新高考数学一轮复习重难点练习16数列的综合问题（数列新定义、数列与不等式、数列与函数）（2份，原卷版+解析版）

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考法1：数列新定义
考法2：数列与不等式
考法3：数列与函数
二、命题规律与备考策略
数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．
三、题型方法
考法1：数列新定义
一、解答题
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为.
(1)若，求，；
(2)设满足的n的最小值为，求及（其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；
2．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知和是各项均为正整数的无穷数列，若和都是递增数列，且中任意两个不同的项的和不是中的项，则称被屏蔽．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为首项与公比均为的等比数列，求数列的前项和，并判断能否被屏蔽，请说明理由．
3．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.
(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
4．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.
5．（2023·海南海口·统考模拟预测）将数列按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为数列的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列.如，，，，，是数列的一个分群数列，其中第个括号称为第群.已知数列的通项公式为.
(1)若数列的一个分群数列每个群都含有项，该分群数列第群的最后一项为，求数列的通项公式.
(2)若数列的一个分群数列满足第群含有项，为的该分群数列第群所有项构成的数集，设，求集合中所有元素的和.
6．（2024·广东惠州·统考三模）已知数列满足：，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足, 定义使为整数的k叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知Q：,,…,为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的,在Q中存在,,,…,,使得,则称Q为m连续可表数列.
(1)判断是否为7连续可表数列？是否为8连续可表数列？说明理由；
(2)若Q：,,…,为8连续可表数列,求证：k的最小值为4.
8．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P.
(1)①若，写出所有具有性质P的数列；
②若，写出一个具有性质P的数列；
(2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值；
(3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值.
9．（2023·北京昌平·统考二模）若数列满足，则称数列为数列.记.
(1)写出一个满足，且的数列；
(2)若，证明：数列是递增数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在首项为1的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.
考法2：数列与不等式
一．解答题（共18小题）
1．（2023•安徽模拟）已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．
（1）求；
（2）设，若恒成立，求的取值范围．
2．（2023•合肥模拟）已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求证：．
3．（2023•湖北模拟）已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，求证：．
4．（2023•云南模拟）已知数列满足，．
（1）计算：，，，，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；
（2）若，，求的取值范围．
5．（2023•长沙模拟）已知数列满足，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列，证明：．
6．（2023•江西模拟）已知，抛物线与轴正半轴相交于点．设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：且．
7．（2023•宁波二模）已知等比数列的前项和满足．
（Ⅰ）求首项的值及的通项公式；
（Ⅱ）设，求满足的最大正整数的值．
8．（2023•江苏模拟）已知数列中，其前项和记为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设无穷数列，，，对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列．
9．（2023•浙江模拟）在数列中，，在数列中，．
（1）求证数列成等差数列并求；
（2）求证：．
10．（2023•锦州一模）记为数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设单调递增的等差数列满足，且成等比数列．
求的通项公式；
设，证明：．
11．（2023•宁波模拟）函数的图象为自原点出发的一条折线，当时，该函数图象是斜率为的一条线段．已知数列由定义．
（1）用表示，；
（2）若，记，求证：．
12．（2023•沈阳模拟）设，向量，，．
（1）令，求证：数列为等差数列；
（2）求证：．
13．（2023•山西模拟）已知正项数列的前项和满足关系式．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明，．
14．（2023•辽宁二模）已知数列是各项为正的等比数列，满足，．数列的前项和为且满足，，对任意恒成立．
（1）求，的通项公式；
（2）数列满足，求证：．
15．（2023•常州模拟）已知等比数列的前项和为，且，，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
16．（2023•山东模拟）在如图所示的平面四边形中，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，记．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
17．（2023•石家庄三模）已知各项均为正数的等比数列满足，，数列的前项和，满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围．
18．（2023•天津模拟）已知数列的前项和为，满足：．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，数列满足，，，记为的前项和，求证：；
（3）在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
考法3：数列与函数
一．解答题（共5小题）
1．（2023•凉山州模拟）已知对于任意，函数在点，处切线斜率为，正项等比数列的公比，且，又与的等比中项为2．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求取值范围．
2．（2023•赤峰模拟）①函数对任意有，数列满足，令．
②数列中，已知，对任意的，都有，令．
在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）数列是等差数列吗？请给予证明．
（2）设，，试比较与的大小．
3．（2023•浦东新区校级模拟）设函数．
（1）求函数在点，（1）处的切线方程；
（2）证明：对每个，存在唯一的，满足；
（3）证明：对于任意，由（2）中构成的数列满足．
4．（2024•天河区校级模拟）设函数，．
（1）①当，时，证明：；
②当，时，求的值域；
（2）若数列满足，，，证明：．
5．（2023•宝山区校级模拟）已知为正整数，对于给定的函数，定义一个次多项式如下：．
（1）当时，求；
（2）当时，求；
（3）当时，求．