新高考数学三轮冲刺提升练习专题03 小题中函数的单调性、奇偶性和对称性的应用（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc133435357" 类型一：利用函数的奇偶性求参数值 PAGEREF _Tc133435357 \h 1
\l "_Tc133435358" 类型二：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式 PAGEREF _Tc133435358 \h 2
\l "_Tc133435359" 类型三：函数的单调性、奇偶性和周期性的综合应用 PAGEREF _Tc133435359 \h 4
\l "_Tc133435360" 类型四：利用函数的周期性求函数值 PAGEREF _Tc133435360 \h 6
类型一：利用函数的奇偶性求参数值
典型例题：已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
【答案】-2
试题分析：根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
详细解答：函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为.
故答案为：
题型专练：
1．若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解即可.
【详解】由题意得，解得，
则的定义域为，又为奇函数，
所以，可得，
当时，，
其定义域为，
，所以是奇函数，
故.
故选：A.
2．若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解.
【详解】若是奇函数，可得，
则
，
可得，解得，所以.
故选：A.
3．“ ”是“函数为偶函数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分必有条件的定义求解.
【详解】若 ，则 ，是偶函数；
若 是偶函数，对于任意的x，有 ，即 ，
， ，不能推出 ，
所以“ ”是“是偶函数 ”的充分不必有条件；
故选：A.
4．若为奇函数，则的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．-1或1
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义，取特殊情况 ，可以快速求解出的值.
【详解】由题得： ，故.
故选:A.
5．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．8
【答案】A
【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算.
【详解】若函数为偶函数，则，
即，可得，
整理得，故，解得，
∴.
若正实数a、b满足，即，可得，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为.
故选：A.
6．已知是奇函数，则实数__________．
【答案】2
【分析】利用奇函数的定义代入函数式，化简即可求出所要的值.
【详解】由题意得，所以，解得．
7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为.
故答案为：
8．若奇函数，则__________．
【答案】6
【分析】根据函数为奇函数，求得a的值，再代入求值即得答案.
【详解】依题意为奇函数，
,即，
可得，即，故，
则，
故答案为：6
类型二：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式
典型例题：已知是定义在上的奇函数，，若，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
试题分析：
根据给定条件，确定函数的单调性，再变形不等式，利用单调性分段求解作答.
详细解答：
因为，且满足，则在上单调递增，
因为是定义在R上的奇函数，且，则，在上单调递增，
由，得，
当时，由，得，当时，由，得，
所以原不等式的解集为.
故选：A
题型专练：
9．设函数在R上存在导数，是偶函数，在上.若，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得在上单调递增，在上单调递减，将不等式等价转化为，利用函数的单调性和奇偶性得到，解之即可.
【详解】在上有，，
故在上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，
由得
，
即，，
即，解得.
故选：A.
10．已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，
故当时，，所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得.
故选：B.
11．已知是定义在上的奇函数，，若，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再变形不等式，利用单调性分段求解作答.
【详解】因为，且满足，则在上单调递增，
因为是定义在R上的奇函数，且，则，在上单调递增，
由，得，
当时，由，得，当时，由，得，
所以原不等式的解集为.
故选：A
12．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质及条件，得到的单调性，再结合函数的对称性、和即可求出结果.
【详解】因为函数是奇函数，且在上单调递增，所以函数在上也单调递增，
又因为，所以，不等式等价于或，
即或，得到．
故选：D．
13．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性及单调性可得函数的正负情况，进而可解不等式.
【详解】因为函数是奇函数，且在上单调递增，
所以函数在上也单调递增，
又因为，所以，
不等式等价于或，
所以或，
故选：B.
14．已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过条件，利用定义法证明抽象函数的单调性，通过赋值，求得和，再利用奇偶性和单调生即可求出结果.
【详解】令，则，即，
令，，则，又，则，
不妨取任意正数，
，
因为，所以，即，所以在区间上单调递增，
又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，
令，则，
令，，则，
∴，
又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，
故选：B.
15．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数讨论单调性，结合函数的偶函数性质解抽象不等式.
【详解】构造函数，
，
所以函数在单调递增，
因为函数为偶函数，所以函数也为偶函数，
且函数在单调递增，所以函数在单调递减，
因为，所以，
关于x的不等式可变为，也即，
所以，则解得或，
故选:C.
16．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减
所以在上为增函数，
由，得，
，当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
17．已知函数满足：对于任意，且，不等式恒成立．若是奇函数，且，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题目条件构造函数，然后结合函数的奇偶性和单调性，逐步转化，即可求得不等式的解集.
【详解】因为对于任意的，且，都有，
不妨设，则，即，
所以在上单调递减，
又是定义域为的奇函数，所以，则，
因为，所以，即，
因为在上单调递减，
所以，即不等式的解集为，故实数a的取值范围为.
故答案为：
类型三：函数的单调性、奇偶性和周期性的综合应用
典型例题：已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
试题分析：根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解.
详细解答：根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解.
【详解】依题意，因为为定义在为偶函数，所以，所以，
所以为奇函数且，因为，，
令，则有，解得.
因为，所以，
又，所以，
由得，
所以是以4为周期的周期函数，所以，
所以，故A，B，C错误.
故选：D.
题型专练：
18．定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】A
【分析】由和为偶函数，可知的周期为4，且的图象关于直线对称，利用函数的周期性和对称性将条件进行转化即可得出答案.
【详解】因为，所以的周期为4．
又为偶函数，所以的图象关于直线对称，
则．
故选：A.
19．已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，若则（ ）
A．10B．-10C．D．-
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性与对称性得函数的周期，再根据已知区间内的解析式求得的值，最后利用周期性即可求得的值.
【详解】由为奇函数可得：，即①，则关于点对称，令，则；
由②，得的图象关于直线对称；
由①②可得：，即，所以，故，所以函数的周期；
所以，即，
联立，解得，故.所以.
故选：A.
20．已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．5B．4C．3D．0
【答案】C
【分析】依题意可得，结合已知可得，即为偶函数，进而得到，即的周期为，再根据所给条件计算可得.
【详解】∵的图象关于直线对称，∴，
由知，，，
∴，即，∴是偶函数，
∴，即，
由知，，即，
∴，∴，
所以，从而，即，
所以的周期为，
∵，∴，
∵，∴，即，
，
故选：C．
21．定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】B
【分析】先求出函数的周期，再根据对称性求解.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，
又，所以，则 ，即是以4为周期的周期函数，
；
故选:B.
22．已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【分析】根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解.
【详解】依题意，因为为定义在为偶函数，所以，所以，
所以为奇函数且，因为，，
令，则有，解得.
因为，所以，
又，所以，
由得，
所以是以4为周期的周期函数，所以，
所以，故A，B，C错误.
故选：D.
23．已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（ ）
A．0B．3C．4D．1
【答案】D
【分析】根据题设知关于、对称且，即可求，再由已知有关于、对称，求，即可得解.
【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且，
所以关于对称，关于对称，且，
又，即，则关于对称，
综上，，，则，
所以，而，故，
又，则关于对称，即，
所以，则，
所以.
故选：D
24．已知定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为2B．为偶函数
C．D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性对称性与周期性得概念直接判断各选项.
【详解】由，得，由，得，
所以，即的周期为，A选项错误；
由可知的图象关于点对称，所以，C选项正确，
由知的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，
进一步可知图象的对称轴方程为（为奇数），所以不是偶函数，B选项错误；
的对称中心为点（为偶数），无法得到，D选项错误，
故选：C.
25．函数与的定义域为，且.若的图像关于点对称.则（ ）
A．的图像关于直线对称B．
C．的一个周期为4D．的图像关于点对称
【答案】AC
【分析】根据条件可得，即可判断A，然后可得，即可判断B，由条件可得，即可判断C，举特例可判断D.
【详解】A选项：由，得，又，
所以的图像关于对称，A选项正确；
B选项：由的图像关于点对称，得，由选项结论知，
所以，从而，故，
即的一个周期为4，
因为，
所以B选项错误；
C选项：由，及，
则，得，函数的周期为C选项正确；
D选项：取，又，
与的图像关于点对称矛盾，D选项错误，
故选：AC.
26．已知函数的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．方程在区间上的所有实根之和为144
【答案】AC
【分析】利用对称性证明选项A正确；利用函数的周期得到，即可判断选项B；利用周期性证明，即可判断选项C；在同一坐标系内作出与在上的大致图象，利用周期性和等差数列求解，即可判断选项D.
【详解】因为为偶函数，所以，即，
又，
可得，
故的图象关于点对称，故A正确；
，
故是以4为周期的周期函数，
根据题意，，
故，故B错误；
，其中，
故，故C正确；
是周期函数，最小正周期是8，由得其对称轴为，显然与的图象有公共的对称轴，
方程的实根是与的图象的公共点的横坐标，
在同一坐标系内作出与在上的大致图象，如图，
可知，所以，
由图易知在上的三个零点之和构成首项为4，公差为24的等差数列，
故在区间上的所有实根之和为，故D错误．
故选：AC
【点睛】方法点睛：零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（作出函数的图象分析判断）；（3）方程+图象法（令得到，分析两函数图象即得解）.要根据已知灵活选择方法求解.
27．已知函数及其导函数的定义域均为．，，当时，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．为偶函数
C．
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据可判断A,求导即可根据判断B，由为偶函数以及对称可判断C，根据函数的性质画出大致图象，即可由时，求解D.
【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，
由得，由得，故为偶函数，故B正确，
由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，
由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，
又当时，，可知在单调递减
故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：
由性质结合图可知：当时，，
由得，故 ，
当且时，此时无解，
当时，，解得 ，
当且时，由得
综上可得的解集为，故D正确，
故选：BCD
【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，题目综合性较高，要对函数基本性质比较熟练，可根据性质利用图象求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
28．已知是定义在上的函数，，且满足为奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ）
A．B．的周期为2
C．的图象关于点中心对称D．
【答案】ACD
【分析】由为奇函数可得，取可求，判断A，举反例判断B，由奇函数的性质结合图象变换判断C，由条件判断其周期，结合周期性性质判断D.
【详解】因为为奇函数，
所以，
所以，
所以，A正确；
因为当时，，
所以，
因为，
所以，故，
所以2不是的周期，
故B错误；
因为为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
所以的图象关于点中心对称，C正确；
由，，
可得，
所以，
所以函数为周期函数，周期为，
所以，
又当时，，
所以，D正确；
故选：ACD.
29．已知函数满足：则下列判断正确的是（ ）
A．为奇函数
B．是周期函数且最小正周期为6
C．
D．的图象关于直线对称
【答案】BD
【分析】根据赋值法可得判断A，令可得，变换后根据判断B，分别求出，利用周期求判断C，根据函数为偶函数及周期函数判断D.
【详解】令，则，即，故不是奇函数，故A错误；
令，则有，所以，
，即，
故，两式相减可得，故是周期函数且最小正周期为6，故B正确；
，，，即，由，可得，再由，可得，而，故C错误；
令，则，又，
所以，即函数为偶函数，由可得，
又函数为偶函数，所以，即，
所以函数图象关于直线对称，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：首先根据，灵活的对赋值，是解决此类问题的关键，其次注意函数周期性的定义，函数图象对称关于对称的条件都是解决此问题的关键.
30．定义在上的函数满足，，若，其中为正整数，则（ ）
A．2是的一个周期B．
C．的图象关于对称D．
【答案】BCD
【分析】根据题意推得，即，可判定A不正确；令，求得，推得，可判定C正确；根据，可判定B正确；由函数的对称性与周期性求得，结合函数是以为周期的周期函数，可判定D正确．
【详解】因为，，所以，
所以，即，
所以是周期为4的周期函数，所以A不正确；
在中，令，得，则，
因为，所以的图象关于直线对称，所以C正确；
因为，所以，
所以，所以B正确；
由函数的对称性与周期性可得，
因为，即，
所以，
则，
结合函数是以为周期的周期函数，可得，所以D正确．
故选：BCD.
31．已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则_________.
【答案】
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，计算出的值，结合以及周期性可求得的值.
【详解】因为为奇函数，则，
所以，，
在等式中，令，可得，解得，
又因为，则，①
所以，，②
由①②可得，即，
所以，函数为周期函数，且该函数的周期为，
所以，.
故答案为：.
类型四：利用函数的周期性求函数值
典型例题：已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）
A．3B．2C．0D．50
【答案】C
试题分析：根据奇函数的性质得到和，再结合函数对称性得到，赋值求出、；推导出函数的周期为4，即可求解.
详细解答：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，且，
又的图象关于对称，则，
即①，则，，
在①中，令，得，
则，所以函数的周期为，即，
则有，
所以
，
故选：C.
题型专练：
32．设是定义域为的偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用条件和偶函数的性质，得出函数的周期为2，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为是定义域为的偶函数，所
所以的周期为2，
所以．
故选：B.
33．已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为，所以，所以的周期为6，
又为奇函数，所以，所以，
令，得，所以,
所以，
故选：C.
34．已知定义在R上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和将化到上即可求解.
【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以函数的周期为4，
所以，
因为，所以.
故选：C.
35．已知是周期为的奇函数，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的周期性和奇偶性计算即可.
【详解】是周期为的奇函数，
.
故选：D
36．已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）
A．3B．2C．0D．50
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质得到和，再结合函数对称性得到，赋值求出、；推导出函数的周期为4，即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，且，
又的图象关于对称，则，
即①，则，，
在①中，令，得，
则，所以函数的周期为，即，
则有，
所以
，
故选：C.
37．定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．的一个周期为3
C．在上单调递增D．
【答案】ABD
【分析】给x赋值可求得的值可判断A项，运用函数周期性定义可判断B项，求得当时，的解析式进而判断其单调性可判断C项，运用周期性求值即可判断D项.
【详解】对于A项，因为当时，，
所以，
又因为，
所以令，则，
所以，故A项正确；
对于B项，根据得，
所以，
所以，所以该函数的一个周期为3，故B项正确；
对于C项，因为，
所以，
当时，则，
又因为当时，，
所以，
所以，，
又因为在上单调递减，
所以由单调性性质可得在上单调递减，故C项错误；
对于D项，由A项知，，，
因为，
所以令得，解得：，
由B项可得，
所以，
又因为，
所以结合周期性可得，故D项正确．
故选：ABD.
38．已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ）
A．B．是偶函数
C．关于中心对称D．
【答案】BC
【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.
【详解】令，则或，故A错误，
若时，令，则，此时是偶函数，若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，
令，则，所以关于中心对称，故C正确，
由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，
令，则，故，
进而，而，由A选项知或，所以或，故D错误.
故选：BC
39．是以2为周期的函数，若时，，则________．
【答案】
【分析】直接根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为是以2为周期的函数，若时，，
所以.
故答案为：.
40．已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则___________.
【答案】
【分析】根据奇偶性得到函数的周期性，再求出、、、，最后根据周期性计算即可.
【详解】由于是奇函数，函数图象关于原点对称，
所以关于对称，，
所以，
因为是偶函数，
所以，
所以，所以，
所以，
所以是周期为的周期函数，
又，，，
，，
所以，
所以
.
故答案为：.
41．已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则________.
【答案】
【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，求出、、、，结合周期性可求得的值.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，
因为，即，
所以，函数为周期函数，且周期为，则，
在等式中，令，可得，所以，，
因为，则，
因为，
所以，
.
故答案为：.