新高考数学一轮复习重难点练习12圆锥曲线中的弦长与面积问题（2种考法）（2份，原卷版+解析版）

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考法1：弦长问题
考法2：面积问题
二、命题规律与备考策略
一、圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2).
二、三角形面积问题
直线方程：
三、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为

注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
四、平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
三、题型方法
考法1：弦长问题
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知椭圆E：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.
（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.
【详解】（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为.
将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，
由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即，
联立，可得，
，，，
所以.
2．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【答案】(1)=1
(2)3
【分析】（1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.
（2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进行求解即可.
【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
所以有，
又因为离心率为2，
所以有代入中，可得，
∴C的标准方程为：；
（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为，
所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，
方程为与双曲线方程联立为：
，
设，则有，
3．（2023·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切．
(1)求抛物线的方程；
(2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先得到抛物线的准线方程，依题意可得，解得、、，即可得解；
（2）由（1）可得，，即可求直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由焦点弦公式计算可得.
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意可得，解得或，又、、，
所以，所以抛物线方程为.
（2）由（1）可得，，，
因为直线直线，所以，
所以直线的方程为，即，
由，消去整理得，
设，，所以，
所以，
所以.
4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由题意，求得点的坐标，利用三角形的面积，建立方程，可得答案；
（2）利用分类讨论，明确直线的斜率存在，联立方程，写出韦达定理，求得中点坐标，利用两点距离公式，结合基本不等式，可得答案.
【详解】（1）
直线方程为，将其代入抛物线可得，
由已知得，解得，
故抛物线的方程为．
（2）
因为，若直线分别与两坐标轴垂直，
则直线中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，
所以直线的斜率均存在且不为0．设直线的斜率为，
则直线的方程为．
联立，得，则，
设，
则，设，则，则，
所以，同理可得，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为6．
5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点的直线交于，两点，其中在第二象限．
(1)若过点，求的面积；
(2)设线段交半径为1的圆于点，直线与交于点，若直线，的斜率之比为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式求出，再求出点到直线的距离，可求的面积；
（2）设出相应直线的方程，通过联立方程组利用已知条件求出所需点的坐标，得到.
【详解】（1）设，，直线过点和，，直线方程为，
联立方程组 ，消去得，于是 ，
，
椭圆的左顶点为到直线的距离 ，
的面积 .
．
（2）在第二象限，直线斜率存在，且斜率，
设直线的方程为，联立方程组 ，消去得，
设，因为， 由韦达定理，有，得，
代入方程，解得 ，，
由，，
线段交半径为1的圆于点，∴
设，则，
解得 ，
直线的方程为，
联立方程组 ，可得 ，
直线的方程为，
联立方程组 ，消去得 ，可得 ，
，记，
有，或，当时， 不在第二象限，舍去，所以，得，
，，
6．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆过点.
(1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）把点代入椭圆方程，可得，由，可求b的取值范围；
（2）由离心率和（1）中结论，求得椭圆方程，分类讨论直线的位置，联立方程组，利用弦长公式结合不等式的性质求的最大值.
【详解】（1）∵在椭圆，∴，有，所以，
又∵，所以，∵，∴；
（2）由（1）可知，又，
所以，椭圆.
因为直线与相切，故.
若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，代入椭圆方程可得此时线段.
若直线的斜率存在，可设直线的方程为：.
由直线与相切，故，可得：.
联立得，所以，
线段.
又因为，所以.
当且仅当，故当时，的最大值为2.
综上所述：当时，线段的最大值2.
7．（2021·陕西西安·统考三模）已知点在椭圆C：（）上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点，是以为底边的等腰三角形，求弦的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组，求出的值即可求出椭圆C的方程；
（2）以AB为底作等腰三角形，顶点为且，其中AB中点为，这样可得等量关系，利用韦达定理可得弦中点坐标，解得m=2，进而可得A，B两点坐标，即可求解．
【详解】（1）由已知得，解得，
故椭圆C的方程为；
（2）设直线/的方程为，，，的中点为.
由消去y，整理得，
由得，
由根与系数的关系得，，
则，，即.
∵是等腰的底边，的中点为D，
∴.
∴的斜率，解得，满足.
此时，，
则．
8．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且．
(1)求椭圆的离心率．
(2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆和抛物线的定义可以用表示点P的坐标，代入椭圆方程即可求出离心率；
（2）根据条件求出椭圆与抛物线的方程，设l方程及点M、N的坐标，由面积求得l方程，再由弦长公式即可求得.
【详解】（1）∵抛物线方程为∴其焦点为，抛物线的准线方程为．
设点，故到准线的距离为．
即，∴
因为点P在第一象限，代入抛物线方程解得．
根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程，化简得．
即，所以，则椭圆E的离心率．
故答案为：
（2）因为椭圆的焦距为2，所以，所以，
所以椭圆方程为．
抛物线的方程为．且，．
因为直线l过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线l的方程为，，且．
设点，，联立l与
消去x得：．
所以，．
所以．所以．
故答案为：
9．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程，解出、的值，可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线不与轴平行或重合，设直线的方程为，利用直线与圆相切可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及基本不等式可求得的最大值.
【详解】（1）解：椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，
由题意可得，解得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）解：若直线与轴平行或重合，此时直线与圆相交，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可得，即.
联立消去得，即，
．
设、，则，．
所以，
．
令，则，则，
当且仅当时等号成立，此时，．
故的最大值为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
10．（2023·全国·模拟预测）已知平面内动点M到两定点E，F的距离之和为4，且E，F两点间的距离为2．
(1)以点E，F所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求点M的轨迹C的方程．
(2)直线l过点F，交曲线C于A，B两点，AB的中点为（异于坐标原点O）．若点Q的坐标之和，求弦AB的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据椭圆的定义分析运算即可；
（2）分类讨论斜率是否存在，根据题意结合点差法分析可得，求点Q的坐标，结合题意解得，再利用弦长公式运算求解.
【详解】（1）以点E，F所在的直线为x轴，线段EF的中点O为原点建立平面直角坐标系，
设点
由题意可知，所以点M的轨迹是以E，F为焦点，长轴长的椭圆．
因为，，即，，则，
故点M的轨迹C的方程．
（2）由（1）不妨取，
当直线AB的斜率不存在时，则直线，
此时AB的中点为即为点，可得，不合题意；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，点，，
则，可得，
则，两式作差得，
则，即，
可得，故直线，
联立得方程组，解得，
即，
因为，解得或，
所以直线AB的方程为或．
①若直线AB的方程为，
联立得方程组，消去y并整理得，
则，，
所以；
②若直线AB的方程为，
联立得方程组，消去y并整理得，
则，，
所以．
综上所述：弦AB的长为或．
【点睛】方法点睛：
（1）有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
（2）弦中点问题的解法
点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．
11．（2022·上海青浦·统考二模）已知椭圆：的右焦点为，过的直线交于，两点.

(1)若直线垂直于轴，求线段的长；
(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值；
(3)若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程.
【答案】(1)3
(2)
(3)或或
【分析】（1）令，求出即可.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表示出的面积即可.
（3）分类讨论直线，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求出中点的坐标，
再利用重心的性质求出的坐标，代入椭圆方程即可求解.
【详解】（1）由题意，所以，
在椭圆方程中令，得，
解得，所以.
（2）设直线的方程为：，
将其与椭圆方程联立得，
化简并整理得，
所以，，
所以，
所以的面积为，
令，则，
又因为在上单调递增，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
（3）当直线不与轴重合时，设直线：，的中点为点，
由（2）可知，将其与椭圆方程联立并整理得，
所以，，
因为的重心在轴上，
所以由重心坐标公式得，
所以，
所以，，
因为，所以由等腰三角形三线合一可知，
所以直线：，
所以，
所以点，将其代入椭圆方程化简并整理得，
解得或，
所以直线：或.
当直线与轴重合时，点在椭圆的上、下顶点，满足题意，此时直线：.
综上所述：满足题意的直线的方程为或或.
考法2：面积问题
1.（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点为线段的垂直平分线与半径的交点，
所以，所以，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中，
所以曲线的方程为．
（2）由已知得，所以直线的方程为，所以点的坐标为．
当直线的斜率不存在时，，或都与已知不符；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
易知，则，
，
由的面积是面积的倍可得，
化简得，即，
又，所以，即，也就是，
所以，
解得，
所以直线的方程为．

2.（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；
(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．
【答案】(1)焦距为，离心率为
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由可知，
，，故，
所以焦距，离心率．
（2）设，，
由题意，，，，，，，，
又，
所以，得，
方法一：由三点共线，则，即，
同理可得，三点共线，则，即，
故，即，
又，，
所以，
所以，
由，整理得，
所以有，
又，
故，
所以，
所以三点共线．
方法二：因为，，则，
由得直线的方程为，
与椭圆联立，得，
则，
所以，
同理得，
所以，，即三点共线．

（3）设，
因为，，，
①当直线的斜率不存在时，则，
所以，，
又是椭圆上的点，此时，
故，
②当直线的斜率存在时，可设，
由，得，
所以，，
所以，
又点在椭圆上，代入整理得，，
从而，
于是，
点到直线的距离，
所以．

3.（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） .
又在椭圆上 .
所以，椭圆方程为.
（2）由已知直线的斜率存在.
设直线方程为，，，
由， 得．
由，得．①
，．

又中点在直线上， 即，
将之代入①得 ，所以．
，
点到直线的距离，
．
设，．
．
时，的最大值为．
4.（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点为线段的垂直平分线与半径的交点，
所以，所以，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中，
所以曲线的方程为．
（2）由已知得，所以直线的方程为，所以点的坐标为．
当直线的斜率不存在时，，或都与已知不符；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
易知，则，
，
由的面积是面积的倍可得，
化简得，即，
又，所以，即，也就是，
所以，
解得，
所以直线的方程为．

5.（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；
(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．
【答案】(1)焦距为，离心率为
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由可知，
，，故，
所以焦距，离心率．
（2）设，，
由题意，，，，，，，，
又，
所以，得，
方法一：由三点共线，则，即，
同理可得，三点共线，则，即，
故，即，
又，，
所以，
所以，
由，整理得，
所以有，
又，
故，
所以，
所以三点共线．
方法二：因为，，则，
由得直线的方程为，
与椭圆联立，得，
则，
所以，
同理得，
所以，，即三点共线．

（3）设，
因为，，，
①当直线的斜率不存在时，则，
所以，，
又是椭圆上的点，此时，
故，
②当直线的斜率存在时，可设，
由，得，
所以，，
所以，
又点在椭圆上，代入整理得，，
从而，
于是，
点到直线的距离，
所以．

6.（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．
(1)证明：；
(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于 两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为，
所以，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
因为过点作双曲线切线与直线交于点，故切线的斜率存在，
所以，设，在点的切线方程为，
联立方程得
所以，，即①
因为，代入①式得，解得
所以，在点的切线方程为，
所以点的坐标为，即，
因为，
所以
所以，
（2）解：由题，设直线的方程为，
与双曲线方程联立得，
设，
所以
因为直线，的斜率互为相反数，所以，
所以，
整理得：②
将代入②整理得：③
结合可知时，③式恒成立，
所以，由（1）可知，，，
所以，
所以的面积.
7.（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.
【答案】(1)（）
(2)
【详解】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.
， ，
动点在右侧，有，同理有，
∵四边形的面积为8，∴，即 ，
所以所求轨迹C方程为（）.
（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，
，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则或，同时或，解得或.
，解得或（舍去）.
时，直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得.
直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得，
，
点Q到直线的距离 ，
.
方法二： ，
，
，则，
.
8.（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
(1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值；
(2)记的面积分别为，当时，求的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）由已知条件得：，设PA，PB的斜率分别为，
则QA，QB的斜率分别为，
由即有．
由即有
而，
．
（2）由于，
显然P，Q，B，A四点共圆，
PO为直径，PQ中点为圆心，
又
则，
①，又 ②，
得：，解得．
由，，而．
．
因为，根据单调性，求得
9.（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．
(1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值；
(2)若，且恰好被平分，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在椭圆中，，所以，
由，得．
（2）设直线l：，，，
联立方程，消去x得，
，则，
设的中点，则，，
设，，则直线MN的斜率为，
，，
相减得到，即，
即，解得，
由点G在椭圆内，得，解得，
因为，
所以p值是1，
所以面积．
10（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线的焦点为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，为抛物线上的点，且，，求的面积.
【答案】(1)；
(2)32
【详解】（1）解：由已知可得，解得，
∴拋物线的方程为；
（2）解：如图所示：

设，，，
若轴，由得，，或，，
此时不满足，∴不满足题意；
设直线的方程为，直线的方程为，
将代入抛物线方程得，，
∴， .
将代入抛物线方程得，∴①.
直线的斜率为，同理直线的斜率为.
∵，∴，
∴，即②.
由①②解得，将其代入①可得，
解得或，
当时，直线的方程为，，.
∵，满足，∴， .
∴，
∴.
同理可得，当时，直线的方程为，，，
∵，满足，∴， .
∴，
∴，
∴的面积为32.