新高考数学一轮复习重难点练习21统计案例（回归分析、独立性检验）（2份，原卷版+解析版）

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考法1：回归分析
考法2：独立性检验
题型方法
考法1：回归分析
一．选择题（共2小题）
1．（2023•梅州二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如表：
由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模的估计值为
A．B．C．D．
【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年的预测值，代入，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，
，即经验回归方程，
当时，，
，
即2025年该科技公司云计算市场规模的估计值为．
故选：．
【点评】本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
2．（2023•桃城区校级模拟）以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则，的值分别是
A．，B．C．D．2，
【分析】由，得，结合，即可求解．
【解答】解：由题意得，
由题意可知，，则．
又经验回归方程为，
，，即．
故选：．
【点评】本题考查线性回归方程的运用，是中档题．
二．多选题（共1小题）
3．（2023•向阳区校级模拟）以下四个命题中，说法正确的是
A．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好
B．若经验回归方程为，当解释变量每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位
C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1
【分析】由题意，根据相关系数、回归方程和残差图的定义对选项进行逐一分析，进而即可求解．
【解答】解：对于选项：在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，
当越接近1时，拟合效果越好，
若，则的拟合效果好，故选项正确；
对于选项：在经验回归方程为中，
一次项系数为0.8，
所以解释变量每增加1个单位，响应变量增加0.8个单位，故选项错误；
对于选项：残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高，故选项正确；
对于选项：样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查线性回归方程、相关系数等，考查了逻辑推理能力．
三．填空题（共1小题）
4．（2023•福州模拟）害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义．已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：有关，测得一组数据，，2，，，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为．若，则的值为 ．
【分析】将非线性模型两边同时取对数可得，再将样本中心点，代入回归方程可得，即可计算出．
【解答】解：对两边同时取对数可得，
即，可得，，
由，可得，，
代入，可得，即，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，属于中档题．
四．解答题（共16小题）
5．（2023•兴庆区校级四模）当前，短视频行业异军突起，抖音、快手、秒拍等短视频平台吸引了大量流量和网络博主的加入．红人榜的数据推出是体现各平台网络博主商业价值的榜单．每周一期，红人榜能反应最近一周网络的综合价值，以粉丝数、集均评论、集均赞，以及集均分享来进行综合衡量．红人榜单在统计时发现某平台一网络博主的累计粉丝数（百万）与入驻平台周次（周之间的关系如图所示．
设，数据经过初步处理得，，，，，，线性回归模型残差平方和．（其中、分别为观测数据中的周次和累计粉丝数）
（1）求出关于的线性回归模型的相关指数，若用非线性回归模型求得的相关指数，试用相关指数判断哪种模型的拟合效果较好（相关指数越接近于1，拟合效果越好）；
（2）根据（1）中拟合效果较好的模型求出关于的回归方程，并由此预测入驻平台8周后，对应的累计粉丝数为多少？
附参考公式：相关指数，与的线性回归方程中，，．参考数据：．
【分析】（1）由已知求得，与比较大小，即可得出答案；
（2）由已知数据求得与的值，可得关于的线性回归方程，取求得值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，故的拟合效果较好；
（2）由题意得，，，
，
关于的回归方程为，
当时，百万，
故预计入驻平台8周后，对应的累计粉丝数为2560万．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（2023•浙江模拟）在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，压力随着现代生活节奏的加快、社会竞争日趋激烈等逐渐增大．某市研究组为了解该市市民压力的情况，随机邀请本市200名市民进行心理压力测试评估，得到一个压力分值，绘制如下样本数据频率分布直方图．
（1）求的值，并估计该市市民压力分值位于区间，的概率；
（2）估计该市市民压力分值的平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（3）若市民的压力分值不低于70，则称为“高压市民”．研究组对“高压市民”按年龄段进行研究，发现年龄在30岁到50岁的“高压市民”有35人，年龄在30岁到50岁的“非高压市民”有25人，剩余“高压市民”的年龄分散在其它年龄段．为研究方便，记年龄在30岁到50岁为年龄段，其余为年龄段．根据所给数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关．
附：，其中．
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出，再由频率估计概率作答．；
（2）利用频率分布直方图估计压力分值的平均值作答；
（3）由（1）及已知完善列联表，求出，与临界值比对作答．
【解答】解：（1）依题意，，解得，
记“该市市民的压力分值在区间，”为事件，
则（C）．
（2）由频率分布直方图及（1）知，
所以．
（3）由（1）知，高压市民有人，年龄段的人数有35人，年龄段的人数为35人，
所以列联表为：
，
所以有的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
7．（2023•南通模拟）随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类让用户的生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉迷于手机游戏，极大地毒害了青少年的身心健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
（1）通过散点图分析，可用模型拟合与的关系，试求与的经验回归方程；
（2）甲和乙约定举行对战赛，每局比赛通关用时少的人获胜（假设甲、乙都能通关），两人约定先胜4局者赢得比赛．已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，若前3局中甲已胜2局，乙胜1局，求甲最终赢得比赛的概率．
参考公式：对于一组数据，，2，3，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
参考数据：，其中．
【分析】（1）先对两边取对数，将其转化为线性回归方程，再利用最小二乘法及参考数据即可得解；
（2）利用独立事件概率的乘法公式，结合接下去的对局情况求解即可．
【解答】解：（1）令，由，即，
，
，
，
，
，．
．
（2）记“甲最终赢得比赛”为事件，
则事件包含三种情况：
一是接下去进行两局比赛，甲都赢了；
二是接下去进行三局比赛，乙在前两局胜了其中一局，甲赢了剩余两局；
三是接下去进行四局比赛，乙在前三局胜了其中两局，甲赢了剩余两局；
故（A），
所以甲最终赢得比赛的概率为．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
8．（2023•博白县校级模拟）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：
他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（Ⅱ）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程；
（ⅱ）若广告投入量时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
【分析】（Ⅰ）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可．
（Ⅱ）利用回归直线参数计算方法，分别得到，，建立方程，即可．
把代入回归方程，计算结果，即可．
【解答】解：（Ⅰ）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，
说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高；
（Ⅱ）（ⅰ）剔除异常数据，即月份为3的数据后，得；
，
，
，
，
，
所以关于的线性回归方程为：；
（ⅱ）把代入回归方程得：，
故预报值约为62.04万元．
【点评】本题考查了回归方程的计算方法，属于中档题．
9．（2023•定远县校级模拟）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的“自主学习”，包括预习，复习，归纳整理等等，现在人们普遍认为课后花的时间越多越好，某研究机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为做出了以下统计数据，请根据表格回答问题：
（1）请根据所给数据绘制散点图，并且从以下三个函数从①；②：③三个函数中选择一个作为学习时间和平均的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；
（3）请根据此回归方程，阐述你对学习时长和成绩之间关系的看法．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
参考数据：
【分析】（1）根据所给数据可得散点图，根据散点图可得函数模型，即可得答案；
（2）由（1）中模型可得，设，，则，利用公式可求后者，即可得出答案；
（3）根据回归方程可得相应的看法．
【解答】解：（1）根据表格数据，作出散点图，如图所示：
由图象得最合适；
（2）由（1）得最合适，则对两边取以为底的对数得，
设，，则，
，，，
故，即，
；
（3）由（2）得，此回归方程为关于时间的增函数，说明随着学习时间的增加，学习成绩是提高的，但是函数的增速先快后慢，说明如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到120分左右时，想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法．
【点评】本题考查线性回归方程，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10．（2023•广州二模）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入和每件产品成本，2，3，，的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，．
（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；
（2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为．该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，．
【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；
（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值．
【解答】解：（1）令，则关于的线性回归方程为，
由题意可得，
，则，
所以，关于的回归方程为．
（2）由可得，
年利润，
当时，年利润取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．
【点评】本题主要考查线性回归方程，属于中档题．
11．（2023•金华模拟）全国“两会”召开的一项重要意义在于将“两会代表”从人民中得来的信息和要求进行收集及整理，传达给中央，“两会代表”代表着广大选民的利益，代表选民在“两会”期间向政府有关部门提出选民的意见和要求．如表是2011年至2020年历年全国政协提案的数量统计．
（1）请用相关系数说明与之间的关系可否用线性回归模型拟合？若能，求关于的一元线性回归方程；（运算结果精确到（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）
（2）中央政府回应2020年“两会”的热点议题“战胜疫情”，以令世界惊叹的中国速度、中国效率和中国奇迹，社会各阶层、各行各业迅速投身战“疫”行动，团结共进、众志成城．其中一个关键举措是2021年全国各地全面展开的疫苗接种．为方便市民合理安排疫苗接种，城市便民电子系统即时提供接种点相关信息，若某疫苗接种点上午和下午接种疫苗分别需要等待20分钟和40分钟，而甲、乙市民均在某日接种疫苗，且上午去接种疫苗的概率分别为，要使两市民需要等待时间的总和的期望值不超过60分钟，求实数的取值范围．
参考公式：相关系数，．
参考数据：．
【分析】（1）根据题中数据求得相关系数，比较可得结论；求出，，即可得出答案；
（2）设甲、乙两人需要排队的总时间为，确定的可能取值，求得每个值对应的概率，可得其分布列，求出其数学期望的表达式，列出不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，
，
相关系数，即，
所以线性相关程度很高，可用直线拟合；
由，
所以，
即关于的线性回归程为．
（2）设甲、乙两人需要排队的总时间为，则的可能取值为40，60，80，，，，
所以的分布列为：
因此，解得，
又，则，
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．（2023•重庆模拟）由个小正方形构成长方形网格有行和列．每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮．每次放白球的频率为，放红球的概率为，．
（1）若，，记表示100轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
求关于的回归方程，并预测时，的值（精确到
（2）若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：．
附：经验回归方程系数：，，，
【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值；
（2）确定的取值可能为0，1，2，根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望；
（3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论．
【解答】解：（1）由题意知，
故，
所以，
所以线性回归方程为：，
所以，估计时，，．
（2）由题意知：，，，，
则的取值可能为0，1，2，
记“含红球的行数为”为事件，，1，，记“每列都有白球”为事件，
所以，
，
，
所以的分布列为：
所以数学期望为．
（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为，
记“不是每一列都至少一个红球”为事件，所以（A），
记“每一行都至少一个白球”为事件，所以（B），
显然，，所以（A）（B），
即，所以．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
13．（2024•内江一模）某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和十三五规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额，2，，数据进行分析，建立了两个函数模型：，，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，2，，，经计算得如下数据：
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；（系数精确到
（3）若希望2024年盈利额为800亿元，请预测2024年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到
附：相关系数，参考数据：，．
回归直线中：，．
【分析】（1）计算相关系数得到，得到答案；
（2）根据公式计算，，得到回归方程；
（3）取，解方程得到答案．
【解答】解：（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，
，
，
，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．
（2）先建立关于的线性回归方程，由得，即，
，，
所以关于的线性回归方程为，即．
（3），即，，
，解得．
所以2024年的研发资金投入量的约为33.35亿元．
【点评】本题考查相关系数与回归方程的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
14．（2024•内江一模）某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额，2，，数据进行分析，建立了两个函数模型：；，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，2，，，经计算得如下数据：
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程．（系数精确到
附：相关系数
回归直线中：，．
【分析】（1）计算出两个模型的相关系数，判断即可；
（2）根据最小二乘法计算即可．
【解答】解：（1）设模型的相关系数为，模型的相关系数为，
对于模型，令，即，
所以，
对于模型，有，令，即，
所以，
因为，所以模型拟合度更好．
（2）因为，，
所以关于的回归方程为．
【点评】本题考查回归方程的求解，其中第二问中，需要对取对数得，求得关于的线性回归方程，再转化为关于的回归方程，是处理本题的难点和关键点，是中档题．
15．（2023•兴国县模拟）随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，人们掀起了学习古诗词的热潮，这也使得古诗词书很畅销．某书店统计了连续5天中第4天来购买古诗词书的人数2的相关数据，如下表所示：
（1）若与线性相关，求关于的线性回归方程，并预测第7天来购买古诗词的人数；
（2）在《2023年中国诗词大会》上集结了“少儿团”“青年团”“百行团”“亲友团”的诗词爱好者．某平台为了解喜欢古诗词与性别的关系，随机调查了40位男性，60位女性，其中不喜欢古诗词的男性有10人，女性有25人，能否有的把握认为喜欢古诗词与性别有关？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；，
【分析】（1）利用公式求出，，即可得出结论；
（2）完成列联表，计算，根据表中数据即可得出结论．
【解答】解：（1），，
，
，
，，
关于的线性回归方程为．
（2）由题意得，列联表如下：
，
所以有的把握认为喜欢古诗词与性别有关．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于中档题．
16．（2023•聊城二模）随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱．某“闹闹”水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
（1）经计算相关系数，变量，线性相关程度很高，求关于的经验回归方程；
（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望．
参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为．
【分析】（1）利用线性回归方程的计算公式计算对应数据即可；
（2）先确定“次数据”个数，列出分布列再计算其期望．
【解答】解：（1）由已知，得，，
，，
则，
，
所以关于的经验回归方程为．
（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
因此该样本的残差绝对值依次为0.2，1，1.2，1.4，1.4，
所以“次数据”有2个．
“次数据”个数可取0，1，2．
，，．
所以的分布列为：
则数学期望．
【点评】本题考查回归直线方程的求法，分布列以及数学期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
17．（2023•岳阳县模拟）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽油车）的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．
①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大．
附：为回归方程，．
【分析】（1）由题意得，，利用公式，即可得出答案；
（2）①求出购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，由（1）得该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，即可得出答案；
②由题意得，其中，则，，则，利用导数研究的单调性，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，，
，则，
关于的线性回归方程为，
则当时，即，解得，
故的最小整数值为12，年份，
故该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆；
（2）①由题意得该地区200位购车车主中女性有名，则其中购置新能源汽车的女性车主有名，
购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，
由（1）得当，即时，万辆，
该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人；
②由题意得，其中，则，，
则，
则，
由得或，由得，由得，
在，上单调递减，在，单调递增，
当，即，此时时，取得极大值也是最大值，，
故当为30名时，最大为．
【点评】本题考查线性回归方程和用样本数据估计总体，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（2023•南平模拟）五一小长假期间，文旅部门在某地区推出，，，，，六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格（单位：元；，2，，与购买该款套票的人数（单位：千人）的数据如下表：
（注，，，，，对应的值为1，2，3，4，5，
为了分析数据，令，，发现点，集中在一条直线附近．
（1）根据所给数据，建立购买人数关于套票价格的回归方程；
（2）规定：当购买某款套票的人数与该款套票价格的比值在区间上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：
①参考数据：，，，．
②对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【分析】（1）由最小二乘法得出变量关于的回归方程，再由，得出关于的回归方程；
（2）由，求出，得出乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”，再结合超几何分布求出随机变量的分布列和期望．
【解答】解：（1）散点，集中在一条直线附近，设回归直线方程为，
，，
变量关于的回归方程为，
，，，，
综上，关于的回归方程为．
（2）由，，解得，，58，67，77，
乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”，
则三人中购买“热门套票”的人数服从超几何分布，的可能取值为1，2，3，
，，，
的分布列为：
．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
19．（2023•池州模拟）有人搜集了某城市近10年居民年收入亿元（所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额万元的数据，并计算得，，，，建立商品销售额关于居民年收入一元线性回归模型，由公式计算得与的经验回归方程为．
（1）求和相关系数的值，并根据的值判断城市居民年收入与商品销售额的相关性强弱则认为与相关性很强，否则不强）
（2）2022年从该城市随机抽取1000户进行调查，家庭收入情况和购买商品户数数据统计如下表
以抽取的1000户中不同层次收入的家庭购买商品的频率估计相应收入家庭购买商品的概率，且各户居民是否购买商品互不影响，在该1000户中按家庭收入分层，用分层随机抽样方法从这1000户中抽取5户，这5户居民中有户居民购买商品，求的分布列及期望．
附：，，相关系数．
【分析】（1）由题意求出、，代入经验回归方程求出，再计算相关系数，与比较即可得出结论．
（2）由题意知随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，计算对应的概率值，写出的分布列，计算数学期望值．
【解答】解：（1）由题意知，，，，，
所以，，，代入经验回归方程中，得，
所以，
所以相关系数为，
由，所以城市居民年收入与商品销售额的相关性很强．
（2）由分层随机抽样方法知抽取的5户居民中有中等收入居民4户，他们购买商品的概率为，
有高收入居民1户，他们购买商品的概率为，分层随机抽取5户居民，则的可能取值有0，1，2，3，4，5；
计算，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望为．
【点评】本题考查了相关系数的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．
20．（2023•万州区校级模拟）某厂计划购买50台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需300元．在使用期间如果备件不足再购买，则每个要500元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了50台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据后得如图的柱状图．
以这50台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示2台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买2台机床的同时备用的易损零件数目，为购买机床时备用件数发生的概率．
（1）求时的最小值；
（2）求的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；
（3）将购买的机床分配给50名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元，根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为．
①试预测年龄为50岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；
②试根据的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．
附：下面三个计算回归直线方程的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的系数计算公式：，．
【分析】（1）计算出、、、的值，进而可求得满足时的值；
（2）根据题意可知，随机变量的可能取值有16、17、18、19、20、21，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并根据实际情况求得时的数学期望；
（3）①将代入回归直线方程可求得结果；
②根据相关系数公式结合已知数据求得的值，进而可得出结论．
【解答】解：（1）由图可知更换易损零件的频数为10的频率为，易损零件的频数为20的频率为，
将频率视为概率，且知每台机床易损零件的发生与否是相互独立的，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
；
，
所以的最小值为19．
（2）由（1）得，随机变量的可能取值为：16、17、18、19、20、21、22，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的分布列为：
当时，随机变量取值为16、17、18、19、20、21、22，
则购买易损零件所产生的实际费用数学期望为：
．
（3）①先根据回归方程易知，即50岁的技工日使用该机床产生的效益为100元．
②由方差计算公式知，
即等价化为，
同理，
又，，，
．
所以该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系．
【点评】本题考查考生能够在实际情景中从数学的视角发现问题、分析问题、建立模型、解决模型、改进模型；能对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，考查考生对概率知识、随机变量分布列、数学期望、回归分析、相关关系等概念的应用，考查考生的数据处理能力、逻辑推理能力、和运算求解能力及建模能力，体现了数学应用和数学转化的数学素养，落实了高考对数学应用性、综合性的考查要求，属于难题．
考法2：独立性检验
一．填空题（共1小题）
1．（2023•涪城区校级模拟）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 12 人．
参考数据及公式如下：
【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论．
【解答】解：设男生人数为，依题意可得列联表如下：
若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，
由，解得，
因为，为整数，
所以若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人．
故答案为：12．
【点评】本题考查了独立性检验的相关程度问题，解题时应利用教材中的数表，是基础题．
二．解答题（共20小题）
2．（2023•四川模拟）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某学校对学生是否经常锻炼的情况进行了调查．从本校学生中随机选取了800名学生进行调查了解，并将调查结果 “经常”或“不经常” 制成下表所示的列联表：
（1）通过计算判断，有没有的把握认为性别因素与学生锻炼的经常性有关？
（2）将频率视作概率．若该学校有4000名学生，估计该校经常锻炼的学生人数．
附表及公式：
其中，．
【分析】（1）由题意，根据表中数据代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
（2）先求出样本中经常锻炼的学生的频率，将频率视作概率，列出等式求解即可．
【解答】解：（1）易知，
所以我们有的把握认为性别因素与学生锻炼的经常性有关；
（2）易知在选取的800名学生中经常锻炼的有450名，
频率为，
若将频率视作概率，
则在该校4000名学生随机抽取一名学生，抽到经常锻炼的学生的概率为，
所以该校经常锻炼的学生人数为（名．
【点评】本题考查独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力．
3．（2024•永寿县校级模拟）为全面贯彻党的二十大和中央经济工作会议精神，落实国务院2023年重点工作分工要求，深入实施就业优先战略，多措并举稳定和扩大就业岗位，全力促发展惠民生，经国务院同意，2023年职业技能等级证书补贴政策正式公布，参加失业保险1年以上的企业职工或领取失业保险金人员取得职业资格证书或职业技能等级证书的，可申请技能提升补贴，每人每年享受补贴次数最多不超过三次，政策实施期限截至2023年12月31日．某机构从本市众多申报人员中随机抽取400人进行统计，得到他们的首次补贴金额的统计表（如下）
（1）根据上述列联表，判断是否有的把握认为首次补贴金额超过2000元与性别有关？
（2）从补贴金额不低于2000元的样本中按照分层抽样的方法随机抽取5人进行职业分析，再从这5人中随机抽取2人进行年收入评估，求抽取的2人中恰好是一男一女的概率．
附：．
【分析】（1）根据方公式计算，即可与临界值比较作答；
（2）根据分层抽样比求解个数，即可利用列举法，结合古典概型的概率个数求解．
【解答】解：（1），
所以没有的把握认为首次补贴金额超过2000元与性别有关．
（2）由题意知，按照分层抽样随机抽取5人中，男性有人，记为，，
女性有人，记为，，，
从，，，，人中随机抽取2人的所有基本事件有
，，，，，，，，，，共10种，
其中，2人中恰好是一男一女的事件有，，，，，，共6种．
所以抽取的2人中恰好是一男一女的概率为．
【点评】本题考查了独立性检验与古典概型的概率求法，考查了计算能力，是中档题．
4．（2023•内江一模）第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口联合举办．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮．某中学共有学生1200名，其中男生640名，女生560名，按性别分层抽样，从中抽取60名学生进行调查，了解他们是否参与过滑雪运动．情况如下：
（1）若，，求参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率；
（2）若参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少8人，试根据以上列联表，判断是否有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”．
附：
，．
【分析】（1）根据分层抽样原则可确定抽取的60名学生中，女生有28人，由此可列举出所有可能的取值结果，并确定的取值结果，根据古典概型概率公式可求得结果；
（2）根据可求得，的值，进而得到，由列联表可求得，对比临界值表可得结论．
【解答】解：（1）根据分层抽样原则知：抽取的60名学生中，女生有人，
若，，则所有可能的取值结果有，，，，，，，，，共9个；
其中满足的有，，，，共4个，
参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率为．
（2）由（1）知：，又，，，
，
，
没有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”．
【点评】本题考查古典概型，考查独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
5．（2023•青羊区校级模拟）2023年2月15日，四川省卫健委发布新版《四川省生育登记服务管理办法》，其中一条修订内容为“取消了对登记对象是否结婚的限制条件．”该修订内容在社会上引起了广泛的关注和讨论．某研究小组针对此问题，在四川某大学做了一项关于教职工、学生和学生家长对这一修订政策的态度调查，调查通过问卷形式完成，共回收了160份有效问卷．为了研究不同身份与对政策态度的相关性，该小组将人群分为“学生”、“教职工”、“家长”三种身份．被调查人需要对自己的态度区分为“支持政策”、“反对政策”和“有条件地支持（支持政策，但是认为需要对登记人再额外增加一些附加条件）”．研究结果如下表所示：
（1）为了研究校内人员身份（学生教职工）与态度之间的关系，研究小组将“支持政策”和“有条件地支持”两个分类合并为“比较支持”组．试问，我们是否有的把握认为，校内人员的身份（学生教职工）和态度（比较支持反对）有关？
（2）如果从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，求其中学生和学生同时被选中的概率．
参考公式：．
【分析】（1）根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）利用古典概型概率公式即可求解．
【解答】解：根据题目所给数据得到如下的列联表：
，
故有的把握认为校内人员的身份（学生教职工）和态度（比较支持反对）有关．
（2）从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，其中学生和学生同时被选中的概率．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
6．（2023•成都模拟）北京2022年冬奥会于2月20日胜利闭幕，广受参会运动员和世界人民好评，为了解居民对北京冬奥会了解程度，某社区居委会随机抽取600名社区居民参与问卷调查，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
（1）参与问卷调查的男性、女性居民中，得分不低于80分的频率分别是多少？
（2）将居民对北京冬奥会的了解程度分为“比较了解”和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成列联表，并判断是否有的把握认为“北京冬奥会的了解程度”与“性别”有关？
附：，．
临界值表：
【分析】（1）根据已知数据即可求得答案；
（2）由已知数据可得列联表，计算的值，与临界值表比较，即得结论．
【解答】解：（1）由已知表中数据可得参与问卷调查的男性、女性居民中，
男性得分不低于80分的频率为；
女性得分不低于80分的频率为；
（2）由题意可得列联表如下：
故，
故有的把握认为“北京冬奥会的了解程度”与“性别”有关．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
7．（2023•涪城区校级模拟）某工厂用两台不同机器和生产同一种产品各10万件．现从各自生产的产品中分别随机抽取20件进行质量鉴定，鉴定成绩如下所示：
机器生产的产品：93，92，87，76，73，72，70，85，76，66，84，83，79，78，77，76，75，69，68，66
机器生产的产品：93，78，92，91，89，82，81，80，78，77，76，82，81，75，75，74，88，86，84，78该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在，内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在，内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在，内的产品，质量等级为合格．将样本数据的频率视为整批产品的概率．
（1）完成下列表格，以产品等级是否达到良好及以上为判断依据，判断是否有的把握认为产品等级达到良好及以上与生产产品的机器有关．
（2）已知优秀等级产品的利润为12元件，良好等级产品的利润为10元件，合格等级产品的利润为5元件，机器每生产10万件的成本为20万元，机器每生产10万件的成本为30万元．该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差超过5万元，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器．你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？
参考公式：
，其中．
附表：
【分析】（1）由题意，结合所给信息补全表格，代入独立性检验公式中求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
（2）分别计算两个机器生产10万件产品的利润，两者作差看收益之差是否超过5万元，进而即可求解．
【解答】解：（1）由题意，补全表格：
则，
因为，
所以没有的把握认为产品等级达到良好及以上与生产产品的机器有关；
（2）易知机器每生产10万件产品的利润为（万元），
机器每生产10万件产品的利润为（万元），
因为，
所以该工厂会淘汰机器．
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
8．（2023•简阳市校级模拟）2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．
附表：
（1）求的值．
（2）现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名男生被第二次调查的概率．
【分析】（1）求出，再对照临界值表结合题意可得，即可得解；
（2）先根据分层抽样求出所抽取5人中男生和女生的人数，再根据古典概型即可得解．
【解答】解：（1）完成列联表如图所示：
，
由题意可得，解得，
又因，所以；
（2）由（1）得了解中国航天事业的学生有人，
其中男生有30人，女生有20人，
则所抽取5人中男生有人，设为，，，女生有人，
则从5人中再抽取3人的基本事件有种，
其中符合男生至少2人的基本事件有种，
则至少有2名男生被第二次调查的概率．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
9．（2023•武侯区校级模拟）环保部门随机调查了某市2022年中100天中每天的空气质量等级和当天到江边绿道锻炼的人次，整理数据得到下表（单位天）
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．
（1）估计该市2022年天）“空气质量好”的天数（结果四舍五入保留整数）；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：．
【分析】（1）由频数分布表得到空气质量等级为1或2的概率，从而得到“空气质量好”的概率，即可估计天数；
（2）根据题干数据完善列联表，计算出卡方，即可判断．
【解答】解：（1）依题意可得，该市一天的空气质量等级为1的概率为，
等级为2的概率为，
所以“空气质量好”的概率为，
所以该市2022年天）“空气质量好”的天数为（天．
（2）依题意列联表如下所示：
所以，
因此没有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
10．（2023•全国模拟）某校为了分析新教学模式与传统教学模式的差异，同时对采用两种教学模式的学生进行了一次专题测试，其中传统教学模式与新教学模式分别有160名、250名学生参与测试，得到如下数据：
（1）传统教学模式、新教学模式下学生测试成绩优秀的频率分别是多少？
（2）能否有以上的把握认为成绩是否优秀与教学模式有关？
附：，其中．
【分析】（1）根据频率公式计算即可；
（2）计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：（1）传统教学模式下学生测试成绩优秀的频率为，
新教学模式下学生测试成绩优秀的频率为．
（2），
有以上的把握认为成绩是否优秀与教学模式有关．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
11．（2023•江西模拟）国际足联世界杯，简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事年卡塔尔世界杯共有32支球参加比赛，共有64场比赛．某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：
（1）求的值，并完成列联表；
（2）若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
【分析】（1）根据男、女球迷各200名，把表格填完整；（2）直接代入公式计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得，解得．
列联表如下：
（2），因为，所以有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关．
【点评】本题考查独立性检验，属于基础题．
12．（2023•顺庆区校级三模）跑腿服务是随即时物流发展出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用跑腿服务的主要原因，随着消费者即时需求和节约时间需求提升，跑腿服务将迎来发展期．某机构随机统计了800名消费者的年龄（单位：岁）以及每月使用跑腿服务的次数，得到每月使用跑腿服务低于5次的有550人，并将每月使用跑腿服务不低于5次的消费者按照年龄，，，，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者中年龄不低于35岁的概率；
（2）估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者年龄的平均数与中位数（结果精确到0.1，每组数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）把年龄在，的人称为青年，年龄在，的人称为中年，把每月使用跑腿服务低于5次的消费者称为“使用跑腿服务频率低”，否则称为“使用跑腿服务频率高”，若800名消费者中有400名青年，补全列联表，并判断是否有的把握认为消费者使用跑腿服务频率的高低与年龄有关？
参考公式：，其中
附：
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；
（2）根据平均数和中位数的公式计算即可；
（3）根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，每月使用跑腿服务不低于5次的消费者中，年龄不低于35岁的概率为．
（2）由频率分布直方图可知，每月使用跑腿服务不低于5次的消费者年龄的平均数为，
设每月使用跑腿服务不低于5的消费者年龄的中位数为，
则，解得．
（3）根据题目所给数据得到如下的列联表：
，
所以，有的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关．
【点评】本题考查根据频率分布直方图计算频率、平均数、中位数，考查独立性检验，是中档题．
13．（2023•浑南区校级模拟）某超市为了解顾客是否购买某件商品与该商品的摆放位置的相关性，做了下面的试验：在第一个月内，将该商品摆放在收银台附近的位置，随机抽查200名顾客，有40名顾客购买该商品：在第二个月内，将该商品摆放在距离收银台较远的框架上，随机抽查200名顾客，有20名顾客购买该商品．
（1）填写下面的列联表，是否有的把握认为顾客是否购买该商品与摆放在收银台的距离远近有关？
（2）为了进一步调查顾客的购买情况，从两个月内购买该商品的顾客中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行电话回访，记抽到的3人中在第二个月内购买该商品的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，
【分析】（1）由题意，补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
（2）根据分层抽样的定义分别求出两个月中所抽的人数，得到的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
【解答】解：（1）列联表如下：
可得，
所以有的把握认为顾客购买该商品与摆放在收银台的距离远近有关；
（2）易知抽取人数中第一个月有（人，
第二个月有（人，
可得的所有可能取值为0，1，2，
此时，，，
则的分布列为：
故．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列的期望以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力．
14．（2023•安徽模拟）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮．为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：
（1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联？
（2）（ⅰ）从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件 “至少有2名是男生”，事件 “至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件 “至多有1名喜欢雪上运动的女生”．试计算（A）和的值，并比较它们的大小．
（ⅱ）（ⅰ）中与（A）的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．
参考公式及数据，．
【分析】（1）由所给列联表，求得，再依据小概率值的独立性检验即可得解；
（2）（ⅰ）要求，首先确定事件表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件，利用组合数进行求解概率即可，再通过条件概率求得（A）的值，进而可得（A）；
（ⅱ）根据条件概率的计算公式即可证明一般情形也成立．
【解答】解：（1）
假设：是否喜欢雪上运动与性别无关联．
根据表中数据，计算得到
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．
即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联．
（2）（ⅰ）由已知事件表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件，
因为，
（A），
所以（A）；
（ⅱ）由（ⅰ）得与（A）相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件，，，有（A），
证明过程如下：（A）（A），得证．
【点评】本题主要考查独立性检验，属于中档题．
15．（2024•南充模拟）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如表：
（1）是否有的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？
（2）现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出2人作为医学研究对象并免费治疗，求2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率．
附表：
参考公式：（其中
【分析】（1）根据表中数据，求出的观测值，再与临界值表比较即可得出结论；
（2）由分层抽样可得出慢性疾病有4人，没有慢性疾病有2人，列出从6人中任取2人的所有基本事件，利用古典概型的概率计算公式求结果即可．
【解答】解：（1）由题意可知：，
故有的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关．
（2）现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则抽出的6人中有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人．
设慢性疾病4人编号为，，，；无有慢性疾病2人编号为，．
现从6人中随机抽出2人共15种情况，其具体情况如下：
，，，，，，，，，，，，，，，
其中抽出的2人中恰有1个人患有慢性疾病，共8种情况，如，，，，，，，，．
故抽出的2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率为．
【点评】本题考查独立性检验、古典概型及其概率计算，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
16．（2024•甘肃模拟）第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看．为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛．
（1）完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？
（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
【分析】（1）根据题意即可完善列联表，代入计算可得，可知喜爱观看足球比赛与性别有关联；
（2）可确定抽取的8人中男生2人，女生6人，即可得的可能取值为0，1，2，分别求出其概率列出分布列可得期望值．
【解答】解：（1）根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为人，
可得列联表如下：
根据小概率值的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联．
（2）按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，
则的可能取值为0，1，2，
，
，
所以的分布列为：
．
【点评】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
17．（2023•汉滨区校级模拟）随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：
（Ⅰ）是否有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？
（Ⅱ）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记为抽取的2人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：．
【分析】（Ⅰ）根据参考公式，计算的值，并与附表中的数据对比，即可得出答案；
（Ⅱ）求出的所有可能取值及其对应的概率，可得的分布列，由期望公式即可求出的数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由列联表中数据，
可得，
因为，
所以没有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异；
（Ⅱ）由题意，选出的男性人数为，选出的女性人数为，
则抽取的2人中女生人数 的所有可能取值为0，1，2，
其中，
，
，
故的分布列为
所以的数学期望．
【点评】本题考查两个分类变量的独立性检验，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，属中档题．
18．（2023•德阳模拟）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言．为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男、女生各50人作为样本．设事件 “了解人工智能”， “学生为男生”，据统计，．
（1）根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
（2）将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解人工智能的学生的人数为，求使得取得最大值时的值．
附：
【分析】（1）根据条件概率求得人数填写列联表，代入公式后求出观测值，将其与临界值比较即可求解；
（2）根据二项分布求出概率，根据单调性列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）因为，
所以了解人工智能的女生为，
了解人工智能人数为，
则了解人工智能的男生有人，
结合男生和女生各有50人，填写列联表为：
则，
故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关．
（2）由（1）知，了解人工智能的频率为，
所以随机变量，
则
令，，
解得，又，
所以，
所以当时，取得最大值．
【点评】本题考查独立性检验，考查二项分布的概率，是中档题．
19．（2023•武功县校级模拟）某驾校对最近一年考驾照通过的情况进行了分析，在随机抽取的200名拿到驾照的学员中，包括女学员80名，没有补考经历的女学员有60名，男学员有补考经历的占．
（1）根据条件填写下列列联表，并分析能否有的把握认为是否有补考经历与性别有关？
（2）在通过考试的学员中，随机抽查了20名学员，其科目三补考次数如下（最多只能补考4次）
求这20名学员补考次数的平均数与方差．
参考公式：，．
参考数据：
【分析】（1）先算出男学员的总人数，再分别计算男学员补考和不补考的人数，从而完善列联表，代入卡方公式计算判断即可；
（2）利用平均数和方差计算公式计算即可．
【解答】解：（1）由题意，拿到驾照的男学员有名，
因为男学员有补考经历的占，所以男学员有补考经历的有名，
所以没有补考经历的男学员有名，又没有补考经历的女学员有60名，
所以有补考经历的女学员有20名，完善列联表如下：
则，
因为，所以没有的把握认为是否有补考经历与性别有关．
（2）由题意，这20名学员补考次数的平均数为，
这20名学员补考次数的方差．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
20．（2023•沙坪坝区校级模拟）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．某地卫健委有关部门统计了该地区1000名患者的相关信息，得到数据如下：
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为进一步研究该传染病的潜伏期与患者年龄的关系，按潜伏期进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100人，得到如下列联表：
将上述列联表补充完整，并据此判断是否有的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关？
，其中．
（3）若用样本估计总体，以频率近似概率，从该地区所有患者中随机抽取10人，则抽到的10人中潜伏期不超过8天的人数最有可能为多少？请说明理由．
【分析】（1）利用平均数的求法公式即可求解；
（2）根据题目所给数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出结论即可；
（3）先计算该地区每1名患者的潜伏期不超过8天发生的概率为，设抽取的10人中潜伏期不超过8天的人数为，则，，，1，2，，10，由，解出，由，可得，由此求解．
【解答】解：（1）由题意，这1000名患者的潜伏期的样本平均数为：．
（2）根据题意，补充完成的列联表如下：
则，
由于，
所以有的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关．
（3）由题意，该地区每1名患者的潜伏期不超过8天发生的概率为：．
设抽取的10人中潜伏期不超过8天的人数为，则，，，1，2，，10．
由，
即，
化简得．
又，所以，
即从该地区所有患者中随机抽取10人，则抽到的10人中潜伏期不超过8天的人数最有可能为9人．
【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
21．（2023•鼓楼区校级模拟）国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取2000人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是，，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”．整理分析数据得到下面的列联表：
单位：人
零假设为：运动时间与性别之间无关联．根据列联表中的数据，算得，根据小概率值的独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（1）如果将表中所有数据都缩小为原来的，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因．
（2）采用样本性别比例分配的分层随机抽样抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为：男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差．
附：，其中．
临界值表：
【分析】（1）求得将表中所有数据都缩小为原来的后的列联表，求得，即可得出结论；
（2）利用分层抽样的性质求总体的期望和方差即可．
【解答】解：（1）将表中所有数据都缩小为原来的后得到如下列联表：
，
根据小概率值的独立性检验，则认为运动时间与性别无关，
与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．
（2）男生抽取人，女生抽取人，
由已知男生运动时间的平均数为，样本方差为；
女生运动时间的平均数为，样本方差为，
所以样本均值为，
记样本方差为，则，
所以这名20同学运动时间的均值为2.2，方差为1.06．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码
1
2
3
4
5
云计算市场规模千万元
7.4
11
20
36.6
66.7
2
2.4
3
3.6
4
压力
高压市民
非高压市民
年龄段
年龄段
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
压力
高压市民
非高压市民
合计
年龄段
35
25
60
年龄段
35
105
140
合计
70
130
200
关卡
1
2
3
4
5
6
平均过关时间
（单位：秒）
50
78
124
121
137
352
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量
2
4
6
8
10
12
收益
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
7
30
1464.2
36
60
70
80
90
100
110
120
130
92
109
114
120
119
121
121
122
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
提案数量（单位：千件）
5.762
6.069
5.641
5.875
5.857
5.769
5.21
5.36
5.488
5.044
40
60
80
1
2
3
4
5
76
56
42
30
26
0
1
2
1
2
3
4
5
25
30
40
45
55
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
不喜欢古诗词
喜欢古诗词
总计
女性
35
25
60
男性
30
10
40
总计
65
35
100
试销单价（元
3
4
5
6
7
产品销量件
20
16
15
12
6
0
1
2
0.1
0.6
0.3
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
销量万辆
10
12
17
20
26
套票类别
套票价格（元
40
50
60
65
72
88
购买人数（千人）
16.9
18.7
20.6
22.5
24.1
25.2
1
2
3
收入情况
中等及以下收入
高收入
居民户数
800
200
购买商品居民户数
400
150
0
1
2
3
4
5
16
17
18
19
20
21
22
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
喜欢追星
不喜欢追星
总计
男生
女生
总计
性别
不经常
经常
合计
女生
200
300
500
男生
150
150
300
合计
350
450
800
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
2000元以下
不低于2000元
合计
男
160
40
200
女
140
60
200
合计
300
100
400
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参与过滑雪
未参与过滑雪
男生
20
女生
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
支持政策
反对政策
有条件地支持
合计
学生
30
5
5
40
教职工
20
45
25
90
家长
15
8
7
30
合计
65
58
37
160
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
比较支持
反对政策
合计
学生
35
5
40
教职工
45
45
90
合计
80
50
130
得分
，
，
，
，
，
，
，
男性人数
15
55
55
75
65
40
20
女性人数
10
30
35
90
70
25
15
不太了解
比较了解
总计
男性
女性
总计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不太了解
比较了解
总计
男性
125
200
325
女性
75
200
275
总计
200
400
600
产品来源情况
产品等级情况
机器
机器
总计
良好及以上
合格
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
产品来源情况
产品等级情况
机器
机器
总计
良好及以上
6
12
18
合格
14
8
22
总计
20
20
40
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
锻炼人次
空气质量等级
，
，
，
1（优
6
10
25
2（良
9
10
12
3（轻度污染）
7
8
7
4（中度污染）
3
2
1
人次
人次
空气质量好
空气质量不好
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
人次
人次
合计
空气质量好
35
37
72
空气质量不好
20
8
28
合计
55
45
100
优秀
不优秀
1
传统教学模式
40
120
新教学模式
120
130
合计
160
250
410
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
少于32场比赛
不少于32场比赛
总计
男球迷
女球迷
总计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
少于32场比赛
不少于32场比赛
总计
男球迷
100
100
200
女球迷
120
80
200
总计
220
180
400
青年
中年
合计
使用跑腿服务频率高
使用跑腿服务频率低
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
青年
中年
合计
使用频率高
145
105
250
使用频率低
255
295
550
合计
400
400
800
购买人数
未购人数
合计
商品摆放在收银台附近
商品摆放在距离收银台较远的框架上
合计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
购买人数
未购人数
合计
商品摆放在收银台附近
40
160
200
商品摆放在距离收银台较远的框架上
20
180
200
合计
60
340
400
0
1
2
喜欢雪上运动
不喜欢雪上运动
合计
男生
80
40
女生
30
50
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
喜欢雪上运动
不喜欢雪上运动
合计
男生
80
40
120
女生
30
50
80
合计
110
90
200
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
60
80
140
感染支原体肺炎
40
20
60
合计
100
100
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
喜爱看足球比赛
不喜爱看足球比赛
合计
60
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
喜爱看足球比赛
50
10
60
不喜爱看足球比赛
10
30
40
合计
60
40
100
0
1
2
更关注保暖性能
更关注款式设计
合计
女性
160
80
240
男性
120
40
160
合计
280
120
400
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
0
1
2
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
女生
合计
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
合计
70
30
100
没有补考经历
有补考经历
合计
男学员（单位：人）
女学员（单位：人）
合计
200
补考次数
0
1
2
3
4
人数
10
5
1
3
1
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.455
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
没有补考经历
有补考经历
合计
男学员（单位：人）
100
20
120
女学员（单位：人）
60
20
80
合计
160
40
200
潜伏期（单位：天）
，
，
，
，
，
，
，
人数
60
180
350
250
100
50
10
潜伏期天
潜伏期天
总计
60岁以上（含60岁）
50
60岁以下
24
总计
100
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
潜伏期天
潜伏期天
总计
60岁以上（含60岁）
35
15
50
60岁以下
24
26
50
总计
59
41
100
性别
运动时间
合计
运动达人
非运动达人
男生
1100
300
1400
女生
400
200
600
合计
1500
500
2000
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
运动时间
合计
运动达人
非运动达人
男生
110
30
140
女生
40
20
60
合计
150
50
200