新高考数学三轮复习考前冲刺练习08 计数原理与概率统计小题综合（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023·浙江·校联考二模）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）
A．120B．210C．211D．216
【答案】D
【分析】共有三种情况，3人各站一个台阶，或2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，或3人站一个台阶，然后根据分类计数原理即可求解．
【详解】由题意分三种情况：
第一种情况是3人各站一个台阶，有种；
第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有种，
第三种情况是3人站一个台阶，有种，
所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种．
故选：D．
2．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）
A．32B．C．16D．
【答案】B
【分析】运用二项式系数最大项求出n的值，再运用二项展开式的通项公式计算即可.
【详解】∵的展开式共有项，只有第3项的二项式系数最大，
∴，
∴，
∴的第项为，（），
∴令，解得：，
∴，即：展开式中项的系数为.
故选：B.
3．（2023·河北·校联考二模）某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，
其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，
由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为，
故选：C.
4．（2023·湖北·统考二模）城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况．我国采用的是红绿交通信号灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”．不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期性．在一个周期T内交通信号灯进行着红绿交替变换（东西向红灯的同时，南北向变为绿灯；然后东西向变为绿灯，南北向变红灯）．用H表示一个周期内东西方向到达该路口等待红灯的车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R表示一个周期内东西方向开红灯的时间，S表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和（不考虑黄灯时间及其它起步因素），则S的计算公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件分别求出东西方向路口等待时间的总和及南北方向路口等待时间的总和，即可求解.
【详解】由题意得：
一个周期内，东西方向路口等待红灯的车辆数为，等待开红灯的时间为，
则一个周期内，东西方向路口等待时间的总和为，
又交通信号灯红绿交替变换时间周期为，
所以一个周期内，南北方向路口等待开红灯的时间为，
又一个周期内，南北方向路口等待红灯的车辆数为，
则一个周期内，南北方向路口等待时间的总和为，
一个周期内，到达该路口的车辆等待时间的总和，
故选：B.
5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A．两两不互斥B．
C．与B是相互独立事件D．
【答案】B
【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定义判断，对于D，由求解
【详解】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，
所以，，两两互斥，所以A不正确；
对于B，由题意可得，
所以，所以B正确；
对于C，因为，，，
所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误；
对于D，由C选项可知D是错误的.
故选：B.
6．（2023·湖南郴州·统考三模）篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】考虑前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况有只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式即可求得答案.
【详解】由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为，
由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：
只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，
则概率为，
故选：D
7．（2023·广东·统考模拟预测）一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，利用全概率公式计算出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，
记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，
则，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，.
故选：A.
8．（2023·重庆九龙坡·统考二模）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（ ）
A．1560种B．2160种C．2640种D．4140种
【答案】A
【分析】先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以组数（平均的组数）的全排列.
【详解】依题意分两种情况讨论：
①将种算法分成、、、四组，再分配给人，则有种；
②将种算法分成、、、四组，再分配给人，则有种；
综上一共有种不同的分配方案.
故选：A
9．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知多项式，则（ ）
A．0B．32C．16D．
【答案】B
【分析】设，令求出，再分别求出和的展开式中一次项和常数项，得出，即可得出答案．
【详解】设，则，
令，则，
的展开式中一次项为，常数项为1，
的展开式中一次项为，常数项为16，
所以，
所以，
故选：B．
10．（2023·福建·统考模拟预测）已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（ ）
A．45B．53C．54D．90
【答案】B
【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
又，
所以，，.
设，
则，
所以，，所以.
，
所以，，所以.
所以，以使得最大的N值作为N的估计值，则N为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得，得出，利用函数求出的最大值.
二、多选题
11．（2023·浙江宁波·统考二模）根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）
A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关
B．9号的最高气温与最低气温的差值最大
C．最高气温的众数为
D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大
【答案】AC
【分析】根据最低气温以及最高气温的折线图，结合选项即可逐一求解.
【详解】由5号到11号的最低气温的散点分布是从左下到右上可知：最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确，
由图可知6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误，
最高气温出现了两次，其他数据出现为1次，故是最高气温的众数，故C正确，
5号到15号的最低气温的极差小于，5号到15号的最高气温的极差约等于，故D错误，
故选：AC
12．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件相互独立B．
C．D．
【答案】BD
【分析】本题主要考察条件概率与全概率公式，对学生基础知识的考察比较广泛。由题意可得B与Ai(I=1,2,3...)是两两互斥的事件，利用条件概率的概率公式求出即可，求出相应的概率与条件，全概率，进而得到答案.
【详解】，，
先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，
先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，
先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，．
，B对．
，C错．
，A错．
，D对．
故选:BD.
13．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．
【详解】对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
，
所以，故C正确；
对于D：由上可得，
又因为，故D错误，
故选：BC．
14．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若A，B是相互独立事件，则
D．若A，B是互斥事件，则
【答案】AC
【分析】计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，，故B错误；因为A，B是互斥事件，得，而，故D错误．
【详解】解：，故A正确；
当A，B是相互独立事件时，则，故B错误；
因为A，B是相互独立事件，则，所以，故C正确；
因为A，B是互斥事件，，则根据条件概率公式，而，故D错误．
故选：AC．
15．（2023·广东湛江·统考二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（ ）
A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7
B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05
C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480
D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.5
【答案】BCD
【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由质量大于163 g的个数求解判断；D.由质量在163 g～168 g的个数求解判断.
【详解】解：因为，所以，所以A错误．
因为，所以，所以B正确．
，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数．所以，所以C正确．
因为，所以，又因为，所以，则，
所以，
若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数，所以，所以D正确．
故选：BCD
三、填空题
16．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在的展开式中，含的项的系数是______．
【答案】
【分析】由二项式的展开式即可求得答案.
【详解】因为，所以含的项为：，
所以含的项的系数是．
故答案为：．
17．（2023·河北张家口·统考二模）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为___________.（用数字作答）
【答案】
【分析】利用二项式系数的性质及二项式定理展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意可得，解得，.
设展开式中的第项为，
令，解得.
所以该展开式的常数项为.
故答案为：.
18．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）设，则________．
【答案】
【分析】运用二项展开式的通项公式赋值计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴.
故答案为：.
19．（2023·福建漳州·统考三模）的展开式中项的系数为_________.
【答案】240
【分析】利用二项式定理的展开原理，写出通项，利用方程，可得答案.
【详解】由，则其展开式的通项，
化简可得，令，则，
即.
故答案为：240.
20．（2023·安徽淮南·统考二模）已知二项式的常数项为 ，则______________.
【答案】
【分析】将化为，分别写出和的通项，由题意列出方程，求出参数的值，即得答案.
【详解】由题意可知，
则其通项为，
而的通项为，
令，
当时，；当时，；当时，，不合题意，
由二项式的常数项为，可得，
即，解得，
故答案为：