新高考数学一轮复习重难点练习17导数在函数及方程中的应用（单调性、极值、最值、零点）（2份，原卷版+解析版）

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考法1：利用导数研究函数的单调性
考法2：利用导数求函数的极值
考法3：利用导数求函数的最值
考法4：导数与函数零点
二、命题规律与备考策略
1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导，
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或
递减）的。
= 3 \* GB3 ③在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
= 4 \* GB3 ④在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
2.利用导数求极值：
（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。
（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。
特别提醒：
= 1 \* GB3 ①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。
= 2 \* GB3 ②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
3.利用导数求最值：比较端点值和极值
（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
（2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤：
= 1 \* GB3 ①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；
= 2 \* GB3 ②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
三、题型方法
考法1：利用导数研究函数的单调性
一．解答题（共18小题）
1．（2024•北京模拟）设，函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求．
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系判断单调性即可；
（2）构造函数，分类讨论与，结合（1）中结论即可得解；
（3）构造函数，利用导数分类讨论的取值范围，结合的单调性即可得解．
【解答】解：（1）因为的定义域为，，
则，
令，得；令，得；
所以在单调递减，在单调递增．
（2）因为，所以等价于，
记函数，
当时，，不合题意；
当时，由（1）知，解得，；
综上，的取值范围是，．
（3）记函数，
则，
若，
令，得；令，得；
在单调递增，在单调递减，故（1），符合题意；
若，当时，，
则在单调递减，故，不合题意；
若，当时，，
则在单调递增，故，不合题意；
若，，当时，，则在单调递增，
故（1），不合题意．
综上，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
2．（2024•内江一模）已知函数，，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求函数的零点个数．
【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，进而即可求解；
（2）对函数进行求导，分别讨论和这两种情况进行分析，结合零点存在性定理进行求解即可．
【解答】解：（1）当时，，，，，
，
的单调增区间为，单调减区间为．
（2），，，，
①当时，在，上恒成立，在，上单调递增，
由知，在，上有0个零点；
②当时，存在唯一，使得，
当，时，，单调递增；当，时，，单调递减，
又，，
则若，即，在，上有0个零点，
若，即，在，上有1个零点．
故由①②知：当时，在，上有0个零点；当时，在，上有1个零点．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点，属于中档题．
3．（2023•德州三模）已知函数，其中．
（1）当时，求函数在，（1）处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若存在两个极值点，，的取值范围为，求的取值范围．
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求导后，分类讨论，根据导数的符号可得结果；
（3）根据存在两个极值点可得，且，，根据单调性可得，将化为，利用比值代换可求出结果．
【解答】解：（1）当时，，定义域为，
所以，
所以（1），
又（1），
所以函数在，（1）处的切线方程为，即．
（2）的定义域是，
，，
令，则△．
①当或△，即时，恒成立，
所以在上单调递增．
②当，即时，
由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；
当时，有两个极值点，即方程有两个正根，，
所以，，
则在，上是减函数．
所以，
因为，
所以
，
令，则，
，
所以在上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，
所以且，
所以实数的取值范围为．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
4．（2023•丰城市模拟）已知函数．
（1）设函数，判断的单调性；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）由已知，求其导函数，解不等式求函数的递增区间，解不等式，求函数的递减区间；
（2）由已知可得当时，恒成立，当时，利用多次求导证明函数恒成立，当，先证明，由此证明存在，当时，，由此确定的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
则，
当时，，当时，，当时，，
故在和上单调递减，在上单调递增．
（2）依题意，当时，恒成立．
令，，，则．
令，，，则．
令，，，则，
故在，上单调递增，
则，故，
即在，上单调递增，则．
当时，，此时单调递增，
从而，满足题意．
当时，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当且仅当时取等号．
所以，
从而．
又，在，上单调递增，
故存在唯一的实数，使得，
当时，，单调递减，
所以当时，，不合题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围为．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系及不等式的恒成立问题，对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立．
5．（2023•武功县校级模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由题意得函数定义域为，，分类讨论，，判断，，即可得出答案；
（2）由题意得，，则，题意转化为，是方程在上不相等的两个实数根，则△，，，可得的取值范围，题意转化为，构造函数，，利用导数研究的单调性和最小组，即可得出答案．
【解答】解：（1），函数定义域为，，
当时，，
当时，由得，由得，由得，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），，则，，则，
有两个极值点，，转化为，是方程在上不相等的两个实数根，
△，，，解得，
，
，
又不等式恒成立，转化为，
令，，则在上恒成立，
在上单调递减，
，
，
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值和极值，考查转化思想和函数思想、分类讨论思想，考查构造法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6．（2024•甘肃模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．
【分析】（1）将代入并求导，利用导数的几何意义即可求的切线方程；
（2）由在上单调递增可得，利用参变分离构造函数即可求得，解得的取值范围是，．
【解答】解：（1）当时，，
，易知，，
所以在点，处的切线方程为，即．
（2）令，
因为在上单调递增，
则，
即在上恒成立，也即在上恒成立，
令，
则，显然在上恒成立，
所以可知在上单调递减，；
因此只需满足即可，解得．
综上，的取值范围为，．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（2024•黑龙江模拟）已知函数，．
（1）求函数 单调区间；
（2）若过点，可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，解不等式，即可求得函数单调区间；
（2）设切点坐标为，，利用导数的几何意义求出切线方程，推出方程有三个不等实数根，构造函数，将方程根的问题转化为函数，图像的交点问题，利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，数形结合，即可求解．
【解答】解：（1），，
函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）由题意可得，设切点坐标为，，则切线斜率，
所以切线方程为，将代入得．
因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，
等价于函数的图象有三个交点，
设，则，
当时，，在上单调递增；
在和上，，在和上单调递减，
，（1），当时，；当时，，
画出的图象如图，
要使函数的图象有三个交点，
需，即，
故实数的取值范围．
【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
8．（2024•新疆一模）（1）讨论的单调性；
（2）记，试探究是否存在使在处取得极小值且恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求导后对进行分类讨论，再判断单调性即可；
（2）由恒成立且，可得，解得为必要条件，再在的基础上去证明能否使存在极小值且恒成立即可．
【解答】解：（1），
当时，，当时，，
当时，，故在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，可得或，
故当，即时，恒成立，
故恒成立，故在上单调递减；
当，即时，在或时小于0，
在时大于0，故在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，在或时小于0，
在时大于0，故在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，故在上单调递减，在上单调递增．
（2），由，，
故，即，
故为必要条件，下证充分性：
当时，，则，
令，则，
当时，，即，
当时，，
故在上单调递增，又，
即有时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，又，
故时，恒成立，
当时，，即，
综上所述，在上恒成立，
由在上单调递增，又，
故是函数的一个极小值点，
即存在，使在处取得极小值且恒成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用不等式恒成立求参数的值，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
9．（2024•汉中一模）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程的根为、，且，求证：．
【分析】（1）求出的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；
（2）求导分析的单调性，，推出，设直线与的交点的横坐标为，则，证明当，时，，即可得证．
【解答】解：（1）因为，，
所以定义域为，
，
所以在上单调递减，
即的单调递减区间为，无单调递增区间；
（2）证明：，，
当时，，当时，，
所以在上是单调递减，在，上单调递增，则，
当时，，
所以，且，
当时，，
所以，即，
设直线与的交点的横坐标为，则，
下面证明当，时，，
设，
令，
则，
当时，，当时，，
所以在，上是减函数，在，上增函数，
又因为，（1），
所以当时，，，
故当，时，，
设直线与的交点的横坐标为，
则，
所以，得证．
【点评】本题考查了利用导数确定函数的单调性以及求函数的最值，也考查了转化思想及分析、解决问题的能力，综合性较强，属于难题．
10．（2024•内江一模）已知函数．
（1）当时，试判断函数在上的单调性；
（2）存在，，，，求证：．
【分析】（1）（方法一）当，时，由可判断在上的单调性；
（方法二）当时，由，作出函数与图象，借助图象可判断在上的单调性；
（2）设，由可得，，，要证，只要证，利用分析法证得，从而得结论成立．
【解答】解：（1）（方法一）当时，，，
当时，，
所以，当时，函数在上单调递增．
（方法二）当时，，，
由，
結合函数与图象可知：当时，，，
所以两函数图象没有交点，且．
所以当时，．
所以，当时，函数在上单调递增．
（2）证明：不妨设，由得，，
．
设，则，
故在上为增函数，
，从而，
，
，
要证只要证，
下面证明：，即证，
令，则，即证明，只要证明：，
设，，则在单调递减，
当时，（1），从而得证，即，
，即．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与求最值，考查等价转化思想、数形结合思想的运用，考查逻辑推理、运算求解能力，是难题．
11．（2023•河南模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：；
（3）已知当时，，证明：．
【分析】（1）对求导，在直接判断不了的正负情况，再对其求二阶导并确定正负，从而确定单调性，再由此确定出的正负情况，即可讨论出的单调性．
（2）要证：，即证，构造新函数，，利用导数判断单调性，从而确定（1）．
（3）由（2）结合不等关系即可解决．
【解答】解：（1）定义域为，
，
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以在单调递增．
（2）证明：设，则，
设，则，单调递减，
又因为（1），
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以（1），即．
（3）证明：由（2）可知，，当且仅当时等号成立，
设．
当时，有，
所以，即，①，
当时，有，
所以，即，②，
由①②可令，其中，
故，．
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，构造函数证明不等式，属难题．
12．（2023•武昌区模拟）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【分析】（1）对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；
（2）（ⅰ）方程可化为，令，原方程可化为关于的方程有两个不等的实根，令，利用导数求出函数的单调性与极值，作出的大致图象，数形结合即可求解的范围；
（ⅱ）分析可得要证，即证，由，可得，推导出，即证．令，只需证．构造函数，，利用导数即可证得结论成立．
【解答】解：（1），，
，
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减．
综上：当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）（ⅰ）方程可化为，
即．
令．
函数在上单调递增，值域为，结合题意，关于的方程有两个不等的实根．
又不是方程的实根，方程可化为，
令，则，
易得函数在和上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值为（1），
作出的大致图象如图所示：
结合函数的图象可知，，即实数的取值范围是．
（ⅱ）证明：要证，只需证．
，只需证．
由（ⅰ）知，不妨设．
，，即，．
只需证，即只需证．
令，只需证．
令，，则，
在上单调递增，
故（1），即在上恒成立．
原不等式得证．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
13．（2023•济宁三模）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设、是函数的两个极值点．证明：．
【分析】（1）求得，对和1的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）分析可知方程在上有两个不等的实根、，根据二次方程根的分布可求得实数的取值范围，列出韦达定理，化简得出，利用导数证得函数在上的最大值小于，即可证得结论成立．
【解答】解：（1）因为，该函数的定义域为，
．
因为，由得：或．
①当，即时，对任意的恒成立，且不恒为零，
此时，函数的增区间为，无减区间；
②当，即时，由得或；由得．
此时，函数的增区间为、，减区间为；
③当，即时，由得或；由得．
此时函数的增区间为、，减区间为．
综上所述：当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为．
（2）证明：因为，其中，
，
因为有两个极值点、，
所以方程在上有两个不等的实根、，
所以，解得，所以．
所以
，
令，其中，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，
所以．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
14．（2023•惠州模拟）设函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，求证：．
【分析】（1）的定义域为，，对分类讨论，进而得出函数的单调性．
（2）要证：．即证明：，，其中，即证明：，亦需要证明，结合（1）的单调性，可得的最大值，证明其最大值小于函数的最小值即可．
【解答】解：（1）的定义域为，，
对分类讨论：
当时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减．
当时，，
令，解得，
①当，即，则恒成立，在上单调递增；
②当，即，令，则或，
在和上单调递增，
令，则，在上单调递减；
③当，即时，令，则或，
在和上单调递增，
令，则，
在上单调递减．
综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减．
当时，①当时，在上单调递增；
②当，在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）要证：．
即证明：，，其中，
需要证明：，
亦需要证明，
由（1）知，当，时，在上单调递增，在上单调递减．
在内有唯一极大值，即最大值为，
又，，，，
，即，
又设，，
当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
在时，有唯一极小值，即最小值为，
而，，
原结论成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、等价转化方法、分析与综合相互结合的方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，求证：（其中是自然对数的底数）．
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）由题意，是方程的两个根，即可得到，令则，则，只需证明当时，不等式成立即可．
【解答】解：（1）函数定义域为，
，
当时恒成立，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时令，解得或，
当，即时恒成立，所以在上单调递增；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
综上可得，当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在，上单调递增，在上单调递减；
当时在，上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：因为，
由题意，是方程的两个根，
所以①，②，
①②两式相加，得③，
①②两式相减，得④，
联立③④，得，
所以，
设，因为，所以，
所以，，
因为，所以，则，
若，则一定有，
所以只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，
设函数，，
所以在，上单调递增，故时，，
即证得当时，，即证得，
所以，即证得，则．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
16．（2023•宣化区校级三模）已知函数．
（1）若的导函数为，试讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由可求，再根据的导函数，讨论参数的范围即可得出的单调性；
（2）对任意的恒成立，转化为，令，讨论和时，函数的单调性，并根据函数值大于零，得出的取值范围．
【解答】解：（1）由已知，则，
①当时，，得在单调递减；
②当时，，
得在单调递减，在单调递增，
综上：当时，函数在单调递减；
当时，函数在单调递减，在单调递增．
（2）对任意的恒成立，即对恒成立，
整理得，令，
则求导得，注意到（1），而（1），
①当时，因为，故有，，
记，则，
利用（证明略）得，
所以，
所以在单调递增，故（1），
所以对任意的恒成立，
②当时，根据①中的放缩得，
若时，，不成立，
若时，当时，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
17．（2023•惠州模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处的切线方程为，且当对于任意实数，时，存在正实数，，使得，求的最小正整数值．
【分析】（1）求导后，分和两种情况讨论，但需注意定义域；
（2）先根据题意，求出实数，再由，得到，构造新函数后，得，结合，，得到的取值范围即可．
【解答】解：（1）函数的定义域为，且．
当时，，则函数在上单调递增；
当时，令，解得，
所以当时，，时，．
则函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知，
因为函数在处的切线方程为，
所以（1），解得．所以，
因为对于任意实数，时，存在正实数，，使得，
所以，可得，
即，
设，令函数，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故（1），
则，故．
设函数，
因为，可知函数在，上单调递减，
故，
解得或（舍去），
故的最小正整数值为3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性和能成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
18．（2023•天津模拟）已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，令．
①证明：当时，；
②若数列满足，，证明：．
【分析】（1）求出函数的导函数，再讨论的符号即可计算作答．
（2）①等价变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性即可；
②由已知证明，由①分析探讨，等价转化，再构造函数，利用递推变换即可作答．
【解答】解：（1）函数定义域为，求导得，
当时，恒成立，即在上单调递增，
当时，令，解得，
令，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，，
①证明：当时，，
令，
因为恒成立，
所以在上单调递减，，
因此，成立，
所以当时，．
②由①可知，当时，，
由得，即，由，可得，
而，又，即，
则，
由于，只需证，
又当时，，
令恒成立，
则在上单调递增，，
则当时，恒有，而，即成立，不等式成立，
因此成立，即成立，
所以原不等式得证．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题．
考法2：利用导数求函数的极值
一．解答题（共14小题）
1．（2024•乐山模拟）已知函数，，其中实数．
（1）当时，求在上的单调区间和极值；
（2）若方程有两个零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）直接对求导，根据导数符号与单调性的关系即可求解，进一步即可得到函数极值．
（2）由题意将问题的等价转换为方程有两个零点，通过求导发现在单调递增，进一步等价于有两个零点，通过求导可以发现只需的最小值小于0即可，再结合零点存在定理说明即可．
【解答】解：（1）由题知，当时，，
．
由，得；由，得．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
的极大值为，无极小值．
（2），．
可得．
令，可得，
在单调递增．
故有两个零点，等价于有两个零点．
可得，
当时，；
当时，，
在递减，递增，
可得．
令，，则，
设，则，．
，则，则．
，，
此时存在两零点，，其中，，且．
故．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、换元法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
2．（2023•青海一模）已知函数．
（1）当，时，证明：；
（2）试问是否为的极值点？说明你的理由．
【分析】（1）结合分析法，将问题转化成证明，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可证明结果；
（2）对求导，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得出在上单调递增，在上单调递减，又因为，再利用极值点的定义即可求出结果．
【解答】证明：（1），要证，
只需证，即证，
令，则，
则在，上单调递增，所以，
所以当，时，，
从而当，时，得证．
解：（2）因为，
所以的导数为，故，
当时，，当且仅当时取等号，
又，当时，，所以，
当时，令，则，
因为时，，所以，所以在上单调递增，
又，（1），所以，使，
所以当时，，当，时，，
所以当时，，即在区间上单调递减；
当，时，，即在区间，上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，又，
所以，当时，，当时，，
所以不是的极值点．
【点评】本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，函数的极值问题的求解，属中档题．
3．（2023•兴庆区校级四模）已知函数，其中，是自然对数的底数．
（1）当时，证明：对，，；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．
【分析】（1）当时，，求导，求出函数的最小值，进而即可证明；
（2）若函数在上存在极值，则在上存在零点．通过讨论的范围，对函数的零点分析求解即可；
【解答】（1）证明：当时，，，
当，时，，且，
所以当，时，，且时，，
函数在，上单调递增，，
所以，对，，．
（2）解：若函数在上存在极值，
则在上存在零点．
①当时，为上的增函数，
，
则存在唯一实数，使得成立，
当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数，
所以为函数的极小值点；
②当时，在上恒成立，
函数在上单调递增，在上无极值；
③当时，在上恒成立，
函数在上单调递减，在上无极值．
综上知，使在上存在极值的的取值范围是．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2023•兴庆区校级二模）已知函数．
（1）若是的极值点，求的单调区间和极值；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件可求，进而可求函数的单调区间及极值；
（2）由已知不等式恒成立考虑构造函数，结合导数分析函数性质，进而可求．
【解答】解：（1），
因为是函数的极值点，
所以（3），
所以，此时，
当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故函数的单调递增区间，，单调递减区间，
当时，函数取得极大值（1），当时，函数取得极小值（3）；
（2）由题意得恒成立，
故，
令，则，
①当时，，，单调递减，，，单调递增，
故时，取得最小值（1），
所以，
②当时，，，单调递减，或时，，单调递增，
此时（1），不符合题意；
③当时，在上单调递增，（a），不符合题意；
④当时，，，单调递减，或时，，单调递增，
此时（1），不符合题意；
综上，的取值范围为．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数与函数性质的综合应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
5．（2023•佛山一模）已知函数，，其中为实数．
（1）求的极值；
（2）若有4个零点，求的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值；
（2）由可得，令，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理求出参数的取值范围．
【解答】解：（1），，
，令，解得，令，解得，
在上单调递增，在，上单调递减，
在处取得极大值，即，无极小值；
（2）令，
，
，
令，
则，
设，则，
由，得；由，得，
在上单调递增，在上单调递减，
且（1），（3），，
即，（1）（3），
存在，使得，，
即，①，
故在上单调递减，在，上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，
故的极大值为（1），极小值为和
对①式两边取对数可得，②，
将①②代入，可得：
，
同理可得，
要使有四个零点，
则，解得，
又，
（5），
当时，有且仅有4个零点，即有4个零点，
实数的取值范围为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及极值点问题，零点存在性定理的应用，化归转化思想，属中档题．
6．（2023•新罗区校级模拟）已知函数．
（1）当时，函数在上有极小值，求实数的取值范围；
（2）当时，设是函数的极值点，证明：．（其中是自然对数的底数）
【分析】（1）由极值点的概念可知在有解，通过分离参数思想将零点问题转化为两图象交点问题，求出的范围，代入回结合极小值的概念即可得解；
（2）通过三角函数的有界性得出，构造函数，利用导数判断函数的单调性求出的最小值即可得结果．
【解答】解：（1）由题意知在上有极小值，
则在有解，
故，设，
因为在上单调递增，在上单调递减，，，
故在单调递增，
又，，所以．
当时，在单调递增，
又，，由零点存在定理可知，且，
此时当时，，当时，，
所以在上单调递减，
在上单调递增，故在上有极小值点．
因此实数的取值范围．
（2）证明：由题意知，故．
．
设，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因此成立．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系，还考查了函数性质及导数在不等式证明中的应用，属于中档题．
7．（2024•内江一模）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）对求导得到，再根据极值的定义即可求出结果；
（2）根据条件，分离常量得到，构造，将问题转化成求的最大值，即可求解．
【解答】解：（1）当时，，则，
由，得到，又，当时，，时，，
所以在处取到极小值，极小值为，无极大值．
（2）由恒成立，得到恒成立，即恒成立，
又，所以恒成立，
令，则，
令，则恒成立，
即在区间上单调递减，
又（1），所以当时，，时，，
即时，，时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故（1），所以，即．
所以，实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．
8．（2023•德阳模拟）已知函数．
（1）若是函数的极值点，求；
（2）函数恰有一个零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）求得，结合，即可求得实数的值；
（2）令，转化为方程只有一个根，令，求得，若时，求得单调性，得到函数有两个零点；若，得到函数有一个零点；若时，分、和，三种情况，得出函数的单调性，结合函数的极值，即可求解．
【解答】解：（1）由，可得，
是函数的极值点，可得，解得，
经检验，当时，符合题意，
实数的值为．
（2）令，即，即，
函数恰有一个零点，即方程只有一个实数根，
令，，可得，
①当时，，令，即，解得，
此时，函数在，，上有只有一个零点，符合题意；
②当时，令，解得或，
若时，即时，此时，
当时，，单调递增；
当，时，，单调递减；
当，时，，单调递增；
函数在上递增，在，递减，在，递增，
此时，当时，函数取得极大值，极大值为；
当时，函数取得极小值，极小值，
在，递减，
且当，可得，
如图（1）所示，此时函数在，，上有只有一个零点，符合题意；
若时，即时，此时，
当，，时，，函数在，上递增，
且，当，可得，
如图（2）所示，此时函数在，，上只有一个零点，符合题意；
若时，即时，此时，
当，时，，单调递增；
当，时，，单调递减；
当时，，单调递增．
函数在，上递增，在，递减，在递增．
且，且，
当，可得，
如图（3）所示，此时函数在，，上有只有一个零点，符合题意；
③当时，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，当时，函数取得极小值，且极小值为，
由时，可得（2），在有一个零点；
又由时，可得，
则，
令，可得△，
设方程的两个根分别为，，则，
在上以一个根，即在有一个零点；
综上，此时函数在，，上有两个零点，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性和极值，考查了函数思想及分类讨论思想，属于难题．
9．（2023•全国一模）已知函数．
（1）若，求证；函数的图象与轴相切于原点；
（2）若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围．
【分析】（1）当时，，得到，求导后得到，故在点，处的切线方程为，证毕；
（2）先证明出，当且仅当时，等号成立，三次求导后，结合第三次求导后的函数单调性及，分和两种情况，结合零点存在性定理进行求解，得到实数的取值范围．
【解答】（1）证明：因为，，，
又，
所以，所以在点，处的切线方程为，
所以函数的图象与轴相切于坐标原点．
（2）解：令，则，当时，，当时，，
故在处取得极小值，也是最小值，
故，所以，当且仅当时，等号成立，
，
令，，
令，，
当时，，
故在上为减函数，因为，所以当，
即时，，
所以为增函数，故，
所以为减函数，故函数在无极值点；
当时，当，因为为减函数，
又，，
故必存在，使得，当时，，为增函数，
当，时，，为减函数，而，故，
又因为，
所以必存在，，且当，，为减函数，
当，，为增函数，故在区间上有一个极小值点，
令，
因为，所以在上单调递增，
又因为，（1），所以总存在使，
且当时，，单调递减，，时，，单调递增，
当，，且，
故必存在，使得，，，为减函数，，，，为增函数，
因为，所以当，，即，
又因为，
故存在，，使得，
且当，，，为减函数，
当，，为增函数，
故在区间有一个极小值点，
所以若函数在区间，各恰有一个极值点，
综上：实数的取值范围是．
【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，还考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于难题．
10．（2023•无锡三模）已知函数，，．
（1）求的极值；
（2）求证：．
【分析】（1）求导数得，设，求导数确定函数的单调性即可确定的正负，从而得的取值情况即可确定的极值；
（2）由（1）可知，结合数列累加求和即可证明结论．
【解答】解：（1），
设，，所以在 上单调递增．
又，所以当 时，；当时，．又因为 对 恒成立，
所以当 时，；当时，，
即在区间 上单调递增，在区间上单调递减，
故，没有极小值．
（2）证明：由（1）可知，
所以，当且仅当时，取“”，
由①得，，，，
累加得；
由②得，，，
累加得．
综上所述，．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
11．（2023•迁西县校级二模）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求证：．
【分析】（1）求出的导数，通过讨论，两种情况结合函数的单调性讨论的极值即可；
（2）由（1）可知，当时，在上恒成立，令，可得恒成立，分别取，2，3，，累加求和可得：．
【解答】解：（1）的定义域是，
，
当时，，则为上的增函数，没有极值；
当时，令，解得：，
在递减，在递增，
是的极小值点，此时函数的极小值为（a）；
综上，当时，有极小值（a），无极大值，
当时，没有极值；
（2）证明：由（1）可知，当时，在上恒成立，
即在上恒成立，（当且仅当时，取等号），
令，可得，
分别取，2，3，，
可得，
，
，
．
累加求和可得：，
即得证．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论、方程与不等式的解法、裂项求和方法、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
12．（2023•简阳市校级模拟）已知函数．
（1）当时，求函数的极值．
（2）若有三个极值点，，，且，
①求实数的取值范围；
②证明：．
【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，确定函数单调性，进而求得函数的最小值；
（2）①当时，判断函数的单调性，说明不合题意，当时，根据导数判断函数的单调情况，结合零点存在定理，判断函数有三个零点，符合题意；
②由题意可判断三个零点的范围且满足，因为要证明，即，也即，又因为，故只要证明，故构造函数，利用其单调性证明即可证明结论成立．
【解答】（1）解：当时，，
令，则，
所以函数在上单调递增，
由（1），所以时，；
当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有极小值为，无极大值；
（2）①解：由，
所以，
因为，仅当时取等号，
于是，当时，，函数在上单调递增，
此时至多有一个零点，不符合，
当时，令，得，
当或时，，
当时，，
所以函数在和上单调递增，
在上单调递减，
注意到（1），当时，，
所以，，
又，，
令，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以（1），所以，
故，，
则，
，
因此在内恰有一个零点（即在有一个零点），
在内有一个零点，即，
在内有一个零点，
故有三个零点，则；
②证明：由题意知，又注意到，
所以，即，
当时，先证明不等式恒成立，
设，则，
所以函数在上单调递增，于是（1），
即当时，不等式恒成立．
由，可得，
因此，两边同除以，得，
而，故．
【点评】本题考查了利用导数求解函数的最值以及根据零点个数求参数范围和证明不等式问题，综合性强，计算量大，对学生的综合数学素养有很高的要求，解答时要能熟练应用导数的相关知识，比如求导，判断导数正负，判断单调性，解决函数零点问题等，解答的关键在于能根据要证明的不等式合理变式，从而构造恰当的函数，利用导数解决问题，属难题．
13．（2024•黑龙江模拟）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）证明：．
【分析】（1）进行二次求导，判断单调性，再求出极值即可；
（2）设函数在存在唯一零点，根据函数的单调性的函数的最小值，只要成立即可．
【解答】解：（1）当时，，
所以，
令在恒成立，
所以函数在单调递增，且（1），
所以当，，函数在上单调递减；
当，，函数在上单调递增；
所以函数在处取得极小值（1），无极大值．
（2）证明：当时，，
所以．
令在恒成立，
所以函数在单调递增，
且当时，；当时，，
所以函数在存在唯一零点，
即，
且当，，函数在上单调递减；
当，，，函数在，上单调递增，
所以函数在处取得极小值，也为最小值，
要证不等式成立，即证成立，
即
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属难题．
14．（2023•秦淮区校级四模）已知，函数，．
（1）当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；
（2）若，求证：．
【分析】（1）求导，根据导数与函数极值的关系求得与的极小值，即可求得的值；
（2）令，由，代入作差，可得，则不等式，可转化为，构造函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得其最小值，即可证明恒成立．
【解答】解：（1），定义域均为，，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
所以在取极小值，且（a）；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
所以在取极小值，且，
由，即，解得：，
所以的值为1．
（2）证明：令，因为，所以，
由可得：，所以，
由①②得：，所以，
要证：，只要证：，只要证：，
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只要证：，
令，，
所以在上单调递增，即有成立，所以成立．
【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值与最值的关系，考查函数的极值点偏移问题，考查函数思想，分类讨论思想，构造法，属于难题．
考法3：利用导数求函数的最值
一．解答题（共10小题）
1．（2024•拉萨一模）已知函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若方程有解，求实数的取值范围．
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数两次求导，得到导函数的单调性，进而得到最值；
（2）问题可等价于有解，设，利用导数研究函数的取值情况，即可得到答案．
【解答】解：（1）当时，，
则，
设，则，
由于在上单调递增，在上单调递增，
则在上单调递增，且（1），
令，可得，此时单调递减，
令，可得，此时单调递增，
所以（1）．
（2），即，
即．
设，则，
且，
设，则，
令，解得，此时单调递减，
令，解得，此时单调递增，
所以（1），
即，
所以在上单调递增，
所以方程有解，即在上有解，
即有解，即有解，
设，则，
令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
所以，且当时，，
所以，即实数的取值范围是．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
2．（2023•晋城一模）已知函数的图象在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式对于任意，恒成立，求整数的最大值．（参考数据：
【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答．
（2）利用导数求出函数在区间，上的最小值取值范围，再结合恒成立的不等式即可作答．
【解答】解：（1）函数，求导得：，
因为函数的图象在处的切线方程为，则（1），解得，
当时，，则（1），解得，
所以，．
（2）由（1）知，，，
令，，
则在上单调递增，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，（1），，
于是存在，，使得，
当或时，，当时，，
即有函数在，，上单调递增，在，上单调递减，而（1），，
显然函数在，上的最小值为（1）与中最小的，由得，
因此，函数图象对称轴，显然，以下比较，到的距离大小：
若，则有，，，
若，则，
从而函数在，上，
当时，有，即，显然，
综上，函数在，上的最小值在区间内，对于任意，恒成立，则有，
所以整数的最大值为3．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
3．（2023•甘肃一模）已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若曲线始终不在直线的下方，求的最大值．
【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
（2）由题意可得恒成立，通过构造函数求得单调性和最值，结合不等式恒成立思想，可得所求最大值．
【解答】解：（1）函数的导数为，
可得曲线在点，（1）处的切线的斜率为，
且切点为，
则切线的方程为，
即为；
（2）由曲线始终不在直线的下方，
可得恒成立．
设，
则．
由，当时，，，可得，
即有为递增函数，无最小值；
当时，由，解得；
由，解得，
即有在，递减，在，递增，
则在处取得极小值，且为最小值，
即有，
所以，．
设，，
则，
当时，，递减；当时，，递增，
则在处取得极大值，且为最大值，
所以，即的最大值为．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程、单调性和极值、最值，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
4．（2024•株洲模拟）已知函数在，（1）处的切线方程为，其中为自然常数．
（1）求，的值及的最小值；
（2）设，是方程的两个不相等的正实根，证明：．
【分析】（1）借助导数的几何意义，可得（1），（1），求出、的值，结合导数讨论单调性后，求出的最小值即可；
（2）构造函数，借助导数研究单调性后结合函数零点的存在性定理，可得1与在函数的两个零点之间，再证明结论即可．
【解答】解：（1），
由题意有（1）及（1），
由，可得，则（1），即，
故、，则，所以，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故有最小值；
（2）证明：令，，，
则，
则当，即时，，
当，即时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故
，
由，故，
又，当时，，
故有两个零点，不妨设两零点，有，
又（1），
由，故（1），
则，故．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想，属难题．
5．（2024•自贡模拟）函数的最小值为．
（1）判断与2的大小，并说明理由；
（2）求函数的最大值．
【分析】（1）先利用导数研究函数的单调性求出最小值，其中满足；再由得；，求出；最后利用对勾函数的单调性即可求解．
（2）先利用导数研究函数的单调性求出最大值，其中满足；再由及（1）中，，得；最后由函数在上单调递增，得，代入，即可求出结果．
【解答】解：（1）．理由如下：
由可得：函数定义域为；
．
，
在上单调递增．
，（1），
存在唯一的，使得，即．
当时，；当，时，．
即函数在上单调递减，在，上单调递增．
故．
，
；，
，即．
函数在上单调递减，
，即，
故．
（2），函数定义域为，
，．
在上单调递减．
当时，；当时，．
存在唯一的，使得，即．
当时，；当，时，，
即函数在上单调递增，在，上单调递减．
故．
，
，即．
由（1）知：，
则．
令，
函数在上单调递增，在上单调递增．
函数在上单调递增，
．
．
故函数的最大值为0．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、虚零点的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
6．（2023•内江一模）已知函数．
（1）求在区间，上的最值；
（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；
（2）设出切点坐标，表示出的斜率，整理得，由题知此方程应有3个解．令，根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】解：（1），（1分）
由解得或；由解得，
又，，于是在上单调递减，在上单调递增．（3分）
，
最大值是，最小值是．（5分）
（2）设切点，，
则，
整理得，（7分）
由题知此方程应有3个解．
令，
，
由解得或，由解得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减．（10分）
要使得有3个根，则，且（1），
解得，
即的取值范围为． （12分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
7．（2023•河南模拟）设函数．
（1）若，求函数在，上的最小值；
（2）若对任意的，，有，求的取值范围．
【分析】（1）当，求导，根据导数与函数单调性的关系，利用函数的单调性，即可求得在，的最小值；
（2）求导，分类讨论，再利用函数的单调性，即可求得的取值范围．
【解答】解：（1）当，，可得，
令，所以，设，，
因为，所以即在，上单调递增，
又因为，所以在，上恒成立，
所以即在，上的最小值为，
所以，在，上的最小值0；
（2）由，则，，所以，
①当时，，即在，上单调递减，
又，所以，与已知矛盾，舍去；
②当时，，所以在，上单调递增，
又因为，所以，所以在，上单调递增，
又因为，所以，所以在，上单调递增，
又因为，所以，满足题意；
③当时，在上单调递增，
又因为，，所以存在，满足，
当时，，所以在，单调递减，
又因为，所以，所以在，单调递减，
又因为，所以，所以在，单调递减，
又因为，所以，与已知矛盾，舍去，
综上所述，的取值范围为．
【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值（最值）的关系，考查分类讨论思想，计算能力，属于难题．
8．（2023•大武口区校级一模）已知函数．
（1）若且存在零点，求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值．
【分析】（1）利用函数的导数与单调性的关系确定函数的零点，极值点即可求解；
（2）根据不同取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系，讨论函数的极值，进而可求解．
【解答】解：（1）因为，所以，
①当时，，此时在单调递增，
，所以在存在唯一零点，
所以在存在唯一零点；
②当时，，所以在无零点；
③当时，，，
此时在单调递减，单调递增，
所以，且，
若存在零点，则只需要即可，
所以，
由①②③可得，实数的取值范围，；
（2）①当时，，此时在单调递增，
，当时与恒成立矛盾；
②当时，，则，所以，
③当时，，，
此时在单调递减，单调递增，
所以，
令，所以，，，
所以在单调递增，，单调递减，，所以，
由①②③可得，的最大值为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数零点问题，考查运算求解能力，属于难题．
9．（2023•济南模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若在，上单调递增，求的取值范围；
（3）若的最小值为1，求．
【分析】（1）由，（1），求导得，由导数的几何意义，可得切线的斜率，进而可得答案．
（2）由在区间，上恒成立，则，即可得出答案．
（3），，求导分析单调性，最值，即可得出答案．
【解答】解：（1）时，，则（1），，所以（1），
所以在，（1）处的切线方程为，
即．
（2）因为在，上单调递增，
所以在区间，上恒成立，所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，，
所以，所以单调递增，
所以，所以，
所以的取值范围为，．
（3），，
所以，，
所以，，
当时，，则，
令，则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，在上单调递增，且，
所以，当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，所以适合，
当时，当时，，
在上单调递减，，
，
所以在上单调递减，
此时，舍去，
当时，当时，，
在上单调递减，，
在上单调递增，，舍去，
当时，当时，，在上单调递增，
，
在上单调递减，
，
在上单调递增，
所以，舍去，
综上所述，．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于难题．
10．（2023•天津模拟）已知函数，其中．
（1）当时，求函数在点，（e）上的切线方程．（其中为自然对数的底数）
（2）已知关于的方程有两个不相等的正实根，，且．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）设为大于1的常数，当变化时，若有最小值，求的值．
【分析】（1）对函数求导数，求出在点，（e）处的斜率，最后求切线方程即可；
（2）（ⅰ）方程有两个不相等的正实根，等价于函数的图象与直线有两个交点，利用函数导数求出极值，再结合图象求出的取值范围即可；
（ⅱ）结合（ⅰ）及指对互化得，，从而把最小值化为的最小值，多次构造函数，求导，研究函数的单调性及最值，利用最值即可求解．
【解答】解：（1）当时，，，
（e），又（e），
函数在点，（e）上的切线方程为，即；
（2）（ⅰ）即，则有，，
设，，则，令，得，
令，得，令，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又趋向于0时，趋向负无穷，趋向于正无穷大时，无限趋向0，且，
函数的图象如下：
由题意，方程有两个不相等的正实根，
即方程有两个不相等的正实根，
函数的图象与直线有两个交点，
由图知，，故实数的取值范围为；
（ⅱ）（1），由（ⅰ）得，则，
，设，则，
即，，
由题意有最小值，即有最小值，
设，，则，
记，则，
由于，，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
又（1），（1），且趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，
故存在唯一，使得，
时，，即，在上单调递减，
时，，即，在，上单调递增，
时，有最小值，
而，则，即，
，
由题意知，令，
设，则，
设，则，
设，则，
故在上单调递增，，此时在上单调递增，
有，此时，故在上单调递增，
又（1），故的唯一解是，
故的唯一解是，即，
综上所述，．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．
考法4：导数与函数零点
一．解答题（共13小题）
1．（2024•南充模拟）已知函数，．
（1）设函数，求函数的单调区间；
（2）设函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【分析】（1），，求导分析的符号，单调性，即可得出答案．
（2）当时，（1），则方程的根为的根，即与有两个交点，进而可得答案．
【解答】解：（1），，
，
令，得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递减，
在，上，单调递增，
所以在，，上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，（1），
所以方程的根为的根，
因为函数有两个不同的零点，
所以与有两个交点，
又（1）知，，
所以或，
所以的取值范围为，，．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
2．（2024•永寿县校级模拟）已知函数，．
（1）当时，证明：在，上恒成立；
（2）当时，求在，内的零点个数．
【分析】（1）将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数在，上的最小值，进而可证；
（2）将代入函数的解析式中，将求解在，内的零点个数，转化为求 在，内的零点个数，利用导数求出在，内的单调性，由零点的存在定理判断零点的个数．
【解答】解：（1）证明：当时，，函数定义域为，，
可得，
易知函数在，上单调递增，在，上单调递增，
所以在，上单调递增，
又，
所以在，上恒成立， 在，上单调递减，
此时，
即在，上恒成立；
（2）当时，，函数定义域为，，
令，
整理得，
不妨设，函数定义域为，，
可得，
易知当，时，，，单调递减，
当时，，，，单调递增，
又，
所以是 的零点，
因为，，
所以函数在上存在一个零点，
故函数在，内有两个零点．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
3．（2024•乐山模拟）已知函数，，其中实数．
（1）当时，求在上的单调区间和极值；
（2）若方程有两个零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）直接对求导，根据导数符号与单调性的关系即可求解，进一步即可得到函数极值．
（2）由题意将问题的等价转换为方程有两个零点，通过求导发现在单调递增，进一步等价于有两个零点，通过求导可以发现只需的最小值小于0即可，再结合零点存在定理说明即可．
【解答】解：（1）由题知，当时，，
．
由，得；由，得．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
的极大值为，无极小值．
（2），．
可得．
令，可得，
在单调递增．
故有两个零点，等价于有两个零点．
可得，
当时，；
当时，，
在递减，递增，
可得．
令，，则，
设，则，．
，则，则．
，，
此时存在两零点，，其中，，且．
故．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、换元法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
4．（2024•昌乐县校级模拟）已知函数．
（1）若曲线在点，（1）处与轴相切，求的值；
（2）求函数在区间上的零点个数．
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）由，求得，分类讨论与的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在定理，即可判断出函数的零点个数．
【解答】解：（1）由题意得定义域为，
，
因为在点，（1）处与轴相切，且（1），
所以（1），解得．经检验符合题意．
（2）由（1）知，令，得，
当时，，当时，，
当时，，，函数在区间上单调递增，
所以（1），所以函数在区间上无零点；
当时，若，则，若，则．
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且（1），则（a）（1），而．
当，即时，函数在区间上有一个零点；
当时，即当时，函数在区间上无零点；
当时，，，函数在区间上单调递减．
所以（1），所以函数在区间上无零点．
综上：当或时，函数在区间上无零点；
当时，函数在区间上有一个零点．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（2024•南充模拟）设函数．为自然对数的底数）
（1）求在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）证明：有且仅有两个零点，，，且．
【分析】（1）先利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与，轴的交点坐标，则面积可求；
（2）利用导数研究的单调性，然后通过讨论零点所在区间以及两个零点间的关系证明结论．
【解答】解：（1）由题知，且，，
切线方程为，即，
令得，令得，
所以三角形的面积．
（2）证明：由题知，显然时，，
时，令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，（1），所以存在使得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，，（1），（2），
所以有且仅有两个零点，，且，，
由知，也成立，
又由知，
所以，即．
【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，同时考查利用导数研究函数零点的性质，属于中档题．
6．（2023•莆田模拟）已知函数．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，求证在上只有一个零点，且．
【分析】（1）根据题意和函数的单调性可得即在上恒成立，利用导数研究函数的性质求出即可求解；
（2）由函数零点的存在性定理可得，，使得，进而得出函数的单调性，结合、（2）即可证明函数在上只有一个零点；由得，将不等式变形为，则证明即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明．
【解答】解：（1）因为，所以，
由在上单调递减，得，即在上恒成立，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故，解得，
即的取值范围为，．
（2）证明：由（1）可知，在上单调递减，且，（1），
故，，使得，
当时，，函数单调递增；
当，时，，函数单调递减，
因为，（2），所以在上只有一个零点，
故函数在上只有一个零点，
因为，所以要证，即证，即证，
因为，得，
所以，故需证即可，
令，，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故（1），即，
原不等式即证．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（2023•四川模拟）已知函数．
（Ⅰ）是否存在实数使得在上有唯一最小值，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是，．
①求证：；
②求证：．
【分析】（Ⅰ）求导，根据的取值范围讨论函数的单调性与最值情况；
（Ⅱ）分离参数，根据函数有两个零点，可转为两函数有两个公共点，进而确定，且，，
①先证：，再证：，进而得证；
②若证，即证，设，构造，根据导数判断函数单调性与最值，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ），，则，，
当时，恒成立，函数单调增，没有最值；
当时，令，解得，负值舍去，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取到最小值，，解得，
所以存在满足条件的；
证明：（Ⅱ）由，得，
令，则，
令，解得，
函数在上单调递减，在单调递增，
故在上有唯一最小值点，
若方程有两个不同的零点，，
则，且，，
①函数的图象在点，处的切线方程分别为和，
且在内，在上，
先证：即，即，，
，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以；
再证：，即，
令，则恒成立，
所以在，上单调递减，所以（1），
令，，
即可得，，即；
②，则，
所以若证，即证，
即，即，即证，
即，
令，即证明，
令，显然（1），
，
令，
，，，
故在区间，上单调递减，
在区间，上单调递增，
又因，所以在区间上单调递增，
故（1），
所以在区间上单调递增，
所以（1），则不等式得证．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的零点，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．
8．（2024•天津模拟）已知函数，且．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且存在三个零点，，．
求实数的取值范围；
设，求证：．
【分析】（1）由题意，对函数进行求导，利用导数的几何意义再进行求解即可；
（2）根据存在三个零点，，，转化为两个函数有三个交点，再根据最值可求．
根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得．
【解答】解：（1）当时，，
可得，
此时（1），
又（1），
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）因为，且存在三个零点，，，
所以有3个根，
当时，，，
此时，
所以函数在上是单调递增，
由零点存在定理可得方程必有一个负根，
当，，
即有两个根，
不妨设，
此时直线与函数有两个交点，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，当时，，
所以，
则，
解得；
证明：因为，且存在三个零点，，，
不妨设，，，，，，
因为，
所以，
可得，，，
所以，①
由知直线与函数有两个交点，
当时，单调递增，
所以当时，，
又，
所以，②
即，，
若，
此时，
若，
不妨设，，
可得
，
不妨设，
可得，
因为，
又，
所以，③
因为，
又，
所以，
即，④
由③④知，在上单调递增，
当时，可得，
易知，
因为与同号，
所以，
所以函数在上单调递增，
此时，
所以，
即，
由知，
所以，，
当时，，单调递增，
所以，
由①②⑤可知．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9．（2024•扬州模拟）已知且，函数．
（1）若且，求函数的最值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）先求出函数的单调区间，进而得出函数的最值；
（2）将函数零点转化为方程根的问题，利用分离变量的方法，转化为两个函数图象的交点问题，进而求解结果．
【解答】解：（1）当时，函数，
故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
所以（1），
又因为（e），，
所以（e）；
（2）因为函数有两个零点
故有两解，
所以方程有两个不同的解，
即为函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，
令，故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
如图所示：
而，所以，所以，
令，
因为（1），，
所以在上有一个零点，
又当时，，，，
所以在上有一个零点，
所以函数有两个零点，即当时，函数有两个零点．
所以的取值范围为．
【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了构造函数求解综合问题的能力，考查了数形结合思想及函数思想，属于难题．
10．（2024•永寿县校级模拟）已知函数，．
（1）当时，求函数在，上的值域；
（2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）利用导数求得的单调区间，再求出函数在，上的值域；
（2）由，构造函数，利用导数，结合对进行分类讨论来求出的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，所以，
令，则，
所以，又，
所以在，上的值域为．
（2）函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在上仅有两个零点，
易求，因为，所以．
①当，时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，
所以在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为在上有两个零点，
所以，所以．
因为，，
令，
所以在上，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，
即当时，在上仅有两个零点．
综上，实数的取值范围是．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．
11．（2023•邯郸二模）已知函数．
（1）若单调递减，求的取值范围；
（2）若的两个零点分别为，，且，证明：．
（参考数据：
【分析】（1）由已知可得在时恒成立，由此可得，再利用导数求函数的最大值，由此可得的取值范围；
（2）令，则，由已知可得要证明只需证明，利用导数求的最小值即可证明结论．
【解答】解：（1）由得，，
因为单调递减，所以在时恒成立，
所以在时恒成立，即，
令，则，
可知时，，单调递增；时，，单调递减，
则时取最大值，
所以，即，所以的取值范围是．
（2）证明：因为有两个零点，，
令，则，
当时，，单调递增，不符合题意，
当时，由可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
由可知，，
要证明，只需证明．
由已知可得，化简得，
所以，
．
令，则，要证明，只需证明．
令，且，则，
令，且，则，
则在时单调递增，故，
故，则在时单调递减，
所以，即，则有，
所以，即原不等式成立．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
12．（2023•湖南模拟）已知函数且（1）．
（1）求在，上的最大值；
（2）设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围．
【分析】（1）先求出的值，再确定函数的单调性，即可求函数在，上的最大值．
（2）函数有3个零点方程有3个不相等的实根，令，求出的单调区间，即可得出结论．
【解答】解：（1），（1），，
即，，
在上、是增函数，在上是减函数，
又，（2），
在，上的最大值为2；
（2）函数有3个零点方程有3个不相等的实根，
令，则，
在上、，是增函数，在上是减函数，
又当时，；；；当时，，
实数的取值范围是．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，正确运用导数是关键，属于较难题．
13．（2023•德阳模拟）已知函数．
（1）若是函数的极值点，求；
（2）函数恰有一个零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）求得，结合，即可求得实数的值；
（2）令，转化为方程只有一个根，令，求得，若时，求得单调性，得到函数有两个零点；若，得到函数有一个零点；若时，分、和，三种情况，得出函数的单调性，结合函数的极值，即可求解．
【解答】解：（1）由，可得，
是函数的极值点，可得，解得，
经检验，当时，符合题意，
实数的值为．
（2）令，即，即，
函数恰有一个零点，即方程只有一个实数根，
令，，可得，
①当时，，令，即，解得，
此时，函数在，，上有只有一个零点，符合题意；
②当时，令，解得或，
若时，即时，此时，
当时，，单调递增；
当，时，，单调递减；
当，时，，单调递增；
函数在上递增，在，递减，在，递增，
此时，当时，函数取得极大值，极大值为；
当时，函数取得极小值，极小值，
在，递减，
且当，可得，
如图（1）所示，此时函数在，，上有只有一个零点，符合题意；
若时，即时，此时，
当，，时，，函数在，上递增，
且，当，可得，
如图（2）所示，此时函数在，，上只有一个零点，符合题意；
若时，即时，此时，
当，时，，单调递增；
当，时，，单调递减；
当时，，单调递增．
函数在，上递增，在，递减，在递增．
且，且，
当，可得，
如图（3）所示，此时函数在，，上有只有一个零点，符合题意；
③当时，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，当时，函数取得极小值，且极小值为，
由时，可得（2），在有一个零点；
又由时，可得，
则，
令，可得△，
设方程的两个根分别为，，则，
在上以一个根，即在有一个零点；
综上，此时函数在，，上有两个零点，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性和极值，考查了函数思想及分类讨论思想，属于难题．
0
单调递减
极小值
单调递增