新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题05 导数大题（2份，原卷版+解析版）

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单调递增，单调递减
极值
极值的定义
在处先↗后↘，在处取得极大值
在处先↘后↗，在处取得极小值
两招破解不等式的恒成立问题
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
(1)分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
常用函数不等式：
①，其加强不等式；
②，其加强不等式.
③，，
放缩
，
利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.
证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明（或）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（2）证明（或）（、都为正数）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
模拟训练
一、解答题
1．（23·24上·郴州·一模）已知函数.
(1)若曲线在处切线与轴平行，求；
(2)若在处取得极大值，求的取值范围.
2．（22·23下·烟台·三模）已知函数，其中．
(1)讨论方程实数解的个数；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
3．（22·23·广州·三模）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)讨论函数的零点个数．
4．（23·24上·宁波·一模）已知函数（e为自然对数的底数，）.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，
5．（22·23下·镇江·三模）已知函数.
(1)若有两个极值点.求实数的取值范围.
(2)在（1）的条件下，求证：.
6．（22·23下·无锡·三模）已知函数.
(1)求的极值；
(2)求证：.
7．（22·23下·浙江·二模）设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
8．（22·23下·苏州·三模）设函数.
(1)从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围；
①当时，；
②在上单调递增.
(2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大.
9．（22·23下·江苏·三模）已知函数，.
(1)若与的图象恰好相切，求实数a的值；
(2)设函数的两个不同极值点分别为，（）.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）
10．（22·23下·河北·三模）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若为函数的导函数，有两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
11．（22·23·深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
12．（22·23下·长沙·三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有三个零点，且在处的切线经过点，，求证：.
13．（22·23下·湖南·二模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)证明：方程有三个不等实根．
14．（22·23下·长沙·二模）已知函数.
(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；
(2)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.若时，函数是“恒切函数”，求证：.
15．（22·23下·湖北·三模）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若，在内存在不等实数，使得，证明：．
16．（22·23下·武汉·三模）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
17．（22·23·保定·二模）已知函数，其中常数，是自然对数的底数．
(1)若，求的最小值；
(2)若函数恰有一个零点，求a的值．
18．（22·23下·武汉·三模）已知，其中.
(1)若，讨论的单调性；
(2)已知是的两个零点，且，证明：.
19．（22·23下·黄冈·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，设两实数，其中，且.证明：.
20．（22·23·德州·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
21．（22·23·日照·三模）已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.
22．（22·23·菏泽·三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)若，且在上恒成立，证明：．
23．（22·23·沧州·三模）已知函数，.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的，，为自然对数的底数.
24．（22·23·三明·三模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.
25．（22·23·厦门·三模）已知函数.
(1)若，设，讨论函数的单调性；
(2)令，若存在，使得，求的取值范围.
26．（22·23·龙岩·二模）已知函数，．
(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；
(2)若，且，证明：．
27．（22·23下·温州·三模）已知函数.
(1)证明：函数在上有且只有一个零点；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)设，若对任意的恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值.
28．（22·23下·浙江·二模）已知函数，．
(1)求证：；
(2)若函数有三个不同的零点，，．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
29．（22·23下·绍兴·二模）设函数，其中.
(1)当时，求函数的值域；
(2)设，当时，
①证明：函数恰有两个零点；
②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.
30．（22·23下·浙江·三模）已知函数.
(1)令，讨论的单调性；
(2)证明：；
(3)若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
31．（22·23下·江苏·三模）已知函数，．
(1)若，证明：当时；
(2)当时，，求a的取值范围．
32．（22·23·保定·二模）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程．
(2)若的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．
33．（22·23·深圳·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.
34．（22·23·衡水·一模）已知函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
35．（22·23下·广州·三模）已知函数，.
(1)讨论零点的个数；
(2)当时，若存在，使得，求证：.
36．（23·24上·永州·一模）已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)若时，，求实数的取值范围．
37．（22·23下·襄阳·三模）已知：函数，且，.
(1)求证：；
(2)设，试比较，，，的大小.
38．（22·23·潍坊·三模）已知函数有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
39．（22·23·山东·二模）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求，；
(2)若函数有两个零点，，且，证明：．
40．（22·23·宁德·二模）已知函数 ．
(1)当且时，求函数的单调区间；
(2)当时，若函数的两个极值点分别为，，证明：．