新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题35 圆锥曲线离心率压轴题（含二级结论）十九大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151062345" 题型1直接型 PAGEREF _Tc151062345 \h 1
\l "_Tc151062346" 题型2二级结论之通径型 PAGEREF _Tc151062346 \h 8
\l "_Tc151062347" 题型3双曲线渐近线相关 PAGEREF _Tc151062347 \h 14
\l "_Tc151062348" 题型4坐标法 PAGEREF _Tc151062348 \h 22
\l "_Tc151062349" 题型5二级结论之焦点弦定比分点 PAGEREF _Tc151062349 \h 30
\l "_Tc151062350" 题型6二级结论之焦点已知底角 PAGEREF _Tc151062350 \h 35
\l "_Tc151062351" 题型7焦点三角形已知顶角型 PAGEREF _Tc151062351 \h 40
\l "_Tc151062352" 题型8焦点三角形双余弦定理 PAGEREF _Tc151062352 \h 46
\l "_Tc151062353" 题型9利用图形求离心率 PAGEREF _Tc151062353 \h 52
\l "_Tc151062354" 题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率 PAGEREF _Tc151062354 \h 57
\l "_Tc151062355" 题型11点差法 PAGEREF _Tc151062355 \h 66
\l "_Tc151062356" 题型12二级结论之中点弦问题 PAGEREF _Tc151062356 \h 73
\l "_Tc151062357" 题型13角平分线相关 PAGEREF _Tc151062357 \h 78
\l "_Tc151062358" 题型14圆锥曲线与圆相关 PAGEREF _Tc151062358 \h 83
\l "_Tc151062359" 题型15内切圆相关 PAGEREF _Tc151062359 \h 89
\l "_Tc151062360" 题型16与立体几何相关 PAGEREF _Tc151062360 \h 96
\l "_Tc151062361" 题型17二级结论之切线方程 PAGEREF _Tc151062361 \h 105
\l "_Tc151062362" 题型18正切公式的运用 PAGEREF _Tc151062362 \h 113
\l "_Tc151062363" 题型19圆锥曲与内心结合 PAGEREF _Tc151062363 \h 119
题型1直接型
【例题1】（2021·江西南昌·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，且，，则的离心率为
【答案】
【分析】由题设知，令，易得，根据双曲线的定义知、，又即可求双曲线参数a与m的数量关系，在中应用勾股定理构造a、c的齐次方程即可求离心率.
【详解】
由，知：，令，，则，
∴中，，又且，
∴，即，则，，
故在中，，即，
∴.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由题设知，令易得，结合双曲线定义确定参数a与m的数量关系，利用勾股定理构造齐次方程求离心率.
【变式1-1】1. （2021·全国·高三开学考试）设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率
【详解】
设，则，，
，.
，
在中，由余弦定理得，，
，
化简可得，而，故，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
椭圆的离心率 ，
故答案为：.
【点睛】题目考察比较综合，需要根据图形列出各边之间的关系式，找到关于之间的关系，进而求解离心率，涉及到了以下考点：
（1）椭圆的第一定义
（2）三角形的余弦定理
（3）离心率的计算
【变式1-1】2. （2021·河北秦皇岛·统考二模）椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.
【详解】设，
因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
设中点为H，则，，，
代入数据并整理得：，
等式两边同除以得：，解得：或(舍).
故选：A.
【点睛】方法点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．
（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等
【变式1-1】3. （2023·江西九江·二模）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为、，点关于的对称点为．给出下列四个命题：
①两椭圆的焦距长相等；
②两椭圆的离心率相等；
③；
④与小椭圆相切.
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为，设点、、，建立平面直角坐标系，利用椭圆的几何性质可判断①②；利用直线与椭圆的位置关系，结合韦达定理可判断③的正误；取以及，可判断④的正误.
【详解】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为，
设点、、，
以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设小椭圆的方程为，
则大椭圆的方程为，
对于①，大椭圆的焦距长为，两椭圆的焦距不相等，①错；
对于②，大椭圆的离心率为，则两椭圆的离心率相等，②对；
对于③，当直线与坐标轴垂直时，则点、关于坐标轴对称，此时点为线段的中点，合乎题意，
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
联立可得，
，可得，
此时，，
联立可得，
由韦达定理可得，即点为线段的中点，
综上所述，，③对；
对于④，当点的坐标为时，将代入可得，
不妨取点、，则，
若，则直线的方程为，此时直线与椭圆不相切，④错.
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
【变式1-1】4. （22·23下·恩施·模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左右焦点，且到渐近线的距离为1，过的直线与C的左、右两支曲线分别交于两点，且，则下列说法正确的为（ ）
A．的面积为2B．双曲线C的离心率为
C．D．
【答案】D
【分析】利用已知条件求出b的值，对于A：利用勾股定理结合双曲线的定义求出的面积，对于B：利用双曲线的离心率公式运算求解；对于C：先求，再利用平面向量数量积的运算性质运算求解；对于D：根据双曲线的定义结合勾股定理求出，代值计算即可.
【详解】设双曲线C的半焦距为，
因为双曲线C的焦点在x轴上，且，
则其中一条渐近线方程为，即，且，
则到渐近线的距离，可得.
对于选项A：因为，且，
可得，解得，
所以的面积为，故A错误；
对于选项B：双曲线C的离心率为，故B错误；
对于选项C：因为，可得，
所以，故C错误；
对于选项D：设，则，
因为，即，解得，
所以，故D正确；
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
题型2二级结论之通径型
【例题2】（2023·重庆·模拟预测）如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】做轴于点，得到点的纵坐标，从而得到，然后根据，列出方程，即可得到结果.
【详解】
由题意，做轴于点，
因为四边形是等腰梯形，则，
则点的横坐标为，代入椭圆方程，
可得，即，
因为，则，（这里也可以直接利用通径2ON=||,即）
由，则，
化简可得，，同时除可得，
即，
对于
当时，，当时，，
在时，方程有根，
且，故应舍，所以.
故选:D
【点睛】解答本题的关键在于得到点的纵坐标，然后根据三角形相似列出方程，得到的关系式.
【变式2-1】1. （23·24高三上·湖北·阶段练习）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．（可以直接用通径公式）
【详解】由题意可知，，
设，可得直线的斜率分别为，，
因为点在双曲线上，则，整理得，所以，
设点，可得直线，的斜率，，
因为点在椭圆上，则，整理得，
所以，即，
则，所以直线与关于轴对称，
又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，
又，则，
所以，
整理得，即，解得，或（舍去），
所以椭圆的离心率为．
故答案为：．

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
【变式2-1】2. （2023·湖北武汉·三模）已知椭圆：，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点F为椭圆C的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF垂直于x轴.过原点О作直线PA的垂线，垂足为M，过原点О作直线PB的垂线，垂足为N，记，分别为，的面积.若，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】设可得，再由三角形的面积公式将化简为①，再由可得，代入①可得，化简即可求出椭圆的离心率.
【详解】设，故，
则，，所以，
①，
令中，所以，解得
故，即，
所以，
所以代入①可得：，
所以，
则，
即，
即，
即，即，
即，故，解得：.
故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于由三角形的面积公式将化简为，再由勾股定理求出，代入化简即可.
【变式2-1】3. （22·23·赣州·二模）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在上，满足为直角三角形，作于点（其中为坐标原点），且有，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可得，根据双曲线的定义结合通径以及三角形相似列式求解即可.
【详解】由题意可知：显然，
若，则//，
因为为的中点，则点为的中点，这与相矛盾，不合题意；
所以，可得，
因为，则，即，
整理得，解得或（舍去），
所以的离心率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
【变式2-1】4. （2023·河北保定·统考二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】作出图象，根据几何性质可得点的坐标，结合∥可得，进而求出离心率.
【详解】由题意，在双曲线C: 中，右焦点为，FN垂直于轴，

由题意可知：，
因为是BF中点，则，可得，
且三点共线，则∥，可得，即,
所以.
故选：A.
题型3双曲线渐近线相关
【例题3】（2023·山东潍坊·二模）已知双曲线 的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过作的一条浙近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值．
【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，，
在中，，，，
，
由余弦定理得，
化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，
故选：C．
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：
①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；
③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．
【变式3-1】1. （2022·贵州毕节·统考模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，且平分，则的离心率为( )
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】根据已知条件求出P点坐标和直线PA方程，平分，则O到PM的距离等于到AP的距离，列式可求离心率﹒
【详解】如图，双曲线的渐近线取，则，
由，
∴P()，，故，
∴，即
∵平分，∴O到PM的距离等于O到AP的距离|OM|，
即，化简整理得，解得e=2，
故选：A﹒
【变式3-1】2. （多选）（2023·山东潍坊·三模）函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．对称轴方程是
C．实轴长为D．离心率为
【答案】ABD
【分析】由基本不等式可判断A，由双曲线的性质判断B，C，D.
【详解】时，，当且仅当即时取等号，
时，，
当且仅当即时取等号，故A正确；
依题意，此双曲线两条渐近线为和，，
由双曲线的对称性，双曲线的渐近线关于双曲线的对称轴对称，
故得双曲线的两条对称轴方程为，故B正确；
由双曲线的性质，双曲线实轴的两个顶点为对称轴与双曲线的两个交点，则由得双曲线实轴的两个顶点分别为
，，
故此双曲线的实轴长即为，故C错误；
依题意，此双曲线两条渐近线和的夹角为，
则渐近线与对称轴的夹角为，由双曲线的性质有，
所以，解得，故D正确.
故选：ABD
【变式3-1】3. （2020上·广西桂林·高三广西师范大学附属中学校考阶段练习）已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意，得到双曲线的其中一条渐近线的方程为， 进而得到过点与垂直的直线方程为，联立方程组，求得点的坐标，结合，列出方程，进而得到，即可求解.
【详解】如图所示，双曲线可得右焦点，
其中一条渐近线的方程为，
则过点与垂直的直线方程为，
联立方程组，解得，即
在中，因为，可得，整理得，
即，所以，整理得，
即，解得或（舍去），
故双曲线的离心率为.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
【变式3-1】4. （2022·陕西咸阳·统考二模）已知双曲线C：（，）的左焦点为F，过F且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与另一条渐近线交于点P，交y轴于点A，若A为PF的中点，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【分析】先假设与直线l垂直的一条渐近线的斜率为，进而求出的直线斜率，进而由F点求出的直线方程为，联立另一条渐近线和直线，求出交点坐标P，再根据A为中点列式即可求解.
【详解】设与直线l垂直的渐近线的方程为：，
因为直线 与该渐近线垂直，所以，
所以的直线方程为，
令，得，
所以点A坐标为，
联立 ，得，
所以点P坐标为，
又因为A为中点，所以，
即 ，
化简得，，
所以双曲线离心率为：，
故答案为：.
【变式3-1】5.（多选）（2023·河北唐山·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，过P作C的切线交直线于点Q，则（ ）
A．C的离心率为B．C的离心率为
C．△OPQ的面积为D．△OPQ的面积为
【答案】AC
【分析】设，由题意可求得， ，中，利用正弦定理求得，即可求得双曲线得离心率；通过设点表示出，利用切线求得P，Q两点坐标，可求△OPQ的面积．
【详解】直线和直线，是双曲线C：的两条渐近线，

设，则有，
又垂直于渐近线，渐近线方程为，，，
，而，，
，
在中，，由正弦定理：，
， ， ，
，A选项正确；
双曲线C的方程为：，渐近线为，
过点的切线与双曲线切于点，则有，
又，均在双曲线的渐近线上，故设，
又， ，
，
当点为切点时，由，切线斜率存在，
设切线方程为，代入双曲线方程，
得
令，得，解得，
过点的切线方程为，
切线方程代入，解得，
切线方程代入，解得，
，
，则C选项正确.
故选：AC
【点睛】方法点睛：
1.求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．
2.解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
题型4坐标法
【例题4】（2023·河南·模拟预测）已知双曲线C：的左顶点为A，P为C的一条渐近线上一点，AP与C的另一条渐近线交于点Q，若直线AP的斜率为1，且A为PQ的三等分点，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】写出直线的方程为，将其分别与双曲线渐近线联立解出的纵坐标，根据为的三等分点，得到关于的方程，最后化为关于的齐次方程，即可得到离心率.
【详解】不妨设点在第二象限，直线的方程为，
联立，得点的纵坐标;
联立，得点的纵坐标.
由为的三等分点,可知，则有，整理得,
则，则，故的离心率.
故答案为：.
【变式4-1】1. （2023·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线（）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得为线段的中点，为线段的中点，设，从而可得出的坐标，再根据点在渐近线上，求出，再根据点在双曲线，得出的齐次式即可得解.
【详解】由题意，点在渐近线上，点在渐近线上，
设，
因为P，M恰为线段FN的三等分点，
所以为线段的中点，为线段的中点，
则，则，即，
又点在渐近线上，
所以，所以，
故，
因为点在双曲线，
所以，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：设，由为线段的中点，为线段的中点，得出的坐标，再根据点在渐近线上，求出，是解决本题的关键.
【变式4-1】2. （24·25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率 ．
【答案】/0.5
【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程, 由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式, 求得中点坐标 坐标, 求得垂直平分线方程, 当时, 即可求得点坐标, 代入即可求得, 即可求得 , 即可求得和的关系, 即可求得椭圆的离心率.
【详解】因为倾斜角为的直线过点，
设直线的方程为: , ,
线段的中点,
联立 ，化为，
，
，
的垂直平分线为:,
令 , 解得 ,.
,
,则 ,
椭圆的离心率为,
故答案为:.
【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法, 属于较难题.
【变式4-1】3. （2023·湖北襄阳·模拟预测）如图，已知有公共焦点、的椭圆和双曲线相交于A、B、C、D四个点，且满足，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】设椭圆的方程为，双曲线的方程为，联立方程组求的坐标，再求点的坐标，由条件列方程求椭圆的离心率.
【详解】设椭圆的方程为，
双曲线的方程为，
因为椭圆和双曲线有公共焦点、，
所以，
因为，
联立，可得，
所以，
所以点的坐标分别为，，，，
所以直线的斜率，直线的方程为，
所以点的坐标为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立，消得，
，
设点的坐标为，
则，
所以，，
所以直线的斜率，又，，
所以，又，
所以，
因为点，，
所以，
故，故
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
【变式4-1】4. （22·23高三上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（O为坐标原点）.下列四个结论正确的是（ ）
①；
②若，则双曲线的离心率；
③；
④.
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
【答案】C
【分析】对于①：根据可得，根据勾股定理分析判断；对于②：根据向量共线可得，代入双曲线方程可得离心率；对于③：根据双曲线的定义及三角形的三边关系分析判断；对于④：根据两点间距离以及A的横坐标的范围分析判断.
【详解】对于①：因为，且为的中点，则，
所以，故①正确；
对于②：由题意可知：直线，
设，则，可得，
即，
设，由，可得，
因为，则，解得，
即，由点A在双曲线上可得，
整理得，解得或（舍去），故②正确；
对于③：设直线与双曲线的右支交于点，
由双曲线的定义可得：，
在中可得，即，
所以，
即，故③错误；
对于④：设，则，可得，
则，
因为，则，可得，
所以，即，故④正确；
故选：C.
【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
【变式4-1】5.（22·23高三上·河北石家庄·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点，若，，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率为
【答案】
【分析】由得为线段的一个三等分点，由得，所以点为椭圆的上顶点，得，代入椭圆方程解出离心率.
【详解】
如图，因为，所以，即，
所以为线段的一个三等分点，
又因为，所以，即，
所以，所以点为椭圆的上顶点，
因为，，且，所以，
代入椭圆方程，得，因为，所以.
故答案为：.
【点睛】将两个向量条件分别转化，转化为点的位置，转化为求线段的长度，进而列出关于离心率的方程解答.
题型5二级结论之焦点弦定比分点
【例题5】（23·24高三上·云南·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】由的面积是面积的2倍，得到，由此设，分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，即可求得答案.(可以直接用二级结论)
【详解】如图，由的面积是面积的2倍，可得，
不妨设，，，则，．
在中，,由，
得，整理得①．
在中，,由，
得，整理得②，
①+②得，将该式代入②，
整理得，即，
故的离心率为，
故答案为：
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到之间的关系，解答时要注意利用的面积是面积的2倍，得到，由此可分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，求得答案.
【变式5-1】1. （2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中）已知椭圆的左焦点为，过斜率为的直线与椭圆相交于、两点，若，则椭圆的离心率 ．
【答案】/0.4
【分析】设，将直线和椭圆联立消元得，由可得，这几个式子再结合化简可得.
【详解】因为直线过且斜率为，所以直线为：，
与椭圆：联立消去，得，
设，则
因为，可得，代入上式得
消去并化简整理得：，
将代入化简得：，解得，
因此，该双曲线的离心率.
故答案为：.
【变式5-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.
【详解】设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
【变式5-1】3. （2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆的右焦点为，过右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与构建出关于、、的齐次方程，根据离心率公式即可解得.
【详解】设，，，过点做倾斜角为的直线斜率，
直线方程为，联立方程，
可得，
根据韦达定理：，，
因为，即，所以，
所以，
即，所以，联立，
可得，.
故选：C.
【变式5-1】4. （2023·贵州·统考模拟预测）椭圆的上顶点为是的一个焦点，点在上，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量关系得到三点共线，表达出点坐标，代入椭圆方程，求出离心率.
【详解】因为，所以三点共线，其中，
不妨设，，
则，
由得，解得，
故，
将其代入中得，，解得，
故离心率为.
故选：A
题型6二级结论之焦点已知底角
【例题6】（2008·全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题设条件可知，由正弦定理可得，再由双曲线的定义可得，最后由离心率公式进行计算即可得解.
【详解】双曲线的焦点为，，则，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
双曲线过点，由双曲线的定义可得，
解得离心率，
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由下面两个方面着手：
（1）根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值；
（2）已知条件构造出，，的等式或不等式，结合化出关于，的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.
【变式6-1】1. （2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆C的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定义得到，，由勾股定理列出方程，求出离心率.
【详解】【解法一】因为经过左焦点，且斜率为，故，
所以，所以，则，
设，则，
由椭圆的定义可知：，即，
解得：，
所以，，
由勾股定理得：，
故，
解得：，故椭圆离心率.
故选：A
【解法二】===-1。
【变式6-1】2. （2020秋·贵州贵阳·高二统考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由直线斜率得直线倾斜角，从而的三个内角都能求出，可确定是正三角形，于是有，把点坐标代入椭圆方程，变形整理可解得．
【详解】如图，由题意得，又，∴，，
于是是正三角形，∴，
点在椭圆上，∴，整理得，即，
（舍去），．
故选：D.
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是列出关于的一个等式，本题关键是由直线的倾斜角求出的三个内角，可确定是正三角形，这样把点坐标用表示后，代入椭圆方程即得．
【变式6-1】3. （2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，点Р为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用正弦定理得到可得，结合两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】因为，，可得，，
则，，，，
由正弦定理得：
，
可得，
又由，
所以.
故答案为：.

【变式6-1】4. （2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且 ，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】利用圆与双曲线的定义与性质计算即可.
【详解】
由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则，
∴，，，
．
故答案为：
【变式6-1】5.（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】作出辅助线，得到，求出，求出离心率.
【详解】由题知，过作轴于，则，
，
，解得，
故答案为：
题型7焦点三角形已知顶角型
【例题7】（20·21高二上·吉林白城·阶段练习）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 .
【答案】4
【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，不妨设
则根据椭圆、双曲线定义得：，
可得：，，
设，，
在中利用余弦定理得，，
可得
整理得，即，也就是
故答案为：4
【变式7-1】1. （2021·重庆·校联考三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件求得，∴，在中，由勾股定理可得关于的等式，进而可求得离心率.
【详解】由双曲线定义知，
则，，所以，
∴的周长为，
∴，，
由，
所以，故，∴，
∴，，∴，
在中，，故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由得到.
【变式7-1】2. （2021·山东烟台·统考二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与交于点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设知△为等腰直角三角形，即、，结合双曲线的定义求、，在△中应用余弦定理，构造齐次方程，求离心率即可.
【详解】由且知：△为等腰直角三角形且、，即，
∵，
∴，故，则，
而在△中，，
∴，则，故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：由已知条件判断△为等腰直角三角形，结合双曲线的定义及余弦定理可得齐次方程，即可求离心率.
【变式7-1】3. （2021·浙江·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，四边形的周长与面积满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不妨设，，结合双曲线定义和余弦定理可得，再由四边形的周长与面积关系求得关系即可求离心率．
【详解】不妨设，，
由双曲线的定义可知，，即①，
又，所以由余弦定理可得②，
由①②可得，，所以．
又四边形为平行四边形，故四边形的周长，
面积．
因为，故，整理得，
故双曲线的离心率为．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是根据双曲线的对称性得到四边形是平行四边形，从而得到．
【变式7-1】4. （2023·上海崇明·一模）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于 .
【答案】/
【分析】根据P点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出，，在△中结合余弦定理即可列出方程求解．
【详解】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，
设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，
由题可知：．
设，，
则，
由①②得，，，
代入③整理得，，
两边同时除以得，，
即，
即，
解得，即 ．
故答案为：
【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.
【变式7-1】5.（2022上·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于，两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】由题意可得直线为，设，，代入双曲线并结合，在右支可得，可得，然后分，和三种情况进行讨论，即可求解
【详解】由双曲线可得，故直线为，
代入双曲线可得，即，
设直线与双曲线的右支交于，，
故，故即，所以，
结合可得，
不妨设在轴的下方，在轴的上方，设，，由双曲线定义可得，，
①时，，即，
故，
因为直线斜率为1，所以倾斜角为，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，
所以，解得，舍去；
②时，，即，
故，
因为直线斜率为1，所以倾斜角为，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，
所以，解得，
因为，，
所以，此时满足题意；
③时，此时直线垂直与轴，与题意矛盾，故舍去；
综上所述，双曲线的离心率为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：这道题的关键点是得到直线与双曲线的右支交于，两点时，离心率的范围，后面讨论三种情况并结合所求的范围进行取舍
题型8焦点三角形双余弦定理
【例题8】（22·23高二下·河南安阳·开学考试）已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件和椭圆定义，将用表示，在中求出，在用余弦定理，建立等量关系，即可求解.
【详解】由椭圆的定义可得
结合可得
由可得，
由椭圆的定义可得所以
在中，，
在中，，
，
.
故选：B
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【变式8-1】1. （22·23上·河南·模拟预测）双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】先设，再利用双曲线的定义与向量数乘的性质得到，，关于的关系式，从而在与中利用余弦定理得到的齐次方程，解之即可求得结果.
【详解】根据题意，设，
因为，所以，
由，得，
由，得，
又，，
所以在中，，整理得，故，
在中，，整理得，
则，整理得，即，
所以，则双曲线C的离心率为.
故选：A.
.
【变式8-1】2. （2023·浙江·一模）已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【分析】作出图像，由余弦定理及双曲线的定义表示出和，再根据得出，即可表示出，由列出齐次式，求解即可．
【详解】做出图像，如图所示，则，
在中，由得，，
设，则，
所以，解得，即，
在中，由得，，
设，则，
所以，解得，即，
因为，
所以，
则，即，
所以，解得，
所以，
由可得，，则，
所以，整理得，解得，
故答案为：．
【变式8-1】3. （23·24高三上·江苏淮安·开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【分析】设，再在中根据余弦定理结合椭圆的定义可得，再分别在与列出余弦定理，根据化简即可.
【详解】由椭圆的性质可得，设，在中根据余弦定理结合椭圆的定义可得，
即，
整理可得，即，故.
又，故，，
故，即，，
故，故离心率.

故答案为：
【变式8-1】4. （22·23高三下·山东菏泽·开学考试）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 ．
【答案】/
【分析】利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
【详解】依题意，设，则，
在中，，则，
故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
【变式8-1】5.（2023·湖南株洲·一模）已知椭圆的左右焦点为，，过的直线交椭圆C于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义，线段比例关系和余弦定理即可求解.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以，
所以，
在三角形中，，
在三角形中，，
以上两式相等整理得，
故或（舍去），
故，
故答案为：.
题型9利用图形求离心率
【例题9】（2023·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件证明为线段的中点，由此可得，结合双曲线的定义可得，由勾股定理可得的关系，由此可求曲线的离心率.
【详解】因为，为双曲线的左､右焦点，
所以，
因为
所以，又为线段的中点，
所以为线段的中点，且，
又为线段的中点，
所以，
在中，，，
所以，
所以，
因为点在双曲线的右支上，
所以，
故，
在中，，，，
由勾股定理可得：，
所以，即，
所以，又，
故，
所以，
故选：D.
【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，
然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【变式9-1】1. （22·23·包头·二模）双曲线C：（，）的两个焦点为，，以C的虚轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的渐近线交于点H，若的面积为，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据相切关系可得直线的斜率，进而得方程为，联立两直线方程得交点坐标，即可由面积公式得的关系，由齐次式即可求解离心率.
【详解】设直线与圆相切于,由题意可知,，所以 ，所以,
所以直线方程为，
联立和得 ，故
因此，故，因此，
故 ，
故答案为：
【变式9-1】2. （2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段的两个三等分点，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【分析】作出辅助线，得到，设出，，由双曲线定义得到方程，并由勾股定理得到，两方程联立后求出离心率.
【详解】由题意得，取中点，连接，设双曲线C的右焦点为，连接，
因为，所以，
又A，B为线段的两个三等分点，所以，即为的中点，
又为的中点，所以，故，
设，则，又，
由勾股定理得，则，
由双曲线定义得，即①，
在Rt中，由勾股定理得，
即②，
由①得，两边平方得，
解得或（负值舍去），
将代入②得，故离心率为.

故答案为：
【变式9-1】3. （2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，是的上顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【详解】由题意可知：，，，直线的方程为：，
由，点在第三象限，，则，
代入直线方程中得整理得，
则，∴椭圆的离心率.
故选：B.
【变式9-1】4. （2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，点是椭圆上位于第一象限内的点，且为坐标原点，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】（1）由可得，从而求得，再根据可得，再结合离心率公式即可求解.
【详解】设为半焦距，因为，所以，故点，
因为，所以，即，整理得，
所以，得，又，所以.
故答案为：

题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率
【例题10】（22·23高二下·湖南·期末）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解.
【详解】延长与双曲线交于点，
因为，根据对称性可知，
设，则，
可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值；
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
【变式10-1】1. （2023·河南商丘·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），.若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据，可得关于原点对称，从而可得四边形为平行四边形，再根据，可得四边形为矩形，再求出的坐标，求出，再利用余弦定理构造齐次式即可得解.
【详解】设双曲线的焦距为，
因为，所以，
所以关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，
因为以为直径的圆的方程为，
不妨设所在的渐近线方程为，
则，
由解得或，
不妨设，
因为为双曲线的左顶点，所以，
所以，
又，
由余弦定理得，
即，整理得，
所以离心率.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.
【变式10-1】2. （2023·福建宁德·模拟预测）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，

由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，
所以，
故答案为：
【变式10-1】3. （23·24高三上·山西大同·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】由题意可得 ，且，延长并延长交椭圆于点，然后利用椭圆的对称性和椭圆的定义可得，，，则由勾股定理的逆定理可得，再在中利用勾股定理列方程可求出的关系，从而可求出离心率.
【详解】因为，，
所以 ，且，
延长并延长交椭圆于点，
则由对称性可设，，，，
因为，所以，
则，，，
得
所以，
在中，由，得
，化简得，所以，
所以离心率.
故答案为：
【点睛】关键点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，解题的关键是利用椭圆的对称性和椭圆的定义表示出各线段的长.
【变式10-1】4. （2022·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得．A为左支上一点且满足，，的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根据焦三角形的面积为，得到，过点A作x轴的平行线交PQ于点B，可知四边形是平行四边形，根据得到，设，则，，，，．利用勾股定理得到，即可得到双曲线的离心率.
【详解】如图所示：
因为，所以四边形是平行四边形，
因为，
，
.
所以
可得．
过点A作x轴的平行线交PQ于点B，可知四边形是平行四边形，
因为，所以，
又，所以有．
设，则，，，
，．
在中，由，解得．
在中，由，得，
所以离心率，
故选：C
【变式10-1】5.（2021下·山西·高三校联考阶段练习）如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
题型11点差法
【例题11】（22·23·吉安·一模）椭圆的内接四边形的对角线交于点，满足，，若直线的斜率为，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出点，由已知求出，利用两点在椭圆上，化简计算解出直线的方程，可得直线的斜率，解方程求出离心率．
【详解】设点，，且，
可得，即，解得，
由两点在椭圆上，
有，
得：，
即，
同理可得，
因此，直线的方程为，
从而直线的斜率为，
由，可得
故选：B
【变式11-1】1．（2023·湖北·模拟预测）设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，作图，计算得，，再设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，得到，进而得到直线的方程，再得到点，利用，得到点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案.
【详解】
由点A在椭圆C上，且，设点，且，，
则
，
同理，
设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知
，
，
，解得，，得．
可得直线．进而可得，
由，可得，
设中点为M，则．，
点差法的结论，证明如下：
设，，，为中点，
故，两式作差得，，
又由，，可整理得，，
最后化简得，，
进而得到，，
得．
因为，所以，
联立，解得，
所以，故，解得．
故答案为：．
【变式11-1】2. （2022下·云南昭通·高二校联考期末）已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设，线段AB的中点，
则，两式相减得，
所以①，
设，线段CD的中点，同理得②，
因为，所以，则三点共线，
所以，将①②代入得：，即，
所以，即，
所以，
故选：D.
【变式11-1】3. （22·23·河北·模拟预测）已知斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，，直线与的左、右两支分别交于点，，交于点，若点恒在直线上，则的离心率为 .
【答案】
【分析】设出各点的坐标及中点坐标，代入双曲线作差得，，利用三点共线表示点P的坐标，代入已知直线方程得，即可求出离心率.（可以利用中点弦结论）
【详解】设，，，，，
的中点，的中点，
则，两式相减，得，化简得，
所以，所以①，同理②，
因为，所以，，三点共线，所以，
将①②代入得，即，
因为，所以，即点P恒在直线上，
又点恒在直线上，所以，所以，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：

【点睛】思路点睛：一般涉及中点弦问题时，采用设而不求点差法求解，本题通过点坐标之间的关系建立a，b关系，从而求出双曲线的离心率.
【变式11-1】4. （2023·云南·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】先由得到F为的重心，再利用点差法求得之间的关系，进而求得椭圆的离心率
【详解】设，线段PQ的中点为，
由，知F为的重心，故，
即，解得，
又M为线段PQ的中点，则，
又P、Q为椭圆C上两点，则，
两式相减得，
所以，
化简得，则
解得或（故舍去）
则，则离心率.
故答案为：
【变式11-1】5.（2020上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，过原点O的直线AB交椭圆C：（a＞b＞0）于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是 .
【答案】
【解析】设，，根据已知条件得、、的坐标，、B，M，Q三点共线，以及 ，由，在椭圆上有，联立所得方程即可求离心率.
【详解】设，，则，，，
由，则①，
由B，M，Q三点共线，则，即 ②.
又因为，，即，③，
将①②代入③得.
【点睛】关键点点睛：根据已知点的坐标表示两线垂直以及三点共线，再结合点在椭圆上得到相关参数的方程，联立方程求椭圆离心率.
题型12二级结论之中点弦问题
【例题12】（22·23上·徐州·期末）已知椭圆C：，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴于点D．若直线AP，BP的斜率之积为，且，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【分析】设点的坐标，求斜率，由题知，两式相减，化简得，结合
，知，再利用及离心率公式即可求解.
【详解】设，，，
则直线AP的斜率为，BP的斜率为，
由题知，两式相减得，
即，即，即，
又，则，即，
即，则，所以，
即，则椭圆C的离心率为.
故答案为：
【变式12-1】1. （22·23下·安徽·一模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】利用点差法证明二级结论，再结合，则两式相比可得，即，代入即可求出离心率.
【详解】设，其中，显然点在椭圆内，
记坐标原点为，直线的斜率分别为，易知三条直线斜率均存在，
又，两式相减整理可得，
即，又，所以两式相比可得，
即，代入，整理可得，
所以离心率.
故答案为：.
【变式12-1】2. （2023·贵州·模拟预测）设О为坐标原点，A为椭圆C：上一个动点，过点A作椭圆C内部的圆E：的一条切线，切点为D，与椭圆C的另一个交点为B，D为AB的中点，若OD的斜率与DE的斜率之积为2，则C的离心率为 .
【答案】
【分析】设，，，根据点差法可得，由题意可知，则，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】设，，，则，.
将A，B代入C，得两式相减，得，
所以，即.
由：可知，圆E与y轴相切，如图.
由题意可知，不妨设OD的斜率为，且.
,是等腰三角形，，
，所以.
由OD的斜率与DE的斜率之积为2，可得，解得（负值舍去）.
所以，所以，即.
所以，所以，
所以C的离心率为.
故答案为：.
【变式12-1】3. （2021·全国·模拟预测）已知椭圆：()的短轴长为4，上顶点为，为坐标原点，点为的中点，双曲线：(，)的左､右焦点分别与椭圆的左､右顶点，重合，点是双曲线与椭圆在第一象限的交点，且，，三点共线，直线的斜率，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的短轴长为4得的坐标，的坐标
设的中点为连接得，，
直线的方程得的坐标，的坐标，求出双曲线的实轴长，
解得双曲线的离心率.
【详解】因为椭圆：()的短轴长为4，所以，.
设的中点为，连接，则，而，，
所以，得，所以直线的方程为，
与直线的方程联立，得解得
所以的坐标为，的坐标为，
又双曲线： 的左､右焦点分别为，，
所以根据双曲线的定义，
得双曲线的实轴长，
所以双曲线的离心率，
故选：D
【点睛】充分利用椭圆和双曲线的几何特征，特别是双曲线的左右焦点与椭圆的左右顶点重合.
结论拓展已知直线：与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则.
【变式12-1】4. （22·23下·南通·阶段练习）已知两点A，M在双曲的右支上，点A与点B关于原点对称，交y轴于点N，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设为AB的中点，设，，，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得a，b的关系，从而可求双曲线离心率.
【详解】
如图，不妨设A在第一象限，取BM的中点，连接OQ，
因为为AB的中点，故，
，，，，
B，M在双曲线上，则，两式相减可得，，
即，而，，
故，即，
又因为，则，即，
所以，即，所以，
又，则,
即，故，
所以，而，故,
故，则双曲线的离心率为，
根据双曲线的对称性可知，当A在第四象限时，同理可求得，
当A在双曲线的顶点时，由于，此时AM与双曲线相切，不合题意，
故双曲线的离心率为，
故选：D.
题型13角平分线相关
【例题13】（22·23下·山西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得，利用正弦定理结合角平分线可得，再根据双曲线的定义结合通径分析运算即可.
【详解】∵，则，可得，
分别在中，由正弦定理可得：
∵平分，可得，即，
且，
故，则，
所以，
又∵，则，
所以，整理得，
故，得，即，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
方法定睛：1.双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
【变式13-1】1. （22·23下·湖北·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.
【详解】
因为，所以∽，
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，，①
又由得，
所以，即是等边三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把①代入上式得，所以离心率为．
故选：A．
【变式13-1】2. （22·23高三·云南·阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上一点，直线与直线交于点，的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的6倍，则椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】利用垂直关系而得出，利用内角平分线定理.利用面积比值得出结论。
【详解】由题意知，，，，当时，.
由，得，.
又的角平分线与直线交于点，可知，所以.
，解得，椭圆的离心率是.
故答案为：.
【变式13-1】3. （2023·山东烟台·校考模拟预测）设椭圆的焦点为，点P是C与圆的交点，的平分线交于Q，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作图，根据几何关系以及椭圆的定义求解.
【详解】
依题意作上图，因为 是 的角平分线， ， ，
又P点在圆 的圆周上， ， 是直角三角形，
根据椭圆的定义有 ，
由勾股定理得： ，整理得： ，
即 解得 或 （舍）；
故选：D.
【变式13-1】4. （2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，．椭圆在第一象限存在点，使得，直线与轴交于点，且是的角平分线，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意和椭圆定义可得到，和，的关系式，再根据，可得到关于，的齐次式，进而可求得椭圆的离心率．
【详解】由题意得，
又由椭圆定义得，
记，
则，，
则，
所以，
故，
则，
则，即（负值已舍）．
故选：B．
题型14圆锥曲线与圆相关
【例题14】（2023·福建漳州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.
【详解】
设椭圆的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，
故其方程为：，
令，则，结合在轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，故直线.
设，
因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，故，
整理得到：，故，
故选：D.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建.
【变式14-1】1. （23·24高三上·福建福州·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M．若与C的焦距的比值为，则C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，
故其方程为：，
令，则，结合在轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，故直线.
设，
因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，故，
解得或，又因为，则，
则，.
故选：D.

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建.
【变式14-1】2. （2023·全国·二模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点.设的内切圆圆心为轴，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】利用M在渐近线和圆上，可得M坐标，利用M坐标结合可得直线方程，后利用韦达定理可得点P坐标，后利用可得答案.
【详解】设M，因M在渐近线上，则，又M在圆上，则，则.
又由题可得，则直线方程为：，
将其与双曲线方程联立，消去得：.
由题，其判别式大于0，设，由韦达定理，，
则，.
又，则，又，
则，.
即.
故选：B
【变式14-1】3. （22·23·马鞍山·三模）已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，进而可得，利用垂径定理求，结合面积运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
可得，整理得，
过点分别作的垂线，垂足分别为，
则为的中点，为的中点，则，
所以，
由题意可得：，
因为圆的半径为，
可得，
所以四边形的面积
，
可得，则，整理得，
所以的离心率.
故选：A.
【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
【变式14-1】4. （22·23上·全国·阶段练习）已知圆过双曲线的左、右焦点，，曲线与曲线在第一象限的交点为M，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】由题意可求得双曲线的焦点坐标，结合圆的几何性质推出，由双曲线定义结合题设可得，由余弦定理可得，即可求得a，则可得答案.
【详解】由，令 ，则 ，即，
故，，即有 ，
圆心为,半径为，
由于,故,
因为M为双曲线右支上一点，，
设，则 ，
故 ，
在中， ,
即，即，
故，
故双曲线离心率为，
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据题设条件可求得双故曲线的焦半距，因此要求离心率，就要求出a的值，因此关键点就在于要利用圆的几何性质推得，设,从而由余弦定理推出，再结合双曲线定义推得，即可求得a，则问题即可求解.
题型15内切圆相关
【例题15】（22·23高三下·江西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率.
【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图，
设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，
切点也在的角平分线上，所以，
由椭圆的定义知，则，
所以，
所以，
所以，
.
又圆与圆的面积之比为9，
所以圆与圆的半径之比为3，
因为，所以，
即，整理得，故椭圆的离心率.
故选：A.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
【变式15-1】1. （2023·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由题设知且求得，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与的切点的位置，进而求离心率.
【详解】由题设，又点与抛物线的焦点重合，即，
由，则，故，即，
如下图示，内切圆与△各边的切点为，
所以，又，
则，
所以为双曲线右顶点，又△的内切圆圆心的横坐标为4，即，
故，则，所以离心率为.
故选：B
【变式15-1】2. （22·23下·宁波·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率.
【详解】设，设圆与轴相切于点，
则，
又，，
所以，
所以，
即，
过点作直线的垂线，垂足为，
则，
所以，
所以，所以，
∴，
∴，
由三角形面积相等，得，
，
，
，
所以，
，即得.
故选：B.
.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
【变式15-1】3. （23·24高三上·云南昆明·期中）已知椭圆的两个焦点为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的内切圆半径，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】先根据倾斜角求出弦长，再根据内切圆半径公式求出的关系.
【详解】因为直线过左焦点且，所以设直线，
联立，得，易知，
所以，所以，
又因为，所以右焦点到直线的距离，
所以，
根据内切圆半径公式可得，其中为的周长为，
所以，解得，即
【变式15-1】4. （2023·山西·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，点是直线与轴的交点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率 ．
【答案】
【分析】设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，结合椭圆定义建立的关系求得.
【详解】
设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，，，
由对称性知，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
【变式15-1】5.（22·23·红河·一模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，若E上存在点P，满足，（O为坐标原点），且的内切圆的半径等于a，则E的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由可得，，再结合双曲线的定义可得，化简得，因为的内切圆的半径为a，所以，即，化简运算即可得E的离心率.
【详解】因为，所以，，
又因为P在双曲线上，所以，联立可得，
，所以，
因为的内切圆的半径为a，
所以，
即，即，
所以，两边平方得，
即，两边同时除以，得，，
因为，所以．
故答案为：.
【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．
题型16与立体几何相关
【例题16】（2023·安徽安庆·一模）.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.
【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，
点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，
椭圆长轴长，
过作于D，连，显然四边形为矩形，
又，
则，
过作交延长线于C，显然四边形为矩形，
椭圆焦距，
所以椭圆的离心率．
故选：A.
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
【变式16-1】1. （22·23高三下·河北衡水·阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可知锐角二面角，利用双曲线的定义与性质结合余弦定理运算求解.
【详解】设双曲线的半焦距为，
由题意可得：，
则，
且，则锐角二面角，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
因为，即，
可得，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值
【变式16-1】2. （2023·云南大理·模拟预测）某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为．图乙中线段卷后形成的圆弧（图甲），通过同学们的计算发现与之间满足关系式，现在另外一个纸板上画出曲线，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合题意，利用函数的周期，求出圆柱底面圆半径，继而求得椭圆短轴长，结合函数的最大值求得椭圆的长轴长，结合椭圆的离心率定义，即可求得答案.
【详解】函数的最小正周期为，
所以相应圆柱的底面圆的周长为，故其直径为4，
故根据题意可知该椭圆的短轴长为，即；
又的最大值为2，
故椭圆的长轴长为，故，
故椭圆的离心率为，
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题关键的关键在于根据题中所述，明确椭圆的长轴长和短轴长与已知函数之间的关系，进而求得长轴长和短轴长，从而求得答案.
【变式16-1】3. （2022·辽宁沈阳·一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为 .

【答案】
【分析】由题意如图所示，由球的半径可求得的值，进而可得的正弦值，所以可求出的值，即可以求出的值，由圆柱的底面半径可以求出的值，进而可以求出离心率.
【详解】如图所示：

由题意可得，所以，
又因为，结合可知
，
所以，而，即，
所以，所以离心率.
故答案为：.
【变式16-1】4. （22·23下·辽宁·阶段练习）如图所示圆锥，为母线的中点，点为底面圆心，为底面圆的直径，且，，的长度成等比数列，一个平面过，，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】令，由等比数列性质可得，进而确定圆锥轴截面为等腰直角三角形，并求出椭圆长轴长的长度，根据圆锥的结构特征找到椭圆短轴长，最后应用椭圆离心率定义求离心率.
【详解】令，则，又，，的长度成等比数列，
所以，即，
由题意，显然，在直角△中，则，
所以△为等腰直角三角形，故圆锥轴截面为等腰直角三角形且，
所以，即椭圆长轴长，则，
轴截面如下图示：该椭圆的短轴与圆锥底面平行，过作交于，交于，则，
为中点，所以为中点，即为椭圆中心，
过作交于，
综上，有△△均为等腰直角三角形，故，则，
同理△△，故，则，
所以，即，
综上，椭圆离心率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：注意短轴长为过长轴长中点平行于轴截面底边并与母线相交所成的线段长度.
【变式16-1】5.（多选）（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆
B．
C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
【答案】BC
【分析】由截口曲线的含义可判断A；过N作于点G，求出而， ，即可判断B；根据图形的几何性质求得椭圆的之间的关系式，即可求得离心率，可判断C，D.
【详解】由截口曲线知，当时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A错.
对于B，过N作于点G，而，

所以，而，
同理过N向作垂线，可得，
，B正确；
对于C，D，设圆锥上部球与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆，半径为r，
球与的切点为椭圆左焦点F，
设①，
，
,
解得，而，
故，故C正确，D错误，
故选：BC
【点睛】难点点睛：求解椭圆的离心率时，要能根据图示求得之间的关系，这是解答的难点，也是关键之处，因此通过设，结合图形的几何性质，得到，，即可求解.
题型17二级结论之切线方程
【例题17】（2023·重庆·模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意利用导数的几何意义求切线方程，进而可求得点，再结合双曲线的方程和定义求，利用余弦定理列式求解即可.
【详解】因为点A在第一象限，由，可得，
则，
点在双曲线上，则，即，
可得，
可得在点处的切线方程为，
令，解得，
又因为，则，
所以，
即点，
设双曲线C的半焦距为，则，，
因为，则，整理得，
则，
可得，
且点为双曲线C在第一象限的右支上一点，则，
可得，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以双曲线C的离心率.
故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来
【变式17-1】1. （22·23高三上·全国·阶段练习）已知双曲线：上的一点（异于顶点），过点作双曲线的一条切线.若双曲线的离心率，为坐标原点，则直线与的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】表示出点的坐标，分别用坐标和a、b、c表示出直线与的斜率，最后计算出斜率的积即可.
【详解】由双曲线的离心率，得，
所以，得，设，可得双曲线在点M处的切线l为，所以l的切线方程为
直线l的斜率，又，所以
故选：A
【点睛】结论点睛：
若二次曲线方程为：
设过二次曲线的切线切点为，则二次曲线切线方程或切点连线方程为：
证明（仅供参考，结论考生可直接使用）：
对方程两边同时关于x求导数，得到：
，整理以后，即得到：
，根据导数的几何意义，曲线经过处切线的斜率k应满足关系式，
因此，所求切线方程，可转化为
化简并整理，得
用因为，因此上式可化简为：
即，证毕.
【变式17-1】2. （2022·全国·统考二模）已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出切线方程，与椭圆方程联立后利用根的判别式求出，求出切线方程，从而得到M点坐标，再联立渐近线得到N，Q的横坐标，利用中点得到方程，求出，从而求出离心率.
【详解】由题意得：渐近线方程为，
设切线方程为，联立得：
，
由得：，
解得：，
所以切线方程为，
令得：，所以，
联立与，解得：，
联立与，解得：，
因为N为MQ的中点，
所以，
解得：，
所以离心率为
故选：A
【变式17-1】3. （2017·江苏南通·校联考一模）已知椭圆 的离心率为，右焦点为，点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【分析】根据离心率化简椭圆方程，由两点间距离公式与勾股定理计算的周长后求解
【详解】
椭圆的离心率为 ,则，椭圆方程为
设，
连接OM，OP，由相切条件知：
，，
，同理得，
由题意得PF2Q的周长为
∴椭圆C的方程为 .
故答案为：
【变式17-1】4. （2019下·浙江·高三校联考阶段练习）已知，是焦距为2的椭圆的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，过点P作椭圆C的切线l，若，到切线l的距离之积为4，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【分析】设，求得过点P的椭切线方程，根据到切线的距离之积为4，列出方程求得，再结合，利用离心率的公式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，则，
设，则，
则经过点P的椭圆的切线方程为，即，
因为到切线的距离之积为4，
所以，
所以且，解得，
又因为，即，所以，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
题型18正切公式的运用
【例题18】（2022·山东潍坊·统考三模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点，若△是等腰三角形，且的内角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设可得，，，应用两点距离公式求，，再由已知条件知，应用二倍角正切公式求得，结合构造齐次方程，即可求离心率.
【详解】联立且在第一象限，可得，而，，
所以，，
由题设，，故△是等腰直角三角形，
所以，而的内角平分线与轴平行，
所以，又，可得，
则，可得，
所以.
故选：B
【变式18-1】1. （2022·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C；的焦距为2c，过C的右焦点F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，，得到，，在Rt△AOB中，，用正切的二倍角公式列出方程，求出，从而求出离心率.
【详解】因为，画出示意图如图，设，因为sin∠AFO，
所以，
所以，
所以.
又，
所以，
所以，
所以.
又因为，
所以.
在Rt△AOB中，，
所以，
化简得：，
所以
故选：D
【点睛】圆锥曲线离心率问题，要能结合题目信息列出关于的齐次方程，求解出离心率，往往会和直线方程，向量等知识相结合.
【变式18-1】2. （2022·江西景德镇·统考模拟预测）点F是双曲线的左焦点，斜率为的直线l过点F且与双曲线C的右支交于点P，过切点P的切线与x轴交于点M.若，则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件列出关于的齐次方程，化简求出离心率
【详解】
如上图所示，过作轴，设，则，根据题意得：，所以，即，设点坐标为，
点处的切线方程为：，联立，令可得：，化简得点处的切线方程为，斜率，，
所以 ，由①②得：，，且，代入③化简得：，同除得：，所以或（舍）所以
故选：A
【变式18-1】3. （22·23下·辽宁·一模）过双曲线焦点的直线与的两条渐近线的交点分分别为M、N，当时，.则的离心率为 .
【答案】
【分析】依题意，垂直于渐近线，结合图形在直角三角形利用三角函数构造齐次式求的离心率.
【详解】解法1：双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，
因为，所以垂直于渐近线，如图所示，
则，，，所以的离心率.
因为，所以，.
过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，在直角中，.
因为，因为，所以.
因此的离心率为.
解法2：因为，所以垂直于渐近线，则，，
因为，所以，
在中，，在中，，
，
，可得，则有，即，
所以C的离心率.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：由焦点到渐近线的距离为，可得垂直于渐近线，这是本题的着手点，数形结合在直角三角形中利用三角函数构造齐次式可求的离心率.
【变式18-1】4. （2021上·河南·高三校联考阶段练习）已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线，的倾斜角分别为，， ，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率.
【详解】由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.
，
，
当且仅当，即时取等号，又得最大值为，
，即，整理得，故椭圆的的离心率是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：设点M坐标及，的倾斜角，由与直线，的倾斜角的数量关系，结合差角正切公式及基本不等式求关于椭圆参数的表达式，进而确定椭圆参数的数量关系.
题型19圆锥曲与内心结合
【例题19】（23·24上·南宁·期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线上，且满足.若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断出是的角平分线，然后结合三角形的内心、重心以及双曲线的定义等知识求得双曲线的离心率.
【详解】因为，所以PH是的角平分线，
又因为点H在直线上，且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，
设的内切圆与轴的切点为，
根据三角形内切圆的知识可知，则是双曲线的右顶点，
所以的内切圆圆心在直线，即点H是的内心，（下部分也可以直接利用奔驰定理得出结论）
如图，作出，并分别延长HP、、至点，使得
，可知H为的重心，
设，由重心性质可得，
即，
又H为的内心，所以，因为，
则，所以双曲线C的离心率.
故选：C
【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，解题有两个方向，一个是求得，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得的关系式或的关系式，然后转化成离心率.
【变式19-1】1. （2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由，的平分线与直线PQ垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.
【详解】依题意，由，
得，即的平分线与直线PQ垂直，
如图，设的平分线与直线PQ交于点D，
则，，又，
所以，所以，．
由题得，，设，，，
在中，，，则，，
由双曲线的性质可得，解得，
则，所以在中，，
又，，所以，
即，整理得，所以．
故答案为：
【变式19-1】2. （2023·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为 ．
【答案】4
【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可.
【详解】如图所示，在焦点三角形中， 处长交于点，
因为为的内心，（直接用奔驰定理推出比例即可）所以有，
，
因为，
所以有，
因此的离心率为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键.
【变式19-1】3. （21·22·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为
【答案】
【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出，再表示出，根据双曲线离心率的定义求解即可.
【详解】设直线交轴于点，如图，
设的外接圆半径为，由，
有，
故，所以直线过的内心，
设的内切圆圆心为，内切圆圆分别切、、于点、、，
由切线长定理可得，，，
所以，，
结合图形可得，所以，，
故的内心的横坐标为，
因为点在直线上，所以点为的内心.
由可得，
所以，，记，
设，则，所以，，
所以，点在直线上，又因为，故点与点重合，
且有，
由角平分线的性质可知点到直线、的距离相等，
故，同理可得，
令，则，且，
故.
则双曲线的离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点为的内心，再结合角平分线定理推导出，以及，再利用双曲线的定义来进行求解.
【变式19-1】4. （2022上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点C是双曲线右支上异于顶点的点，点D在直线上，且满足，．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据得在的角平分线上，进而根据双曲线的定义以及切线长性质可判断为的内心，结合重心的向量表示以及重心的性质，即可得，进而由离心率公式即可求解.
【详解】由于点D在直线上，且满足，可知在的角平分线上，
设的内切圆分别与边相切于点,（如图1）则有切线长定理可得,
结合双曲线的定义可得,所以的内心在直线上，故为的内心，
由得, 由于是的中点,所以,
因此,
分别延长至,使得,如图2
故，因此是的重心，
设由是的重心，所以，
又 ，同理即，故
由于为的内心，故到三条边的距离相等，可得,
因此为直角三角形，所以，
因此离心率,
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，以及三角形内心，重心的性质，综合性较强.对于离心率问题，要充分挖掘几何性质和图形中体现的等量关系，建立出的关系系，从而求解离心率.
【变式19-1】5.（2021·四川成都·校联考三模）已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.
【详解】因为，所以是的角平分线，
又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，
则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，
如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，
，，可知为的重心，
设，，，由重心性质可得，
即，
又为的内心，所以，
因为，所以，，则，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：
设的角，，所对边分别为，，，则
（1）的重心满足；
（2）的内心满足；
（3）的外心满足.
1. （2023·辽宁·三模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
2. （22·23·南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D
3. （2023·辽宁丹东·一模）经过坐标原点O的直线与椭圆C：相交于A，B两点，过A垂直于AB的直线与C交于点D，直线DB与y轴相交于点E，若，则C的离心率为 ．
【答案】/
【分析】设直线BD的方程为，与椭圆方程联立，由求得点B的纵坐标，进而利用韦达定理得到其横坐标，从而得到点D的坐标，然后根据，由化简求解.
【详解】解：设直线BD的方程为，，
则，
由，得，
显然存在，使得，
故由韦达定理得，
因为，则，即，
则，
因为，
所以，即，
即，化简得，
所以，
故答案为：.
4. （2023·四川凉山·一模）如图，已知椭圆，．若由椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向椭圆引切线和，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率 ．
【答案】
【分析】设切线，，联立椭圆方程根据判别式为零结合条件可得，然后根据离心率公式即得.
【详解】由题可知，，
设切线，，
由，可得，
所以，
整理可得，
由，可得，
所以，
整理可得，
又两切线斜率之积等于，
所以，即，
所以，又，
所以 .
故答案为：.
5. （2022·新疆·统考模拟预测）如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，
以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.
【详解】设 ，则 ，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，
连接 ，则有 ，

由于 在以AD为直径的圆周上， ，
∵ABCD为平行四边形， ， ，
在直角三角形 中，， ，
解得： ， ；
在直角三角形 中， ， ，
得 ， ，
故选：D.
6. （多选）（2023·广东汕头·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A．最大时，B．的最小值为2
C．椭圆的离心率等于D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，再根据，代入进而即可求解；
对于B，根据，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；
对于C，运用角平分线定理即可求解；
对于D，由正弦定理可得，再又结合A可得，从而得到，再根据题意得到，进而即可求解．
【详解】对于A，设，，则，且，
所以，
则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，
又，
所以当最大时，，即，故A正确；
对于B，过点作，垂足为点G，
又点为外接圆的圆心，即为三条边的中垂线的交点，则点G为的中点，
由，
又，同理，
所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B正确；
对于C，由内切圆的圆心为，则，分别是，的角平分线，
则由角平分线定理可得，即，故C错误；
对于D，设，，，
由正弦定理可得，即，
则，即，
因为，
又结合A有，所以，即，所以，
又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，
所以，即，所以，
故，故D正确．
故选：ABD．

【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．
7.（多选）（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，过双曲线右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于两点，交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点，使得，且，则双曲线的离心率为2或
【答案】AB
【分析】对于A,先证明双曲线上一点的切线方程为，与双曲线的渐近线进行联立，可得坐标，可得到，结合即可判断；对于B，由A选项可得点是线段的中点，即可判断；对于C，由即可判断；对于D，通过可得，则能算出，结合余弦定理即可求解
【详解】对于选项，先求双曲线上一点的切线方程，
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由得：，所以，
则在点的切线斜率为，
所以在点的切线方程为：，
又因为，所以在点的切线方程为：，
当为右顶点时，切线方程为，易得也满足，
不失一般性，设点是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为，
联立，
所以点，同理可得：，
则，
又因为，所以，即：，故A项正确；
对于选项B，由A项知，，
所以点是线段的中点，所以，故B项正确；
对于选项，因为在点的切线方程为：，
令得，所以点，
则，
当点在顶点时，仍然满足，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
又因为，所以，解得：，
即：，代入得，
所以
，
，
因为，所以，
所以，
解得：或6，所以离心率为或，故D项错误.
故选：AB
【点睛】结论点睛：双曲线上一点的切线方程为，对椭圆、抛物线也有类似结论．
8.（多选）（2023·湖南·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．双曲线的离心率为
C．的面积为D．直线的斜率为
【答案】AD
【分析】利用双曲线的定义求出、，可判断A选项；在中，应用余弦定理可得出关于、的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法求出直线的斜率，可判断D选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，因为，所以，，
由双曲线的定义可得，所以，，A对；
对于B选项，设直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为锐角且，
由可得，则，
在中，由余弦定理得，
即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得，B错；
对于C选项，因为，则为钝角，
所以，，
，C错；
对于D选项，设，，则，可得，
因为，则，
由得，
所以，，则，
则直线的斜率为，D正确．
故选：AD．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
9.（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以 ，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
10.（多选）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
11. （2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以 ，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
12. （2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
13. （2020·全国·统考高考真题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
14. （2021·浙江·统考高考真题）已知椭圆，焦点， ，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
椭圆与双曲线的离心率公式为：e=注意椭圆的离心率范围（0,1），双曲线的离心率范围（1，+♾）
椭圆与双曲线的半通径是, 通径是
双曲线的渐近线求离心率可以直接使用公式：，
相对运算较麻烦的一种方法，可以通过联立方程，求出点的坐标，构造等式求出离心率
1.点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,，k为直线AB的斜率，且，则e=
当曲线焦点在y轴上时，e=
注：或者 ,而不是或者点F是双曲线焦点，
2.过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,，k为直线AB斜率，且，则e=
当曲线焦点在y轴上时，e=
1. 已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率
2. 已知双曲线方程为两焦点分别为设焦点三角形，则 ，
可以通过焦点三角形的特征进行解决
1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆（或双曲线）方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆（或双曲线）方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点M(x0，y0)是线段AB的中点，由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，变形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，(，)
椭圆或者双曲线，已知中点时，当椭圆或双曲线的焦点在x轴，
2.为椭圆上一点， 为离心率，
①为两个顶点，则；
②为关于原点对称的两点，则；
以上结论也适用于双曲线.
1.角平分线“拆”面积：
2.角平分线定理性质：
圆锥曲线切线方程的常用结论
【结论1】（1）经过圆上一点的切线方程为．
（2）当在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为．
【结论2】（1）若圆心不在原点，圆的方程：，若为圆上一点，则过切线方程：
（2）若在圆外，过M点切线有两条：切点弦所在直线方程：
方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．
【结论3】（1）过圆上一点切线方程为；
（2）当在椭圆的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为．
（3）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为，．由（1）可知过两点的切线方程分别为：，．又因是两条切线的交点，∴有，．观察以上两个等式，发现，满足直线，∴过两切点两点的直线方程为．
同理可得焦点在轴上的情形．
【结论4】（1）过圆上一点切线方程为；
（2）当在椭圆的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为．
【结论5】（1）过双曲线上一点处的切线方程为；
（2）当在双曲线的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：．
（3）设过双曲线外一点引两条切线，切点分别为、．由（1）可知过两点的切线方程分别为：．又因是两条切线的交点，∴有．观察以上两个等式，发现，满足直线，∴过两切点两点的直线方程为．
同理可得焦点在轴上的情形．
【结论6】（1）过双曲线上一点处的切线方程为；
（2）当在双曲线的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：．