新高考数学三轮冲刺提升练习专题09 利用导数研究隐零点和极值点偏移问题（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc133325120" 类型一：先同构，构造相同的函数，比较不同的函数值 PAGEREF _Tc133325120 \h 1
\l "_Tc133325121" 类型二：构造不同的函数判断相同的函数值 PAGEREF _Tc133325121 \h 2
\l "_Tc133325122" 类型三：用放缩法比较大小 PAGEREF _Tc133325122 \h 4
满分策略：
1.依据函数式的结构特征和函数单调性，大胆试根，再由单调性说明此根的唯一性；
2.先虚设零点，设而不求，通过形式化的变量代换或推理，达到花间并求解的目的；
3.多次求导，合理变形，直至能够求解。
类型一：极值点偏移问题
典型例题：
【例1】．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
试题分析：
(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
详细解答：
(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
【例2】．（2022·天津·统考二模）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)答案见解析
(3)证明见解析
试题分析：
（1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间；
（2）由（1）得，，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数；
（3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得证；
详细解答：
（1）
解：因为，
所以．
即，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
（2）
解：由（1）得，．
当时，，则在上无零点．
当时，，则在上有一个零点．
当时，，因为，，，
所以，，，
故在上有两个零点．
综上，当时，在上无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点．
（3）
证明：由（2）及有两个极值点，且，
可得， 在上有两个零点，且．
所以，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，
故．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
题型专练：
1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．
2．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知函数.
(1)设函数，若恒成立，求的最小值；
(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.
3．（2023春·重庆南岸·高二重庆第二外国语学校校考期中）已知函数．
(1)若在单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．
4．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数，为的导函数．
(1)当时，若在[上的最大值为，求；
(2)已知是函数f（x）的两个极值点，且，若不等式恒成立，求正数m的取值范围．
5．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知函数
(1)若，求不等式的解集；
(2)若存在两个不同的零点，，证明：.
6．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知.
(1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；
(2)若，设，证明：
①存在，使得成立；
②.
7．（2023春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若存在两个不同的零点，且.求证：.
8．（2023·四川遂宁·统考二模）已知函数有两个极值点、.
(1)求的取值范围；
(2)若时，不等式恒成立，求的最小值.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.
10．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数．
(1)若，求方程的解；
(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．
11．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若是的两个不相等的零点，证明：.
12．（2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）已知函数， 其中为实数，为自然对数底数，．
(1)已知函数，，求实数取值的集合；
(2)已知函数有两个不同极值点、．
①求实数的取值范围；
②证明：．
类型二：隐零点问题
满分策略：
1.比值代换法，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，花间后根据结构特点构造函数，再借助导数，从而求出其最值；
2.构造关联函数求解。
典型例题：（2022春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期中）已知函数，且函数与有相同的极值点.
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.
【答案】B
试题分析：
通过构造函数，分别比较和，和与和的大小，即可得出a，b，c的大小关系.
详细解答：
故选：B.
题型专练：
13．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知.
(1)若在处的切线的斜率是，求当在恒成立时的m的取值范围；
(2)当时，关于x的方程，有唯一根，求t的取值范围.
14．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求a的取值范围.
15．（内蒙古赤峰市2023学年高三二模数学理科试题）已知函数.
(1)在当时，分别求和过点的切线方程；
(2)若，求的取值范围.
16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，，证明：．
18．（2023秋·四川乐山·高三校考阶段练习）已知函数
(1)若，求的单调性
(2)若，求证：当时，.
(3)若，求证：当时，.
19．（2023·全国·高三专题练习）函数，其中，，为实常数
(1)若时，讨论函数的单调性；
(2)若，当时，证明：.
20．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）设函数．（其中为自然对数的底数）
(1)若，求在处的切线方程；
(2)证明：，当时，．