新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题一5 球体外接内切综合问题小题（2份，原卷版+解析版）

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球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝eq \f(4,3)πR3
球的切接概念
空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
墙角模型（三条直线两两垂直）
补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
直棱柱外接球之汉堡模型
（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理
直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）
底面外接圆的半径r的求法
（1）正弦定理
（2）直角三角形：半径等于斜边的一半
（3）等边三角形：半径等于三分之二高
（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半
正棱锥类型
, 解出
侧棱垂直与底面-垂面型
侧面垂直与底面-切瓜模型
如图：平面 平面 ( 为小圆直径)
（1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长;
（2）在中,可根据正弦定理,解出
如图：:平面平面
（1）确定球心的位置,由图知三点共线;
（2）算出小圆面半径,算出棱锥的高
（3）勾股定理:
，解出
内切球
如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
（2）设内切球半径为,建立等式:
（3）解出
结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
模拟训练
一、单选题
1．（22·23下·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积.
【详解】因为，故，
故的内切圆的半径为.
因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，
故外接球的半径为，
故外接球的的表面积为.
故选：D.
2．（22·23·福州·二模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，， ，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作平面，垂足为，结合可得为的外心，则，则，可得，进而可得，设为球心，为球的半径，结合勾股定理可得，进而求解.
【详解】过点作平面，垂足为，
因为，
所以为的外心，
则（为的外接圆半径），
则，所以，
,
设为球心，为球的半径，则，
因为，
解得，
所以球的体积为.
故选：C.
3．（22·23下·南京·二模）直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】设，则，依题意可得旋转后得到的几何体为圆锥，根据外接球的表面积求出球的半径，设外接球的球心为，则球心在直线上，利用勾股定理得到方程，即可求出.
【详解】设，因为，所以，
绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为，
所以，解得，
设外接球的球心为，则球心在直线上，所以，解得.
故选：D
4．（22·23·德州·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点为上靠近的三等分点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理可得三角形的外接圆半径为，根据勾股定理即可求解外接球半径，进而可求表面积.
【详解】由题意可得
所以在三角形中，由等面积法可得,
设三角形的外接圆半径为，圆心为,则由正弦定理得，
由于平面,设三棱锥外接球的半径为,球心到平面的距离为，
过作,则，因此,
故外接球的表面积为,
故选：A

5．（22·23下·厦门·二模）西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（ ）
A．494mlB．506mlC．509mlD．516ml
【答案】A
【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球的体积公式和球缺的体积求解即可.
【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，
依题意，，为球心，为壶口所在圆的圆心，所以，
因为，所以，且，，
所以球的半径，所以球缺的高，
所以球缺的体积，
所以该壶壶身的容积约为：.
故选：A.
6．（22·23下·莆田·二模）某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.
【详解】设半球的半径为，因为，
所以，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，
所以，
所以该实心模型的体积为，
所以制作该模型所需原料的质量为
故选：C
7．（22·23·邯郸·二模）如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）.则该机械插件中间部分的体积约为（）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据球的截面的性质由条件求出球的半径，切除掉的“球缺”的高，结合球的体积公式和“球缺”的体积公式可得结论.
【详解】过球心和“球缺”的底面圆的圆心作该几何体的截面，可得截面图如下：
由已知可得，设为的中点，
则，
由已知可得，又，
所以，
由求得截面性质可得为以为斜边的直角三角形，
所以，即球的半径，
所以以为球心，为半径的球的体积，
又，所以，
因为球的半径，，
所以“球缺”的高为，
所以一个“球缺”的体积，
所以该机械插件中间部分的体积约为.
故选：C.
8．（22·23·黄山·三模）如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据球的表面积求得求得半径，再根据题意得出当时，点到底面的距离最大，求出点到底面的距离即可求出最大值.
【详解】因为球的表面积为，所以，
由题意知底面三角形的面积为定值，要使四面体体积的最大，只须顶点到底面的距离最大即可，
又因为平面平面，可知当时，点到底面的距离最大，
外接圆的半径，则到面的距离为，且到面的距离为，
设点到平面的距离为，则，解得，
此时体积最大值为.
故选：B.
9．（22·23下·广州·三模）已知克列尔公式：对任意四面体，其体积和外接球半径满足，其中，，，，，，分别为四面体的三组对棱的长.在四面体中，若，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出四面体的体积和p的值，利用克列尔公式即可求得四面体外接球半径，即可求得外接球的表面积.
【详解】如图，设E为的中点，连接，

由于，故，
而平面，则平面，
而，，
故，
则四面体的体积为
，
由题意，
故可得，
解得，
故该四面体的外接球的表面积为，
故选：C
10．（22·23下·岳阳·三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，， 二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据球心到三棱锥各顶点的距离相等， 作出辅助线，找到球心，求出外接球半径，结合二面角的平面角的定义，求出三棱锥的高、底面积，得到三棱锥的体积.
【详解】取的中点，连接，
因为， 所以到的距离相等，
故即为球心．
由球的表面积等于，设外接球半径为，故，
解得，过作垂直于于点，
因为，，所以，同理，
过点作，且，则，是二面角的平面角，，过点作，垂足为点.
因为，，且两直线在平面内，所以平面，
又平面，所以，,且两直线在平面内，所以平面，
则为三棱锥的高，
故三棱锥的高为，
其中，
所以三棱锥的体积．
故选：B.
11．（22·23下·长沙·二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点为，连接，可证为外接球的球心，故可求半径，从而可得球的表面积.
【详解】
取的中点为，连接，
因为平面，而平面，故，
故.
同理，而，平面，
故平面，而平面，故，
故，
综上，为三棱锥外接球的球心，
而，故外接球的半径为3，
故球的表面积为，
故选：C
12．（22·23·佛山·二模）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（ ）
（参考数据：，，，）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为，而圆台一个底面的半径为，再根据球、圆柱和圆台的体积公式即可求解．
【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为（m），而圆台一个底面的半径为（m），
则（m3），
（m3），
（m3），
所以（m3）．
故选：A．
13．（22·23·泰安·二模）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图所示的池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为.已知盆中有积水，将一半径为1的实心铁球放入盆中之后，盆中积水深变为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，这个刍童为棱台，求出棱台的高，从而求出放入球后水面的高度和边长，再将棱台的体积减去水中球的体积即可得解.
【详解】根据题意可知，这个刍童为棱台，
如图，为垂直底面的截面，则棱台的高为，
因为盆中积水深变为池盆高度的一半，
所以水面边长为，高为，
则实心球只有一半在水中，
所以该盆中积水的体积为.
故选：D.
14．（22·23下·江苏·一模）三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.
【详解】不妨设正方体的边长为，球О的半径为R，则圆柱的底面半径为a，
因为正方体的体对角线即为球О直径，故，
利用勾股定理得：，解得，球的表面积为，
故选：C.
15．（22·23·邯郸·三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，的中点，连，，，，证明是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径；是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径，设，求出，根据球的表面积公式可求出结果.
【详解】取的中点，的中点，连，，，，
因为平面，平面，所以，，，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在直角三角形中，是斜边的中点，所以，
在直角三角形中，是斜边的中点，所以，
所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.
因为，是斜边的中点，所以，
因为， 是斜边的中点，所以，
所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.
设，则，
则，，
所以.
故选：B.
16．（23·24上·汕头·一模）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，点分别是的中点，，，则（ ）
A．三棱锥的体积为16B．三棱锥的表面积为
C．球的表面积为D．球的体积为
【答案】D
【分析】先根据题中给出的的长度，可知，，继而平面PBC；再根据数量关系证明，进而可构造出包含三棱锥的长方体，从而可求出三棱锥的体积和表面积，根据三棱锥的外接球也是长方体的外接球，从而求得外接球表面积和体积.
【详解】由，，
得，，可得，，
又，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
又平面PBC，所以，
因为D，E分别是PB，BC的中点，且，所以，，
又，所以，有，得，
故两两互相垂直，故可将三棱锥放在长方体中，如图：
则三棱锥外接球的直径等于该长方体的对角线，设其外接球的半径为R，
则，所以，所以球的表面积为，
球的体积为，故选项C错误，D正确.
三棱锥的体积为，
在中，，点分别是的中点，
则的高，所以，
三棱锥的表面积为，
故选项AB错误.
故选：D.
17．（22·23·梅州·一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出点到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.
【详解】取、中点、，正方形中心，中点，连接，
根据题意可得平面，，点是的中点，，
在等腰中，，，
同理，
则等腰梯形的高为，
根据几何体的结构特征可知，刍甍的外接球的球心在直线上，连接，
正方体的外接圆的半径，
则有，
而，，
当点在线段的延长线（含点）时， 视为非负数，若点在线段的延长线（不含点）时， 视为负数，
即有，
则，解得，
则刍甍的外接球的半径为，
则刍甍的外接球的表面积为，
故选：C.
18．（22·23下·益阳·三模）如图所示，该几何体是由两个全等的直四棱柱相嵌而成的，且前后、左右、上下均对称，两个四棱柱的侧棱互相垂直，已知该几何体外接球的体积为，四棱柱的底面是正方形，且侧棱长为4，则两个直四棱柱公共部分的几何体的内切球体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析该几何体的结构特征，先求得底面正方形的边长，求出几何体的边长及体积，再利用等体积法求出内切球的半径，代入球的体积公式即可求解.
【详解】由题意，该几何体的直观图如图所示：

这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心也是内切球的球心，
设外接球的半径为R，直四棱柱的底面边长为a，
则，所以，所以，解得，
该几何体是由两个全等的四棱锥和组成，
该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形是边长为的菱形，
侧面均为全等的等腰三角形，腰长为，底边为，
设的中点为H，连接BH，SH，可知SH即为四棱锥的高，
在等腰三角形中，，边上的高为2，则，
在中，，又，
所以，又，
所以，
设内切球的半径为，由八个侧面的面积均为，
内切球的球心到各个侧面的距离都是，
利用等体积法得，解得，
故几何体的内切球的体积为.
故选：D
【点睛】方法点睛：解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思路是：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径，如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径、下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程并求解.
19．（22·23下·浙江·二模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑，其中平面ABC，，过A作，，记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球体积分别为，，V，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球半径分别为，，，记，，，先证明面，从而得到，，，再根据，从而得到，再构造函数，其中，再利用导函数分析函数的单调性，进而即可求得其值域．
【详解】记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球半径分别为，，，
记，，，
在鳖臑中，有，，
又，平面，则面，
又面，则，
又，且，面，所以面，
所以，，，
又，即，
所以，
令，其中，则，
所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，
当，即时，；
当，即时，；根据对称性，当，即时，，
所以，即．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：先根据题意得到，再构造函数，其中，利用导函数分析函数的单调性，进而求得其值域是解答本题的关键．
20．（22·23下·温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.
【详解】如图，取的中点，连接，，则，，
过点作⊥底面，垂足在上，且，
所以，故，
点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，
设最大球的半径为，则，
因为∽，所以，即，解得，
即，则，故
设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，
连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，
则，则，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九个球的表面积和为.
故选：B
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
二、多选题
21．（22·23·淮南·二模）如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则下列结论中正确的是（ ）

A．平面
B．球的体积为
C．球被平面截得的截面面积为
D．球被正四面体表面截得的截面周长为
【答案】ABD
【分析】根据题中条件，根据线线垂直，证明线面垂直，可判断球为正四面体的棱切球，可判断BCD.
【详解】
设､分别为､的中点，连接，，，，，，，
则，，，，
故，，则四边形为平行四边形.
故，交于一点，且互相平分，即点也为的中点，
又，，故，.
，，平面，故平面，
由于，平面，则平面，故，
结合点也为的中点，同理可证，
，，平面，
故平面，A正确；
由球的表面正好经过点，则球的半径为，棱长为2的正四面体中，
，为的中点，则，故，则，
所以球的体积为，B正确；
由平面，平面，故平面平面，
平面平面，由于平面，
延长交平面于点，
则平面，垂足落在上，且为正的中心，
故，所以，
即为球心到平面的距离为
故球被平面截得的截面圆的半径为，
则球被平面截得的截面圆的面积为，C错误；
由A的分析可知，也为棱，中点连线的中点，
则球与每条棱都交于棱的中点，
结合C的分析可知，
球被正四面体的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径都为，
故球被正四面体表面截得的截面周长为，D正确.
故选：ABD.
22．（23·24上·永州·一模）菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．球的表面积为
C．球被三棱锥表面截得的截面周长为
D．过点与直线所成角均为的直线可作4条
【答案】AC
【分析】利用余弦定理求得，说明三棱锥为正四面体，进而补成正方体，则说明O点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断A；求得球O的半径可判断B；求出球O被三棱锥一个侧面所截得的截面的周长，即可求得球被三棱锥表面截得的截面周长，判断C；根据平行公理以及直线所成角的概念可判断D.
【详解】如图在菱形中，连接，则，设交于E，

则，平面,平面，
即为二面角的平面角，即，
又，即为正三角形，即，为正三角形，
故，故
，即，
故三棱锥为棱长为a的正四面体；
如图，将该四面体补成正方体，四面体的各棱为正方体的面对角线，
则正方体棱长为，

因为球与三棱锥的6条棱都相切，则O点即为正方体的中心，
连接，则O为正方体体对角线的中点，
因为平面平面，故，
又,而平面，
故平面，平面，故；
同理可证,平面，
故平面，即平面，A正确；
因为球与三棱锥的6条棱都相切，
故球O即为正方体的内切球，球的直径为正方体棱长，
则球的半径为，故球的表面积为，B错误；
球O被平面截得的截面圆即为正三角形的内切圆，
由于，故正三角形的内切圆半径为，
故内切圆周长即球O被平面截得的截面圆周长为，
故球被三棱锥表面截得的截面周长为，C正确；
连接，因为，即四边形为平行四边形，
故，而，故，
不妨取空间一点S，作的平行线，如图，
则和所成角均为的直线即为它们形成的角的角平分线，
假设平面过且垂直于所确定的平面，当绕点S且在内转动时，
则此时直线l与所成角相等，但会变大，大于，
即在所确定的平面外过点S不存在直线l与所成角为，

故过点与直线所成角均为的直线可作2条，D错误，
故选：AC
23．（22·23·济南·三模）如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，圆锥的内接圆柱的底面半径为，圆柱的体积为，则（ ）
A．圆锥的表面积为
B．圆柱的体积最大值为
C．圆锥的外接球体积为
D．
【答案】ABC
【分析】根据圆锥的截面确定底面半径和母线，代入圆锥表面积公式计算可判断A，利用相似找到圆柱的底面半径和高的关系，求出圆柱体积的解析式，利用导数法求解最大值可判断B，找到外接球的球心，利用勾股定理求出球的半径，求出体积即可判断C，作差变形，判断符号即可判断D.
【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，
所以圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，圆锥的高，
所以圆锥的表面积为，故选项A正确；
设圆柱的高为h，如图
则，解得，
则圆柱的体积为，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
所以圆柱的体积最大值为，故选项B正确；
如图，
设圆锥的外接球球的半径为，则由是正三角形可得，,
在中，，解得，所以圆锥的外接球体积为，故选项C正确；
因为，
所以，
，
所以
，
由于与1的关系无法判断，所以与大小关系不确定，故选项D错误.
故选：ABC.
24．（22·23下·长沙·三模）已知四面体ABCD中，面BCD，，E、F分别是棱AC、AD上的点，且，.记四面体ABEF、四棱锥、四面体ABCD的外接球体积分别是、、，则的值不可能是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】AB
【分析】通过线面垂直的判定和性质定理得到，，，再设，，计算知，利用换元法结合导数即可求出答案.
【详解】设四面体ABEF、四棱锥、四面体ABCD的外接球的半径分别是、、，分别取AD、BD的中点M、N，
因为，，所以易知的中点到点的距离相等，所以.
又面，面，，
，，面，
平面，平面，所以，
所以，从而.
因为，为中点，则为的外心，
因为，面，所以面，
则四棱锥外接球的球心在直线MN上，
因为，所以，
平面，平面，所以，
，面，
所以平面ACD，平面，
所以，于是，又因为，
故点N就是四棱锥外接球的球心，所以.
设，，，
则，，，
所以.
，
令，则，.
记，，
则，所以在上单调递减，
故，
而，，，，
故选：AB.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直关系从而确定三个空间几何体的外接球得球心所在位置，从而再设，，利用三角函数和球的体积公式得，再根据和的关系设利用换元法得到，，再利用导数即可求出其值域，最后对照选项即可.
25．（22·23下·杭州·二模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的体积之比为
B．四面体CDEF的体积的取值范围为
C．平面DEF截得球的截面面积最小值为
D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
【答案】AD
【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A；利用建立函数关系判断B；求出球心O到平面DEF距离的最大值判断C；令点P在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答.
【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；
对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，
四面体CDEF的体积，B错误；
对于C，过作于，如图，而，则，
又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则，
又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误；
对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接，
当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立，
因此，，
则，
令，则，而，即，
因此，解得，所以的取值范围为，D正确.
故选：AD
【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.
三、填空题
26．（22·23下·全国·二模）在正四棱台中，上､下底面边长分别为，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为 .
【答案】1或7
【分析】求出外接球半径，找到球心的位置，分球心在线段上和在的延长线上两种情况，求出高.
【详解】设正四棱台的外接球的半径为，则，解得，
连接相交于点，连接相交于点，连接，
则球心在直线上，连接，
如图1，当球心在线段上时，
则，
因为上､下底面边长分别为，
所以，
由勾股定理得，，
此时该正四棱台的高为，
如图2，当球心在的延长线上时，
同理可得，，
此时该正四棱台的高为.
故答案为：1或7
27．（22·23·淄博·三模）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为 .
【答案】
【分析】由已知先计算圆锥母线与底面圆半径的关系，再确定其内切球半径，最后由圆锥的侧面积与球的表面积公式计算即可.
【详解】
如图所示圆锥IF，设其底面圆心为F，半径为r，内切球球心为O，半径为R，内切球与母线IH切于点G，
则由题意可知，故，
易知，即，所以，
圆锥的侧面积为，内切球的表面积为，故.
故答案为：
28．（22·23·衡水·一模）如图，已知台体的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为.若，，，则该台体的外接球的表面积为 .

【答案】
【分析】根据台体的结构特征可求得，作出截面，设，利用勾股定理可构造关于和的方程组，解方程组可求得，代入球的表面积公式即可.
【详解】由台体的结构特征知：，，
，；
设台体的外接球球心为，半径为，中点分别为，作出截面如下图所示，

设，则，
在和中，，解得：，即球心为中点，
该台体的外接球表面积.
故答案为：.
29．（22·23下·辽宁·一模）正四面体的棱中点为O，平面截球所得半径为的圆与相切，则球的表面积为 .
【答案】
【分析】中点为，依题意为球O的半径，设正四面体的棱长为a，，由平面截球所得的圆半径为，求出a，可解球的表面积.
【详解】中点为，连接，如图所示：
由和为等腰三角形，所以OE为AB和CD的公垂线段；
设正四面体的棱长为a，中， ，
中，，即球O的半径，
设中心为，由对称性可知球截平面所得圆的圆心在上，
平面且平面，则为的中点，所以.
因为，由可得.
于是球的半径，球的表面积为.
故答案为：.
30．（22·23下·郴州·三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 .
【答案】/
【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解．
【详解】如图所示：
依题意得 ，
底面的外接圆半径为，
点到平面的距离为 ，
所以 ，
所以
设球的半径为，所以
则，得
设球的半径为，则，又 得
所以球的表面积为
故答案为：.
31．（22·23·哈尔滨·一模）设是表面积为的球的球面上的五个点，平面，且四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为 ．
【答案】/
【分析】把四棱锥补成一个长方体，知四棱锥的外接球即为该长方体的外接球，求出球半径，设正方形边长为，由长方体性质求得棱锥的高，再由体积公式表示出棱锥的体积，然后利用导数求得最大值．
【详解】由题意把四棱锥补成一个长方体，如图，四棱锥的外接球即为该长方体的外接球，
设球半径为，由得，
设()，则，，
，
令，则，
设()，，
时，，单调递增，时，，单调递减，
所以，，
所以时，取得最大值为．
故答案为：．
32．（22·23下·商洛·二模）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】/
【分析】取BC的中点H，连接AH，DH，则可得为二面角的平面角，过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OA，OD，然后在中利用余弦定理可求出R，从而可求得球的表面积.
【详解】如图，取BC的中点H，连接AH，DH，
由题意，，，
所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，
又是边长为2的等边三角形，所以，
过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，
设球的半径为R，连接OA，OD，可得，
在中，，
利用余弦定理可得，
所以，
解得R2＝，所以其外接球的表面积为.
故答案为：.
33．（22·23下·包头·二模）已知A，B，C为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则当的面积最大时，球的表面积为 ．
【答案】
【分析】求得的半径，根据正弦定理得出，，然后代入整理得出的面积.设，，求导得出函数的最大值点，进而得出.根据勾股定理求出球的半径，即可得出答案.
【详解】设的半径为，球的半径为，
则，所以.
由正弦定理可得，，.
因为，所以，
所以.
设，，
则.
因为，
由可得，.
由可得，.
因为，所以，
所以，所以，
所以，在上单调递增；
由可得，，
由，可知，所以，
所以，在上单调递减.
所以，当时，取得唯一极大值，也是最大值.
此时，为等边三角形，且，
所以，.
由图象可得，在中，有，，
所以，，即，
所以，球的表面积为.
故答案为：.
34．（22·23下·全国·二模）如图，直三棱柱中，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】首先设，利用垂直关系，可得，再结合基本不等式求面积的最值，以及等号成立的条件求，根据几何体的特征，求外接球的半径，即可求解外接圆的表面积.
【详解】由余弦定理得：
设，则，
由得：，解得：，
因为，故
由基本不等式得：当且仅当，且时，即时取最小值.底面三角形外接圆半径，
.
故答案为：
35．（2023下·淄博·二模）在三棱锥中，底面为的中点.若三棱锥的顶点均在球的球面上，是该球面上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的表面积为 .
【答案】
【分析】首先证明的中点为三棱锥外接球球心，到平面的距离为，到平面的距离的最大值为，而三棱锥体积的最大值是，由棱锥体积公式列方程求得，从而得球半径后可得球表面积．
【详解】由且是中点得,
又平面,平面,所以,同理,，
而,平面,所以平面,
又平面,所以,
设中点为,则到四点距离相等,即为三棱锥的外接球的球心,
三棱锥体积的最大值是，是中点,则三棱锥体积的最大值是，
又由平面（即平面），设是中点，连接，则，所以平面，所以到平面的距离为，
，即球的半径为，
所以到平面的距离的最大值为，
而，
所以，解得，
所以球的半径为，表面积为．
故答案为：．
36．（22·23下·邵阳·三模）三棱锥中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】首先求证两两垂直，将棱锥补全为长方体，根据它们外接球相同求其半径，进而求表面积.
【详解】由PA⊥平面ABC，面，则，又，
所以两两垂直，故可将三棱锥补全为长方体，
故三棱锥外接球，即为长方体外接球，
令三棱锥外接球半径为，则满足，
所以外接球表面积为.
故答案为：
37．（2023下·遂宁·三模）如图，在中，，，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为 .
【答案】
【分析】当平面时，三棱锥的体积最大，此时，使用补形法求解即可.
【详解】
如图，由题意，当平面平面，即平面时，三棱锥的体积最大.
∵，是的中点，∴，即，，两两垂直，
又∵，∴，，，.
如图，作长方体，则三棱锥的外接球，即是长方体的外接球，
设长方体的外接球的半径为，则，
∴.
∴当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为.
故答案为：.
38．（22·23·晋中·三模）在中，，，D是AC边的中点，且AC=2．将沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，形成四面体A-BCD．则该四面体外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】作出图形，设和的外心分别为，，过作平面BCD的垂线，过作平面ABD的垂线，则四面体A-BCD的外接球的球心O为直线和的交点．
然后利用勾股定理求出外接球半径，进而求解.
【详解】设和的外心分别为，，过作平面BCD的垂线，
过作平面ABD的垂线，则四面体A-BCD的外接球的球心O为直线和的交点．
因为，D是AC边的中点，且AC=2.所以为等边三角形，所以,
设BD中点为M，则四边形为矩形，且，，
∴四面体A-BCD的外接球的半径
．故四面体外接球的表面积为．
故答案为：.
39．（22·23下·乐山·三模）在三棱锥中，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】分别过和的外心作平面和平面的垂线，则垂线交点为三棱锥外接球的球心，再利用图形中的几何关系，将外接球半径的平方表示为函数关系，求其最值即可.
【详解】
如图，取中点，连接，，
由，则，，
由面面ABC，面面ABC，面，所以面ABC，
而面，所以，
设，，则，
易知，，
取外接圆的圆心，易知在直线上，设外接圆半径为，
由正弦定理，，
同理，取外接圆的圆心，则在直线上，，
过，分别做平面和平面的垂线交于点，
易证，，
∴，为三棱锥外接球的球心.
①当时，，，，
，分别在线段，上，易知，
设三棱锥外接球的半径为，则，
，
由基本不等式，，
当且仅当，即时，等号成立.
②当时，，，，
，分别在线段，的延长线上，如下图所示，
此时，，
∵，∴，且无最小值.
综上所述，的最小值为，
∴三棱锥的外接球表面积的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决外接球问题方法的核心是找球心，找球心常用方法：
（1）定义法：到几何体所有顶点距离相等的点是外接球的球心；
（2）补形法：将几何体补形为正方体或长方体，则体对角线的中点为外接球的球心；
（3）垂线法：小圆圆心的垂线过球心.
40．（22·23·南宁·二模）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点满足，，则该“鞠”的表面积为 .
【答案】
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积.
【详解】取的中点，连接，
因为，所以且，
故，
因为，所以，
故，
在上取点，使得，则点为等边的中心，则，
设点为三棱锥的外接球球心，则平面，
连接，设外接球半径为，则，
过点作⊥，交延长线于点，则，
由于在平面中，故，故平面，
过点作⊥于点，则，
，，，
故，设，则，
由勾股定理得，，
故，解得，
故，
故该“鞠”的表面积为.
故答案为：