新高考数学三轮冲刺提升练习专题14 数列的五种求和方法和数列不等式问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学三轮冲刺提升练习专题14 数列的五种求和方法和数列不等式问题（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学三轮冲刺提升练习专题14数列的五种求和方法和数列不等式问题原卷版doc、新高考数学三轮冲刺提升练习专题14数列的五种求和方法和数列不等式问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc134171158" 类型一：倒序相加法求和 PAGEREF _Tc134171158 \h 1
\l "_Tc134171159" 类型二：错位相加法求和 PAGEREF _Tc134171159 \h 3
\l "_Tc134171160" 类型三：裂项相消法求和 PAGEREF _Tc134171160 \h 6
\l "_Tc134171161" 类型四：分组法求和 PAGEREF _Tc134171161 \h 9
\l "_Tc134171162" 类型五：数列的其他求和方法 PAGEREF _Tc134171162 \h 11
\l "_Tc134171163" 类型六：数列不等式问题 PAGEREF _Tc134171163 \h 14
类型一：倒序相加法求和
典型例题：设函数，设，．求数列的通项公式．
【答案】
试题分析：通过，将已知倒序相加得出的式子，注意是否满足即可.
详细解答：；
时，，
，
相加得 ，
所以，又，
所以对一切正整数，有；
题型专练：
多选题
1．（2023·山西晋中·统考二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ）
A．一定有两个极值点
B．函数在R上单调递增
C．过点可以作曲线的2条切线
D．当时，
2．（2022·全国·校联考模拟预测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是的对称中心
D．
单选题
3．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个n阶代数方程必有n个复数解等．已知某数列的通项，则（ ）
A．48B．49C．50D．51
4．（2022·全国·哈师大附中校联考模拟预测）函数，其中，记，则（ ）
A．B．
C．D．
填空题
5．（2023·广西玉林·统考三模）已知函数，若函数，数列为等差数列，，则______．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）设函数，，．则数列的前n项和______．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
8．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______.
类型二：错位相加法求和
典型例题：已知等比数列的前n项和为，其中，且.
(1)求数列的通项公式以及前n项和；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
试题分析：
(1)由求出，再由求出,即可代入等比数列的通项公式和前项和公式求解.
(2)把(1)求出的代入得到的通项公式，再用错位相减法即可求前项和.
详细解答：
（1）记等比数列的公比为q，显然，否则；
故，解得，
故，
则，；
（2）依题意，；
故，
故，
两式相减可得，
，
则.
题型专练：
单选题
9．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为( ).
A．B．C．1011D．2022
10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知数列的首项为，，则数列的前2023项和为（ ）
A．B．
C．D．
填空题
11．（2023·江西鹰潭·二模）已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和________.
解答题
12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．
13．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为2，数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
14．（2023·安徽合肥·二模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
15．（2023·江西上饶·统考二模）设数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．数列的前项积为，且满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求的前项和．
17．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，正项数列满足，且．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，集合共有两个子集，求实数k的取值范围．
七、3单选题(
18．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，记的前n项和为，若，其中表示不超过x的最大整数值，则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·海南·校联考模拟预测）设数列的通项公式为，数列的前项和为，那么等于（ ）
A．B．C．D．
类型三：裂项相消法求和
典型例题：已知数列的前项和为，若.
(1)求；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
试题分析：（1）利用可得时，有，结合可求.
（2）利用裂项相消法可求.
详细解答：（1）因为，故，
所以，整理得到，
故当时，有，故，
故，也符号该式，
而，故，
故.
（2）,
故当时，，
当时，有
.
而时，也符合该式，故 .
题型专练：
解答题
21．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在数列中，，（k为常数，），且，，构成公比不等于1的等比数列．
(1)求k的值；
(2)设，求数列的前n项和．
22．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
23．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
24．（2023·陕西商洛·统考二模）已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求数列的前n项和．
25．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知正项数列的前项和为，且，（且）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：.
26．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知等差数列的公差为，前n项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且，设数列的前n项和为，求证：.
27．（2023·湖北十堰·统考二模）已知数列的前n项之积为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
类型四：分组法求和
典型例题：已知数列为单调递增的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
试题分析：（1）利用等比数列的性质计算即可；
（2）分组求和即可.
详细解答：（1）数列为等比数列，
，．
设的公比为，
则，，
，解得或．
由单调递增，得，
故．
（2）由上可知，，
．
题型专练：
单选题
28．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．C．D．
填空题
29．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且，若，则______．
解答题
30．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
31．（2023·浙江·校联考二模）设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设且，求数列的前n项和为．
32．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，若，求n的最大值．
33．（2023·江西上饶·统考二模）已知数列为非零数列，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
34．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和满足.
(1)求及；
(2)令，求数列的前项和.
35．（2023·山东济宁·统考二模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和．
36．（2023·全国·模拟预测）记为正项数列的前项和，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
类型五：数列的其他求和方法
典型例题：已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项的和．
【答案】(1)
(2)
试题分析：
(1)根据求解即可；
(2)由于时，，当时，，所以分和两种情况讨论求解即可.
详细解答：（1）因为数列的前项和为，
所以当时，，
当时，，
显然，当时，满足，
所以.
（2）由（1）知，
因为时，，当时，，
所以当时，，
当时，①，②，
所以①②得，因为，
所以，
所以
题型专练：
单选题
37．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．0
填空题
38．（2023·浙江·统考二模）已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是______.
解答题
39．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．
40．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知数列的前n项和为，___________，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，当时，，.记数列的前n项和为，求.
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
41．（2023·河南郑州·统考二模）已知数列的前n项之积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和.
42．（2023·湖南怀化·统考二模）已知为数列的前n项和，，; 是等比数列，，，公比．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列和的所有项分别构成集合A，B，将的元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求．
43．（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，．
(1)求，并证明是等差数列；
(2)求．
44．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
类型六：数列不等式问题
典型例题：已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
试题分析：
（1）写出当时的等式，再与原式两式相除求解即可；
（2）由（1），再根据错位相减求解可得，再化简不等式可得，再设，根据作差法判断的单调性，进而可得最大值.
详细解答：（1），
当时，，
两式相除得；，
又符合上式，故；
（2），
，
，
错位相减得：
，
，
即，由，得，
设，则，
故，
由，
由可知，随着的增大而减小，
故，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则
题型专练：
单选题
45．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
解答题
46．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列中，，为数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，为数列的前项和，求证：．
47．（2023·天津·校联考二模）已知数列满足：，正项数列满足：，且，，.
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求：；
(3)求证：.
48．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足．
(1)证明：数列成等差数列．
(2)若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
49．（2023·天津·统考二模）已知为等差数列，数列满足，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)设的前项和为，证明：.
50．（2023·河南·校联考二模）已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：．
51．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在上只有一个零点，求的取值范围；
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
52．（2023·山西临汾·统考二模）已知是等差数列，是等比数列（公比不为1），的前n项和，且，
(1)求数列：，的通项公式；
(2)设的前项和为.对于任意正整数，当恒成立时，求的最小值.