新高考数学三轮复习考前冲刺练习14 概率统计大题综合（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）某工厂可以加工一种标准尺寸为50mm的零件，目前的生产工艺生产该零件的尺寸（单位：mm）服从正态分布，且尺寸不大于49.95mm的概率为0.02．某客户向该厂预定1200个该种零件，要求零件的尺寸误差小于0.05 mm．
(1)为完成订单且避免过度生产，你认为该厂计划生产多少件零件最为合理？
(2)实际投产时，技术人员改进了该种零件的生产工艺．改进后，当生产了1225个零件时恰好完成订单．请结合（1）的结果，利用独立性检验判断能否有99%的把握认为生产工艺改进与生产零件的尺寸误差有关．
附：，其中．
【答案】(1)个
(2)有的把握认为生产工艺改进与生产零件的尺寸误差有关
【分析】（1）根据正态分布的性质，求得，进而求得计划生产最合理的个数；
（2）根据题意得到的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意，生产工艺生产该零件的尺寸服从正态分布，
且尺寸不大于mm的概率为，
根据正态分布的性质，可得，
所以，
所以计划生产最合理的个数为个.
（2）解：改进前，零件尺寸符合条件的有个，不符合的有个，
改进后，零件尺寸符合条件的有个，不符合的有个．
则的列联表如下：
可得，
所以有的把握认为生产工艺改进与生产零件的尺寸误差有关．
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，下表是该商场连续五天的日销售情况：
其中，温度变量对应的销售量为.
(1)建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在，（）区间时的该饮品的日销售量；
（附：）
(2)为了了解消费群体中男女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了2×2列联表为：
依据的独立性检验，能否认为喜欢程度与性别有关联？
附：，.
(3)超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：百份）五组，并绘制了如图所示的频率分布直方图.
根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量.
【答案】(1)，万份
(2)能认为喜欢程度与性别有关联
(3)份
【分析】(1)根据表格所给的数据求出，，,代入公式计算，，即可求出回归方程，再把代入所求的回归方程即得；
(2) 根据列联表所给的数据求出，再结合题目所给的表格的数据判断；
(3) 根据直方图所给的数据代入平均数公式即可计算.
【详解】（1）,
，
销售量关于温度变量的回归方程为：
当，
所以，温度在区间时的该冷品的日销售量估计为万份.
（2）
所以，依据的独立性检验，能认为喜欢程度与性别有关联.
（3）设天的日均销售量为，
则，
这天的日均销售量约为份·
3．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：
经计算得：．
(1)利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；
(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，
（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；
（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．
附：y关于x的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）前者斜率小于后者，证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用题中所给数据结合最小二乘法即可得解；
（2）（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为，分别求出，再结合相关系数的公式与性质即可得出结论；
（ⅱ）根据两直线均过样本中心点结合（ⅰ）中结论即可得出答案.
【详解】（1）解：,
，
故回归方程为；
（2）解：（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为，
x关于y的线性回归方程为
，
则，为与的相关系数，
又，故，即，
下证：，
若，则，即恒成立，
代入表格中的一组数据得：，矛盾，
故，即前者斜率小于后者；
（ⅱ）注意到，两直线都过，且，故公共点仅有．
4．（2023·湖北·统考二模）高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为．
(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求；
(3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．
【答案】(1)
(2)
(3)需要对生产工序进行改良
【分析】（1）先求每个AI芯片智能检测达标的概率，再利用对立事件的概率求解；
（2）先求，利用导数判断单调性可求解；
（3）利用条件概率求出AI芯片的合格率，与93%比较可得结论.
【详解】（1）记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则
.
（2）由题意，
∴
令，则，
当，，为增函数；
当，，为减函数；
所以在处取到最大值．
（3）记事件B＝“人工检测达标”，
则，
又，
所以，
所以需要对生产工序进行改良．
5．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，得10元本商场购物券.
(1)求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列；
(2)为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪种方案.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)顾客希望采用方案乙.
【分析】（1）设获得购物券的金额为，先求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列；
（2）分别求得甲乙两方案顾客所得购物券金额的数学期望，对二者进行大小比较，选择数学期望较大者即可.
【详解】（1）设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10，
，，.
的分布列为：
（2）方案甲，设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10，
，，.
则.
方案乙，设获得购物券的金额为，.
因，所以顾客希望采用方案乙.
6．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）安全教育越来越受到社会的关注和重视．为了普及安全教育，学校组织了一次学生安全知识竞赛，学校设置项目A“地震逃生知识问答”和项目B“火灾逃生知识问答”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
(1)求乙班在项目A中获胜的概率；
(2)设乙班获胜的项目个数为X．求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由对立事件概率公式求得乙班在项目A中每局获胜的概率，然后分成乙班三局全胜，四局三胜和五局三胜三个互斥事件求出概率；
（2）与（1）同理求得乙班在项目中获胜的概率，而的可能值是0，1，2，利用独立事件、对立事件概率公式求得概率的分布列，再由期望公式求得期望．
【详解】（1）记“乙班在项目A中获胜”为事件A，
由事件的对立性知，乙班在项目A中每局获胜的概率为，负的概率为，
则，
所以乙班在项目A中获胜的概率为；
（2）记“乙班在项目B中获胜”为事件B，
则，
X的可能取值为0，1，2，由事件对立性和独立性知，
则，
，
.
所以X的分布列为
所以乙班获胜的项目个数的数学期望为
7．（2023·广东·统考模拟预测）某工厂车间有台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责台机器；方案二：由甲乙两人共同维护台机器．
(1)对于方案一，设为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求的分布列与数学期望；
(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高?
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)方案二，理由见解析
【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）计算出两种方案下故障机器得到维修的概率，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：由题意可知，，
则，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一
人负责的台机器同时发生故障”，考查反面处理这个问题.
其概率为.
对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为
，
所以，，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高.
8．（2023·江苏南通·二模）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
并计算得
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组（xi ，yi）满足| xiyi| < 0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤| xiyi| < 0.3为“Ⅱ类误差”；满足| xiyi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．
附：相关系数
【答案】(1)0.98，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；
（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.
【详解】（1）因为，…
代入已知数据，
得．
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数
的所有可能取值为.
则，
，
，
.
所以的概率分布为
所以X的数学期望.
另解：因为，所以.
9．（2023·安徽·校联考二模）现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解．组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立．2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分．
(1)求乙总得分为10分的概率；
(2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由互斥事件、独立事件的概率公式计算可得；
（2）分X可能取值为0，5，10，15，20，结合互斥事件、独立事件的概率公式求得概率分布列，然后由期望公式计算出期望．
【详解】（1）由题意，乙得10分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误或没有回答}、{甲，乙各抢到一题都回答正确}、｛甲抢到两题都回答错误或没有回答｝
所以乙总得分为10分的概率．
（2）由题意得，甲的总得分X可能取值为0，5，10，15，20
；
；；
．
分布列如下：
所以．
10．（2023·安徽淮南·统考二模）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为、，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，一班赢下这场比赛
【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；
（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断.
【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，
其概率为，
若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，
其概率为，
于是一班总分不少于100分的概率为；
（2）由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，
，，
，．
所以X的分布列为：
，
设三班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，
，，
，，
的分布列：
，
因为，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.
11．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）某地种植苹果通过农村电商销往全国，实现脱贫致富．现要测量一批苹果的重量，从中随机抽取100个苹果作为样本，测量单个苹果的重量，重量均在[330，470]克.由测量结果得到频率分布直方图，如图所示．
(1)估计这批苹果重量的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)由频率分布直方图可以认为，这批苹果的重量X服从正态分布（其中近似为样本平均数，近似为样本方差）．如果重量在[375，450]克，则该苹果为“标准品”．采取用样本估计总体的思想，结合正态分布，估计这批苹果中“标准品”的概率（结果保留小数点后两位）；
(3)将这100个苹果中重量在[430，470]克的苹果全部取出来，再从取出的苹果中任选3个，用Y表示这3个苹果中重量在[450，470]克的苹果数，求Y的分布列和数学期望．
（参考数据：若X服从正态分布，则，，，）
【答案】(1)平均数为400克，方差为600
(2)0.82
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率之和为11求出，再根据频率分布直方图求均值及方差即可；
（2）由正态分布，根据对称性可求出；
（3）根据古典概型求出概率，得出分布列，求出期望即可.
【详解】（1）由已知可得，
解得．
（克），
由样本估计总体可知这批苹果重量的平均数为400克，方差为600，
（2）由（1）可知，该正态分布中的μ估计值为400克，的估计值为为600，
故．
因为，
所以，
所以这批苹果中“标准品”的概率约为0.82．
（3）由题意可知，共取出重量在克的苹果8个，[450，470]克的苹果2个，从中再任选3个苹果，的可能取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为：
．
12．（2023·辽宁·校联考二模）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.
(1)若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；
(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.
参考数据：，，，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，元
【分析】（1）先根据频率分布折线图求平均值及方差，再根据正态分布公式计算概率即可；
（2）先分析获奖金额的情况，再列出相关分布列计算即可.
【详解】（1）由折线图可知：，
，
所以，，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为10，20，30，40，
则，，
，
，
，
，
所以的分布列为
，
故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为元.
13．（2023·辽宁·校联考二模）根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布，并把钢管内径在内的产品称为一等品，钢管内径在内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图：
(1)通过检测得样本数据的标准差，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)假如企业包装时要求把2个一等品和个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值，并求出最大值．
参考数据：
【答案】(1)0.71
(2)①；②．
【分析】（1）运用频率分布直方图求得其平均数及即可.
（2）运用对立事件的概率公式、古典概型概率及运用导数研究函数的单调性，进而求得最值即可.
【详解】（1）由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，
所以，，
则，，，
则一等品内径在内，即，
二等品内径在内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率为：
．
（2）①从件正品中任选2个，有种选法，其中等级相同的有种选法，
所以某箱产品抽检被记录为B的概率为：．
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，
则5箱产品恰有3箱被记录为B的概率为：
，
，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，
此时，，解得或（舍去）．
所以当时，取得最大值.
14．（2023·河北张家口·统考一模）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？
单位：箱
(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的作为的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：
附：，其中．
【答案】(1)填表见解析；认为箱中有不合格品与新旧设备有关联
(2)
(3)应该对余下的480个口罩进行检验
【分析】（1）根据题中的条件可填写列联表，利用卡方计算公式计算出卡方值，结合标准误差可以判断出关联性；
（2）利用独立重复性实验的计算公式得出20个口罩中恰有3件不合格品的概率为的表达式，利用求导方法解出的最大时的；
（3）先设表示余下的480件产品中不合格品的数量，符合二项分布，解出期望，再设产品的检验费用与赔偿费用的和记为，找出、的等式关系，即可求出，进而判断结果.
【详解】（1）解： 单位：箱
零假设为：有不合格品与新旧设备无关联．
由列联表可知的观测值
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由题意，得，
则，
令，又，得．
当时，，当时，，
所以最大时的值．
（3）由（2）知．
设表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知，
所以．
若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，则，
所以．
如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为（元）．
364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验．
15．（2023·福建·统考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
其中，
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
(2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：，，.
【答案】(1)适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率
(2)（i）0.778；（ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析
【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；
（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.
【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.
令，先建立y关于t的线性回归方程.
由于，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，
因此y关于年份数x的回归方程为
所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
.
所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为.
（2）设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，
则，，，
，，.
（i）由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为0.778.
（ii），
，
，
因为，
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
16．（2023·福建·统考模拟预测）疫情过后，某工厂快速恢复生产，该工厂生产所需要的材料价钱较贵，所以工厂一直设有节约奖，鼓励节约材料，在完成生产任务的情况下，根据每人节约材料的多少到月底发放，如果1个月节约奖不少于1000元，为“高节约奖”，否则为“低节约奖”，在该厂工作满15年的为“工龄长工人”，不满15年的为“工龄短工人”，在该厂的“工龄长工人”中随机抽取60人，当月得“高节约奖”的有20人，在“工龄短工人”中随机抽取80人，当月得“高节约奖”的有10人．
(1)若以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，在该厂的“工龄长工人”中任选取5人，估计下个月得“高节约奖”的人数不少于3人的概率；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析得“高节约奖”是否与工人工作满15年有关．
参考数据：附表及公式：，
【答案】(1)
(2)得“高节约奖”与工人工作满15年有关．
【分析】（1）以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，求出每个“工龄长工人”得“高节约奖”的概率，然后分别求出3 人、4 人、5 人得“高节约奖”的概率后相加即得；
（2）列出列联表，计算出，比较临界值即可得．
【详解】（1）以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，
每个“工龄长工人”得“高节约奖”的概率为，
5人中，恰有3人得“高节约奖”概率为，
恰有4人得“高节约奖”概率为，
5人都得“高节约奖”概率为，所求概率为；
（2）列出列联表如下：
零假设：得“高节约奖”是否与工人工作满15年有关．
，
根据小概率值的独立性检验，得“高节约奖”与工人工作满15年有关．
17．（2023·山东菏泽·统考二模）某公司年末给职工发奖金，采用趣味抽奖的方式，在一个纸箱里放10个小球：其中2个红球、3个黄球和5个绿球，每个职工不放回地从中拿3次，每次拿1个球，每拿到一个红球得奖金1千元，每拿到一个黄球得奖金800元，每拿到一个绿球得奖金500元.
(1)求已知某职工在三次中只有一次抽到黄球的条件下，至多有1次抽到红球的概率；
(2)设拿到红球的次数为X，求X的分布列并计算拿到的三个球中，红球个数比黄球个数多的概率.
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）设事件：在三次中只有1次拿到黄球，事件：三次中至多一次抽到红球，则事件：在三次中只有1次抽到黄球，其他两次至多一次抽到红球，求出，，然后利用条件概率公式求解；
（2）拿到红球的次数为0，1，2，求出对应的概率，从而可得的分布列；设事件“拿到红球的个数比黄球的个数多”，分为三种情况：红1黄，红1绿，红2绿，求出对应的概率再相加即可得的概率.
【详解】（1）设事件：在三次中只有1次拿到黄球，
事件：三次中至多一次抽到红球，
则事件：在三次中只有1次抽到黄球，其他两次至多一次抽到红球，
，
，
所以．
（2）拿到红球的次数为0，1，2，则
，
，
，
故的分布列为
设事件“拿到红球的个数比黄球的个数多”，
红1黄，，
红1绿，，
红2绿，，
∴．
18．（2023·江苏常州·校考二模）《周易》包括《经》和《传》两个部分，《经》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则六十四卦代表的数表示如下：
(1)成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，试分别写出这两个卦所表示的十进制数；
(2)若某卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；
(3)在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记5分；若只有两个阳爻相邻，则记2分；若三个阳爻均不相邻，则记1分．设任取一卦后的得分为随机变量X，求X的概率分布和数学期望．
【答案】(1)7；56；
(2)630；
(3).分布列见解析
【分析】（1）先写出给定符号所表示的二进制数，再将二进制数转化成十进制数即可；
（2）先列出该卦所表示的所有二进制数，再求和；
（3）根据相邻问题捆绑、不相邻问题插空分别求得概率，即可求得分布列，进而求得数学期望.
【详解】（1）“否”卦所表示的二进制数为000111，转化为十进制数是，
“泰”卦所表示的二进制数为111000，转化为十进制数是.
（2）因为该卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成，
所以该卦所表示的二进制数共有个，分别为：001111,010111,011011,011101,011110,100111,101011,101101,101110,110011,110101,
110110，111001,111010,111100，
因为这15个数中，每个位置都是5次0,10次1，
所以所有这些卦表示的十进制数的和为.
（3）依题意可得，
则，
所以X的概率分布列如下：
所以，即数学期望为.
19．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.
(1)求图1中的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数；
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.
附：
【答案】(1)，分
(2)有关
(3)分布列见解析，
【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为1，求出的值，进而可求出上四分位数；
（2）先求出数学优秀和不优秀的人，常整理错题和不经常整理错题的人，得到列联表，根据列联表求出值，从而得出判断；
（3）先求出的可能取值，并求出相应取值的概率，从而求出分布列和期望.
【详解】（1）由题意可得，
解得，
学生期中考试数学成绩的上四分位数为：分；
（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，则
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，，
，，
，
，
，
故X的分布列如下：
则可得X的数学期望为
20．（2023·吉林·统考三模）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
(2)从该球队中任选一人，A表示事件“选中的球员参赛”，B表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明：；
②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出R的估计值．
附：．
参考数据：
【答案】(1)认为该球队胜利与甲球员参赛有关
(2)①证明见解析 ；②,；
【分析】（1）由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
（2）①根据定义结合条件概率公式即可完成证明；②根据①结合已知数据求.
【详解】（1）零假设为：该球队胜利与甲球员参赛无关．
，
因为，
所以依据的独立性检验，我们推断不成立，所以认为该球队胜利与甲球员参赛有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．
（2）①证明：
②，，
．
0.05
0.01
3.841
6.635
合格
不合格
总计
改进前
1200
50
1250
改进后
1200
25
1225
总计
2400
75
2475
温度
温度变量
1
2
3
4
5
销售量（万份）
0.3
0.3
0.5
0.9
1
喜欢
一般
合计
女
90
20
110
男
70
40
110
合计
160
60
220
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
x
…
2.7
3.6
3.2
…
y
…
57.8
64.7
62.6
…
200
80
10
X
0
l
2
P
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量xi
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量yi
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
| xiyi|
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
0
1
2
3
P
X
0
5
10
15
20
P
X
60
80
100
120
P
Y
0
1
2
P
10
20
30
40
P
是否有不合格品设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
旧
合计
0.100
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
是否有不合格品设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
90
10
100
旧
75
25
100
合计
165
35
200
2017.5
80.4
1.5
40703145.0
1621254.2
27.7
1226.8
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
“高节约奖”
“低节约奖”
合计
“工龄长工人”
20
40
60
“工龄短工人”
10
70
80
合计
30
110
140
0
1
2
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000000
0
剥
000001
1
比
000010
2
观
000011
3
…
…
…
…
1
2
5
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100
X
0
1
2
P
球队输球
球队赢球
总计
甲参加
2
30
32
甲未参加
8
10
18
总计
10
40
50
a
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828