最大值和B的最小值，可得的最小值．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
，，所以，解得，，
既是和的等差中项，又是其等比中项，
得，，
解得，即，
所以，．
（2）∵，
∴．
又∵
，
∵ ①
∴ ②
①减②得：
∴，
∴．
（3），，，则是首项为公比为的等比数列，
，，
令，，
当n为奇数时，，且递减，
可得的最大值为，
当n为偶数时，，且递增，
可得的最小值为，
所以的最小值为，最大值为，因为，对恒成立，所以，
所以，所以的最小值为．
【点睛】方法点睛：
数列综合问题，要围绕等差数列和等比数列的性质，运用好公式，灵活运用数列的求和方法，不等式问题可结合数列的单调性解决.
【变式3-1】4. （2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解；
（2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.
【详解】（1）依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，，
所以，即．
（2）因为，所以，
所以
．
【变式3-1】5.（2023·广西柳州·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的通项公式及前项和公式列方程组求得和公比后可得通项公式；
（2）按奇数项与偶数项分组求和．
【详解】（1）由题知，设等比数列的公比为，显然，
则有
由①÷②得，所以，代入①得，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
.
【变式3-1】6.（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知数列满足，．
(1)求；
(2)设，求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析，；
(3).
【分析】（1）由数列的递推关系，令和即可求出答案.
（2）由递推公式求出 ，再利用等比数列定义判断作答..
（3）利用（2）的结论，再分奇偶分类讨论，借助分组求和法求和作答.
【详解】（1）由，令，则；令，则，
所以，.
（2）依题意，
，而，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（3）由（2）知，，因此，
当时，，又，则，
，
因此 ，
，
当为偶数时，，当为奇数时，，
所以.
题型4等差型裂项相消法
【例题4】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合累和法进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）根据题意可得；
当时，
，
又符合上式，所以；
（2），
，
【变式4-1】1. （2023秋·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）已知在数列中，，，且为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的定义即可求解；
（2）用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由，，可得，，
所以是首项为3，公差为1的等差数列，
所以，
所以．
（2）证明：，
，
因为，所以，
故．
【变式4-1】2. （2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设的公差为d（），然后由已知条件列方程可求出，从而可求出和；
（2）由（1）得，，然后利用裂项相消求和法可求得结果.
【详解】（1）设的公差为d（）．
因为，所以，
由得，解得，
所以，得，
所以，
．
（2）由（1）得，，
所以
．
【变式4-1】3. （2023·河南·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列中的基本量可解得，可求出的通项公式为；
（2）利用裂项求和即可求出数列的前n项和.
【详解】（1）设的公差为，因为，，
所以，解得
由等差数列通项公式可得．
即的通项公式为
（2）因为，
因此，
所以．
即数列的前n项和.
【变式4-1】4. （2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知数列的前n项和．
(1)求；
(2)令，若对于任意，数列的前n项和恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式作答.
（2）利用（1）的结论求出，再分段并结合裂项相消法求和作答.
【详解】（1）当时，，而，不满足上式，
所以.
（2）由（1）知，，当时，，
当时，
，而，又恒成立，则，
所以实数m的取值范围为.
【变式4-1】5.（2023秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；
（2）利用（1）的结论化简，利用裂项求和法即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得，
即得，则，
即，可得，由于，故得，
则，故；
（2）由（1）结论可得
，
故的前项和
.
【变式4-1】6.（2022秋·天津滨海新·高三塘沽二中校考期中）已知数列满足，，令，设数列前项和为.
(1)求证：数列为等差数列；并求数列的通项公式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见详解；，
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义可证数列为等差数列，并求得数列的通项公式，再根据题设条件中和的关系式求得数列的通项公式.
（2）利用裂项相消法、基本不等式分析运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，∵，
∴，又由，
∴，
数列为等差数列，，.
∴，
∴，.
（2）解：由（1）知，所以有
，
所以存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，
∴.
∵，
当且仅当，即时等号成立；所以有，.
∴实数的取值范围是.
【变式4-1】7.（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）设正项数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式.
(2)设，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，，再结合可求出，当时，由，得，两式相减化简可得，从而可求出通项公式，
（2）由（1）可得，配方化简后可得，然后利用裂项相消求和法可证得结论.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以 ，
因为，所以，．
当时，，又，所以，
所以，所以，，
又，所以，．
当时，也符合，所以数列的通项公式为．
（2）因为，所以 ．
因为，所以，
所以 ，
所以 ．
题型5分子不是1型裂项相消
【例题5】（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，.
(1)记，证明：数列的前项和；
(2)若，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用裂项相消法可求得，由可得结论；
（2）利用与的关系可整理得到，进而得到，由等差数列定义可证得结论；利用等差数列通项公式可推导得到.
【详解】（1），
；
数列为正项数列，，，则.
（2）当且时，，
，
整理可得：，，
经检验，当时，，得，满足条件，
又，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
【变式5-1】1. （2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，有相减得,结合各项均为正数，并因式分解即可求解.
（2）由（1）得，结合可知，由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）当时，有相减得，即，各项均为正数，
所以，
又当时，，
解得或(舍)，
所以对任意正整数n，均有，
故是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以．
（2）由于，
故，
由（1）得，
记前n项和为，则
，
所以.
【变式5-1】2. （2023秋·山西大同·高三统考开学考试）设为公差不为0的等差数列的前项和，若，，成等比数列，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项和等差数列的通项公式列式求出和，可得数列的通项公式；
（2）根据，裂项求和可求出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
所以，又，所以，所以，
所以，
解得，所以，
所以的通项公式．
（2）由（1）知，
所以
.
【变式5-1】3. （2023·湖北黄冈·统考模拟预测）设等差数列前项和，，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用等差数列前项和公式，结合裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）依题意有，
，，
又为等差数列，设公差为，
，.
（2）由（1）可得，
，，，，，
.
【变式5-1】4. （2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）设等差数列的前项之和为，且满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的的基本量计算求解；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公差为，则由已知，
解得,所以.
（2）由于，
所以.
【变式5-1】5.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的首项，其前n项和为，且（）．
(1)求；
(2)设，设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用的关系，得，可知数列是等差数列，即可求解；
（2）求出，利用裂项相消法求得，进而可证得结论.
【详解】（1），
又，
又，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，故
（2）当时，，
当时，符合上式．
．
，
，
，
从而，即.
题型6指数型裂项相消
【例题6】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列的前n项和为，．
(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．
(2)若数列的前m项和，求m的值，
【答案】(1)证明见解析，
(2)7
【分析】（1）利用数列中与的关系，得，可证明数列为等比数列，可求数列的通项公式．
（2）利用裂项相消求数列的前m项和，由求m的值.
【详解】（1）因为，所以当时，，解得．
当时，，则，
整理得，故，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．所以
（2），
数列的前m项和
，
则，则，则，解得，故m的值为7．
【变式6-1】1. （2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用累乘法求出的通项公式；
（2）先运用裂项法求出的解析式，再运用缩放法证明.
【详解】（1）由已知，
所以，
当时，满足条件，所以；
（2）由于，
所以，
所以，
所以，显然在上为增函数，，又，
所以；
综上，.
【变式6-1】2. （2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等比数列和等差数列均为递增的数列，其前项和分别为，，且满足：，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设的公比为，的公差为，根据题意，列出方程，求得，，即可求解；
（2）由（1）得到，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：设的公比为，的公差为，
因为，，
可得，即，
因为，所以，所以，
又由，，可得，解得，所以.
所以数列，的通项公式分别为，.
（2）解：由，，可得，
所以
.
【变式6-1】3. （2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知数列，是数列的前项和，满足；数列是正项的等比数列，是数列的前项和，满足，（）.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记 ，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据与的关系求的通项公式，根据条件求等比数列公式得的通项公式；
（2）用裂项求和求得数列中的奇数项的和，用等差数列求和得中的偶数项的和， 通过讨论的奇偶性求得恒成立时的取值范围．
【详解】（1）依题意；
当时，；当时，适合上式，
所以数列的通项公式.
又因为，数列为等比数列，
所以，解得或（舍去），所以；
（2）由题意可知，，；
由已知
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，，
当为奇数时， ，
所以，
当为偶数时，，所以
，
由，得，即，
当为偶数时，对一切偶数成立，当 时， 为最小值，所以，
当为奇数时，对一切奇数成立，当 时， 为最大值，
所以此时，
故对一切恒成立，则．
【变式6-1】4.（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得当时，，两式相减得到，再求得，即可得到数列的通项公式；
（2）由（1）得，求得成立；当时，得到，结合裂项求和法，求得，进而证得.
【详解】（1）解：因为，
当时，，
两式相减得，可得，
令，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，且，
当时，可得成立；
当时，，
所以
，
因为，可得，可得，
所以，
综上可得，.
【变式6-1】5.（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知数列的前项和为，且是首项为4，公比为2的等比数列.
(1)求；
(2)求证：数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得，然后利用求的.
（2）利用裂项求和法求得，进而证得.
【详解】（1）是首项为4，公比为2的等比数列.
，
，
当时，
，
又，
；
（2），
，
，
得.
【变式6-1】6.（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，设，若数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据可得，进而可得的通项公式；
（2）裂项可得，再累加求和即可.
【详解】（1），
又
（2）
【变式6-1】7.（2023·四川成都·校联考二模）已知数列是公差为2的等差数列，且是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，由裂项相消法，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，且公差为，则，
解得，则.
（2）由（1）可知，，则，则
，
则
.
题型7“和”型裂项相消
【例题7】（2023·福建龙岩·统考二模）已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由为常数，则为常数，即，然后结合等差数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，然后累加求和即可得证．
【详解】（1）依题意，得：，即
所以，，化简得：
因为，所以
所以
经检验：成立
（2）解法一：
因为
所以
，
所以
．
解法二：
所以
．
【变式7-1】1. （2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系分析可得数列是3为首项，2为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；
（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为，可得，
两式相减得，
整理得，可知数列是3为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得：，
则
，
所以．
【变式7-1】2. （2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系直接求通项公式即可；
（2）根据（1）中的通项公式得到，分奇偶讨论并整合即可得到答案.
【详解】（1）由题意，当时，，
当时，，
当时，上式也符合，
所以的通项公式为.
（2）由（1）得，，所以，．
（ⅰ）当n为偶数时，；
（ⅱ）当n为奇数时，；
综上所述，.
【变式7-1】3. （2024秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列满足，，设．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知等式变形可得，结合等比数列的定义可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）求出的表达式，可得出，利用裂项求和法可求得.
【详解】（1）解：由得，所以，，
又因为，所以，，且，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列．则．
（2）解：由（1）得，则，
所以，.
【变式7-1】4. （2023秋·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)记，求的最大值和最小值.
【答案】(1)，
(2)
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
（3）利用裂项求和法，结合对进行分类讨论，由此求得的最大值和最小值.
【详解】（1）依题意，，，
解得，所以，
则，
设等差数列的公差为，则，
所以.
（2），
，，
两式相减得，
.
（3）
，
，
当为偶数时，，
令（为偶数），则是单调递增数列，
最小值为，且.
当为奇数是，，
令（为奇数），则是单调递减数列，
最大值为，且.
综上所述，的最大值为，最小值为.
【点睛】求解等差数列或等比数列的通项公式，关键是通过基本量的计算求得首项和公差（公比）.求解形如等差数列乘以等比数列，或等差数列除以等比数列的数列的前项和，使用的方法是错位相减求和法.
【变式7-1】5.（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：，.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得；
（2）将数列通项公式变形为，直接求和可得.
【详解】（1）证明：由，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即
（2）由（1）知：，所以.
又，
【变式7-1】6.（2023·福建三明·统考三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）取倒数结合等差数列的通项计算即可；
（2）利用裂项法求得，结合，即可证明结论.
【详解】（1）因为，，所以，
所以.
所以，
所以为等差数列，首项为，公差，
所以，
所以
（2）证明：因为，
所以.
所以，
因为，所以，
即.
题型8无理型裂项相消
【例题8】（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系化简得为等差数列后求解，
（2）由裂项相消法求解．
【详解】（1），可得，
可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列，
可得，由，可得；
（2），
即有
.
【变式8-1】1. （2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列中，，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解：设数列的公比为，根据题意列出方程，求得，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）得到，结合裂项法求和，求得，结合题意，得到不等式，即可求得不等式的解集．
【详解】（1）解：设数列的公比为，
因为成等差数列，所以，即，
又因为，则，即，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）解：由，可得，
所以
又由，可得，即，
即，所以，所以不等式的解集为．
【变式8-1】2. （2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前99项和.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据数列的通项与前项和的关系，利用相减法可得，再根据等差数列的性质求解即可得数列的通项公式；
（2）根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题知.
当时，；
当时，，所以，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列是首项为2，公差也为2的等差数列，
则，
所以.
（2）由（1）得，，
即.
题型9错位相减法
【例题9】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，数列的前项和为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据以及是等差数列得到和的关系，根据得到和，即可求出的通项公式；
（2）由（1）得到，用错位相减法得到，分的奇偶性即可得到.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，
，
，
又，
，
，
是等差数列，
；
（2），
（1），
（2），
由（1）-（2）得，
化简得，
若为偶数时，，
若为奇数时，
因此.
【变式9-1】1. （2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列{}中，，且.其中，
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和.
【答案】(1)，；
(2)，.
【分析】（1）法一：由题设得，累加法得，即得通项公式；法二：由题设得，递推至第一项，即得通项公式；
（2）由（1）得，进而有，最后应用错位相减法及等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）（法一）由題意知，，则，
累加得：且，又，故，
而符合上式，故.
（法二）由题意知，则，
所以则.
（2）由（1），故，
于是，
则，
相减得：，
故.
【变式9-1】2. （2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知数列中，，设为前项和，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，得出当时，可得，结合叠乘法，求得，验证，即可求解.
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）解：由数列中，，且
当时，，解得，
当时，可得，
所以，即，
则当时，可得，所以，
当或时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
所以，
可得，
两式相减，得，
所以.
【变式9-1】3. （2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)记和分别为和的前n项和，求和.
【答案】(1)，；
(2)，.
【分析】（1）设出等比数列的公比，利用等差中项列式求解即可.
（2）由（1）的结论，利用等比数列前n项和公式及错位相减法求和得解.
【详解】（1）设的公比为q，则，
由，，成等差数列，得，则有，解得，
所以和的通项公式是，.
（2）由（1）知；
，
则，
两式相减得 ，
所以.
【变式9-1】4. （2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求；当时，，由此即可求解.
（2）等差数列与等比数列之积，用错位相减法即可求解.
【详解】（1）当时，；
当时，；
经检验：满足上式，
所以的通项公式是.
（2）由（1）得，，
，
所以.
即，即.
【变式9-1】5.（2023秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别取为奇数和偶数时，再利用诱导公式化简递推式，即可得出数列的通项公式；
（2）由（1）知，利用错位相减化简即可得出，从而得证.
【详解】（1）当时，，
即，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此.
当时，，
所以数列是首项为1、公差为2的等差数列，因此.
故数列的通项公式为
（2）证明：由（1）知，，记.
则①，
②，
①－②得，
化简得.
故.
【点睛】关键点睛：隔项数列求通项，分类讨论为奇数和偶数两种情况是关键.考查了数列递推式，诱导公式及数列前项和的错位相减法，属于较难题.
【变式9-1】6．（2022秋·广东深圳·高三校联考期中）在①数列为等比数列，且，；②数列的前n项和，；③数列是首项为1，公差为1的等差数列，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
已知数列各项均为正数，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为非零的等差数列，其前n项和为，，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①通过等比数列基本量计算，可得，选②利用项与和的关系计算可得，选③因为，可得；
（2）由已知条件，可求得，可得，利用错位相减法可求得答案.
【详解】（1）选①设的公比为q，
由题意知：，，又，
解得，，所以.
选②时，，
时，符合，所以.
选③因为，所以.
（2）由题意知：，
又，且，所以.
令，则，
因此.
又，
两式相减得，
所以.
题型10含有（-1）n并项求和法
【例题10】（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列前项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量即可.
（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.
【详解】（1）设公差为d，依题意得,解得,
所以，．
（2）因为， ，
所以
．
【变式10-1】1. （2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知数列满足（是常数）.
(1)若，证明是等比数列；
(2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2),
【分析】（1）根据等比数列的定义证得结论成立.
（2）利用分组求和法以及对进行分类讨论来求得.
【详解】（1）依题意，，
当时，，
所以数列是首项，公比为的等比数列.
（2）依题意，，，且是等比数列，
则，
，
所以，而，故解得，
则，所以等比数列的公比，
则，
所以，
所以，当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上所述，.
【变式10-1】2. （2023秋·山东青岛·高三统考期末）已知数列的前n项和为，，且为与的等差中项，当时，总有．
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列落在区间内的项的个数，求数列的前m项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系计算即可；
（2）先求出数列的通项公式，再利用奇偶分析法结合并项求和法计算即可.
【详解】（1）∵当时，总有，
∴，从而，
∵为与的等差中项，∴，
∵，∴，从而，
综上可知：对于，都有，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
（2）根据（1）可得：，
由即可得：，
所以，
从而，
∴，
当m为偶数时，
，
当m为奇数且时，，
由于适合上式，所以当m为奇数时，，
综上可知：.
【变式10-1】3. （2023·海南·统考模拟预测）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据前n项和与项的关系得出等差数列再根据基本量运算即可得；
（2）分奇偶两种情况分别求和即可.
【详解】（1）若选择条件①：
根据题意，由，得
当时，．
两式相减得，，
化简得或（舍），
所以当时，数列是公差为2的等差数列，
则．
又由，得，解得，
所以．
当时，，解得，满足上式，
故
若选择条件②：
由题设知，
则当时，．
，
由，得，
解得，
故当时，，
当时，也满足上式，
故．
（2），
当为偶数时，，
当为奇数时，，
故
1. （2023·云南·校联考模拟预测）已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求和：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用题中的两个条件，即可求解;
（2）先利用递推作差法求得从而求得，再利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为是和的等比中项，
则，即，
化简得，
又，即，
化简得则，
故.
（2）因为，
所以，
两式相减得
又满足上式，所以
又，所以
则
，
，
两式相减得：
.
2. （2023·四川宜宾·统考二模）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，分步计算，即可得到本题答案；
（2）利用错位相减法，即可求得数列的前项和.
【详解】（1）由得，
1.当时，所以则，
2.若时，①
②
由得，得，
3.当时，也满足，；
（2）因为，
所以③
④
由④-③得，
3. （2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)（）
(2)
【分析】（1）将已知条件变形为，运用累乘法即可求得结果.
（2）运用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，（），
所以，（），
所以，，，…，，（且），
所以（且），
整理得：（且），即，（且），
又因为，所以，（且），
当时，适合上式，
所以，（ ）.
（2）由（1）知，，
所以，
即.
4. （2023·河北·模拟预测）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以

.
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是
5. （2023·四川成都·校联考二模）已知数列是公差为2的等差数列，且是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使得成立的最大正整数的值．
【答案】(1)；
(2)7.
【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列基本量的运算即得；
（2）由题可得，然后利用裂项相消法求得再结合的单调性求解不等式.
【详解】（1）因为是和的等比中项，
所以，
又因为数列是公差为2的等差数列，
所以，
故数列的通项公式为．
（2）因为，
所以数列的前项和为
，
又因为，
所以，
设，
因为，
所以单调递增，又，
所以，
所以使得成立的最大正整数的值为7.
6. （2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析.
【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助数列单调性推理作答.
【详解】（1）选择①：因为，则，
两式相减得，即，
而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择②：因为，则，
于是当时，，即，由，得，
即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择③：因为，又，
则，即，
显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而，即，因此，而满足上式，
所以.
（2）由（1）知，，，
因此，
则，
显然数列单调递减，于是，则，
所以.
7. （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项；
(2)记，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意化简得到，由，求得，结合得到数列的通项公式；
（2）由（1）知，当时，得到，结合裂项法求和，得到，进而证得.
【详解】（1）解：由，可得，
两式相减得，
又由，可得，即，解得，
可得当时，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，当时，.
当时，，
所以
，即.
8. （2023·四川绵阳·统考二模）数列的前n项和满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)，时，，求的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系，分别求出两种情况，即可得解；
（2）利用裂项相消法求数列的和.
【详解】（1）时，①－②得：，即，
时，
∴从第二项起是以3为公比的等比数列，
∴
（2）时，
∵满足上式，
∴
∴
9. （2023·四川·校联考一模）已知各项均不为零的数列的前n项为为，且满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，，成等差数列，记，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由，得到时，，两式相减得到，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：由题意知，
当时，，
两式相减得，即，
又因为数列的各项均不为零，所以数列是公比为2的等比数列．
（2）解：由，，成等差数列，可得，即，解得，
所以数列的通项公式为，所以，
则，
所以
，
又由，所以数列单调递增，故．
10. （2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列，，，，．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据递推关系式可得，根据累加法对进行分奇偶讨论，确定，即可证明数列为等差数列，从而求解前n项和即可；
（2）根据裂项相消法求解数列前n项和即可．
【详解】（1）因为，所以，
当时，
当时，
所以
则当为偶数时，
累加得：，所以
当为奇数时，为偶数，则，则此时，
综上可得
所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
其前n项和
（2）由（1）可得
则
故其前n项和
．
11. （2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列满足（且），且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；
（2）利用裂项相消求和法求出即可证明.
【详解】（1）因为，所以，
两式相减得，
当时，， 又，所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，得证.
12. （2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将题目中的表达式边同时除以可证得是以为首项，为公差的等差数列，由此求出，再结合，即可得出答案；
（2）先求出，再由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，两边同时除以，
所以，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时，也满足上式，
所以.
（2）由（1）可得， ，
则
.
13.（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
14．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
15．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
16．（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
【答案】(1)，；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【详解】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
17．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
倒序相加法∶如果一个数列{am}与首末两端等"距离"的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1.如果一个数列可写成=±的形式，而数列{},{}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.分组转化法∶
等差型：
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
指数型：
,
通项裂项为“+”型：可通过分离常数，或者公式,裂项为和，借助系数的正负相间，达到裂项相消的目的.
eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))
错位相减法∶
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.