新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题03 立体几何大题（2份，原卷版+解析版）

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线线平行
线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行
面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直的判定定理
一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
面面垂直的判定定理
一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
面面垂直的性质定理
两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
直线与平面所成角，(为平面的法向量).
二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
模拟训练
一、解答题
1．（22·23下·湖南·二模）如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点，．

(1)求的长度；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
2．（22·23下·绍兴·二模）如图，在多面体中，平面为正三角形，为等腰Rt.
(1)求证：；
(2)若平面，求直线与平面所成的线面角的正弦值.
3．（22·23·张家口·三模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
4．（22·23·湛江·二模）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
5．（22·23下·长沙·三模）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点在上.

(1)若平面，求；
(2)若是的中点，求二面角的正弦值.
6．（22·23下·湖北·二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面.
(1)求的最小值；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
7．（22·23·深圳·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
8．（22·23下·温州·二模）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．
(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
9．（22·23下·浙江·二模）如图，四面体，为上的点，且与平面所成角为，
(1)求三棱锥的体积；
(2)求二面角的余弦值.
10．（22·23下·襄阳·三模）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
11．（22·23·唐山·二模）如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，，M是的中点．

(1)证明：．
(2)求二面角的正弦值．
12．（22·23下·盐城·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
13．（22·23下·江苏·三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.

(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
14．（22·23下·镇江·三模）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
①与平面所成角相等；②三棱锥体积为；③

(1)平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求点到平面的距离.
15．（22·23下·江苏·一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
16．（22·23下·河北·三模）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点．

(1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由；
(2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表面积为．以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点的坐标．
17．（22·23·汕头·三模）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点.

(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；
(2)若四棱锥的体积为，设平面平面，求的最小值.
18．（19·20下·临沂·二模）如图①，在中，B为直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF将折起，使，得到如图②的几何体，点D在线段AC上．

(1)求证：平面平面ABC；
(2)若平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．
19．（22·23下·广州·三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.
20．（22·23下·长沙·一模）斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．
(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点到平面的距离．
21．（22·23下·长沙·三模）如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且∥平面.
(1)求三棱锥的体积；
(2)平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：.
22．（22·23·衡水·一模）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.
(1)若直线平面，求证：平面；
(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.
23．（22·23下·湖北·三模）已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
24．（22·23下·武汉·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)求证：平面平面PBC；
(2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.
25．（22·23下·黄冈·三模）如图1，在四边形中，，．将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体．

(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若为上一动点，且二面角的余弦值为，求的值．
26．（22·23·德州·三模）图1是直角梯形，，，，，，四边形为平行四边形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．

(1)求证：平面平面；
(2)在线段上存在点使得与平面的正弦值为，求平面与所成角的余弦值．
27．（22·23·山东·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，．

(1)证明：；
(2)若为线段的靠近点的四等分点，判断直线与平面是否相交？如果相交，求出到交点的距离，如果不相交，说明理由．
28．（22·23·黄山·三模）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．

(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；
(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．
29．（22·23·菏泽·三模）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．

(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
30．（22·23·福州·三模）如图，在三棱锥中，底面，，，将绕着逆时针旋转到的位置，得到如图所示的组合体，为的中点.

(1)当为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；
(2)当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.
31．（22·23·福州·二模）如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.

(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.
32．（22·23·三明·三模）如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.

(1)当时，证明并求四棱锥的体积；
(2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值.
33．（22·23·宁德·一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．
(1)若为的中点，求四棱锥的体积；
(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
34．（22·23·龙岩·二模）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．

(1)求侧棱的长；
(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
35．（22·23下·浙江·二模）如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．
(1)若点是的重心，证明；点在平面内；
(2)求二面角的正弦值．
36．（22·23下·浙江·三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.
(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.
37．（22·23下·苏州·三模）如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且，平面，垂足为平面，垂足为，连接并延长交于点.

(1)求二面角的余弦值；
(2)在平面内找一点，使得平面，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.
38．（22·23·沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
39．（23·24上·永州·一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．

(1)求证：平面；
(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
40．（22·23·潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．