新高考数学一轮复习重难点练习08解三角形（5种题型）（2份，原卷版+解析版）

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二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2023真题抢先刷，考向提前知
1．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
2．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．
（1）若∠ADC＝，求tanB；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
3．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
4．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝，求b．
四、考点清单
解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
五、题型方法
一．正弦定理（共6小题）
1．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若csA＝，a＝2，求△ABC的面积．
2．（2023•和平区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若．
（ⅰ）求△ABC的面积；
（ⅱ）求cs（2C﹣A）．
3．（2023•东风区校级模拟）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sinB﹣sinC＝sinC﹣csB，且b＞c．
（1）求A；
（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
4．（2023•益阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知asinA+csinC＝（asinC+b）sinB．
（1）求B；
（2）若AC边上的中线BD的长为2，求△ABC面积的最大值．
5．（2023•靖远县模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围．
6．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝，AB边上的高为．
（1）若S△ABC＝2，求△ABC的周长；
（2）求的最大值．
二．余弦定理（共5小题）
7．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cs2C﹣cs2A＝sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
8．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2，b＝2，且csA（ccsB+bcsC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
9．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：A＝B．
（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，②，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
10．（2023•泸县校级模拟）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）从下列条件中：①a＝；②S△ABC＝中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
11．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccsB，②S＝（a2+b2﹣c2），③sin（A+B）＝1+2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．
三．三角形中的几何计算（共11小题）
12．（2023•叙州区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）给出以下三个条件：
条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0；
条件②：a＝，b＝1；
条件③：S△ABC＝．
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（ⅰ）求sinA的值；
（ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长．
13．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，设△ABC的面积为S，满足，求b的值．
14．（2023•鲤城区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（2A+B）＝2sinA（1﹣csC）．
（1）证明：b＝2a；
（2）点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD＝AD＝1，求△ABC的周长．
15．（2023•湖南模拟）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍．
（1）求AD•sin∠DAC的值；
（2）当CD＝3时，求线段DE的长．
16．（2023•青羊区校级模拟）如图，△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上且满足CP＝CA，记∠CAP＝θ．
（1）若，求PB的长；
（2）用θ表示S△PAB，并求S△PAB的取值范围．
17．（2023•鼓楼区校级模拟）△ABC的角A，B，C的对边分别为的面积为．
（1）若，求△ABC的周长；
（2）设D为AC中点，求A到BD距离的最大值．
18．（2023•三明三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，a2＝c2+2c+4，CD平分∠ACB交AB于点D，
CD＝．
（1）求∠ADC；
（2）求△BCD的面积．
19．（2023•鼓楼区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中线CD长为，求△ABC面积的最大值．
20．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，求a+2b的最小值．
21．（2023•华龙区校级模拟）已知．
（1）若，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝2，且△ABC的面积为，当a＝6时，求△ABC的周长．
22．（2023•武汉模拟）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点，．
（1）若BC＝，求AC的长；
（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．
四．解三角形（共22小题）
23．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，A，B，C的对边为a，b，c，若已知a（a﹣4sinA）＝b（c﹣4sinC）；
（1）证明：a2≥16sinB（c﹣4sinC）；
（2）证明：当△ABC的面积为时，求a+b+c的值．
24．（2023•福州模拟）已知函数，将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）记锐角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求a﹣b的取值范围．
25．（2023•安庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）若角，求角A的大小；
（2）若a＝4，，求b．
26．（2023•爱民区校级三模）在△ABC中，．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
27．（2023•桐城市校级一模）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＝4，＝．
（1）若，求sinA；
（2）若AB边上的中线长为，求AB的长．
28．（2023•辽宁模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，且b＝3，求△ABC的面积S．
29．（2023•云南模拟）已知函数在上单调，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝2，，求△ABC周长的最大值．
30．（2023•阳泉三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2﹣bc．
（1）求A；
（2）若bsinA＝4sinB，且lgb+lgc≥1﹣2cs（B+C），求△ABC面积的取值范围．
31．（2023•全国模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB+bcs（+）＝0．
（1）求A；
（2）若a＝，求△ABC面积的最大值．
32．（2023•武侯区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）已知b＝4，△ABC的面积为6，求sinB的值．
33．（2023•定远县校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
34．（2023•平顶山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6csBcsC﹣1＝3cs（B﹣C）．
（1）若，求csC；
（2）若c＝3，点D在BC边上，且AD平分，求△ABC的面积．
35．（2023•厦门模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求a的值；
（2）点D在线段BC上，∠BAC＝120°，∠BAD＝45°，CD＝1，求△ABC的面积．
36．（2023•泉州模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c2＝（a2+c2﹣b2）（tanA+tanB）．
（1）求角A的大小；
（2）若边，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围．
37．（2023•包河区校级模拟）在①4asinC＝3ccsA，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____，．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）如图，D为边AC上一点，DC＝DB，AB⊥BD，求△ABC的面积．
38．（2023•旌阳区校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b﹣c）sinB+c（2sinC﹣sinB）．
（1）求A；
（2）点D在边BC上，且BD＝3DC，AD＝4，求△ABC面积的最大值．
39．（2023•惠安县模拟）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acsB﹣2acsC＝（2c﹣b）csA．
（1）若c＝a，求csB的值；
（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．
40．（2023•南关区校级模拟）已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC周长．
41．（2023•开福区校级模拟）已知向量＝（sinx，1+cs2x），＝（csx，），．
（1）求函数y＝f（x）的最大值及相应x的值；
（2）在△ABC中，角A为锐角且，，BC＝2，求△ABC的面积．
42．（2023•江西模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sinAsinB＝cs2B﹣cs2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA＝2sinB，，求△ABC的面积．
43．（2023•镇江三模）在凸四边形ABCD中，．
（1）若．求CD的长；
（2）若四边形ABCD有外接圆，求AD+CD的最大值．
44．（2023•成都模拟）在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinA+4bsinCcs2A＝bsinB+csinC．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，且BC上的中线AD长为，求斜三角形ABC的面积．
五．三角形的形状判断（共4小题）
45．（2023•安徽二模）在△ABC中，sin2A+3sin2C＝3sin2B．
（1）若sinBcsC＝，判断△ABC的形状；
（2）求tan（B﹣C）的最大值．
46．（2023•洪山区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin（A﹣B）csC＝csBsin（A﹣C）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求的最大值．
47．（2023•湖北模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，．
（1）求角A；
（2）若D为BC边上一点，且满足AD＝CD＝2BD，试判断△ABC的形状．
48．（2023•福建模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）当，λ＝2时，求c的值；
（2）判断△ABC的形状．
考题
考点
考向
2022新高考1第18题
解三角形及其综合应用
求角度及最值
2021新高考2第18题
解三角形及其综合应用
求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝