新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题一7 直线与圆小题（2份，原卷版+解析版）

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点，直线，点到直线的距离为：
两条平行线间的距离公式
，，
直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，几何关系
圆上一点的切线方程
圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设，，有：
则
或：
模拟训练
一、单选题
1．（22·23·南昌·三模）若为实数，则“”是“直线与平行”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若“直线与平行”，
则，解得或，
当时，直线，，此时//，符合题意；
当时，直线，即，，
此时，重合，不符合题意；
综上所述：“直线与平行”等价于.
所以“”是“直线与平行”的充要条件.
故选：C.
2．（22·23·深圳·二模）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而得到结果.
【详解】
当最短时，直线，所以.
又，所以，
所以的方程为，即.
故选：D
3．（22·23·茂名·二模）已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先利用直线与圆相交可得到，然后利用充分条件、必要条件的定义即可求解
【详解】由圆可得圆心，半径为1，
所以直线与圆相交圆心到直线的距离，解得，
所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.
故选：A
4．（22·23·石嘴山·二模）已知直线：是圆：的对称轴，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件，可知直线过圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，把圆心坐标代入直线的方程求得k.
【详解】由圆C：得，，表示以为圆心、半径等于1的圆．
由题意可得，直线经过圆C的圆心，
故有，得.
故选：D.
5．（22·23下·河北·一模）直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A．16B．25C．49D．81
【答案】C
【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可.
【详解】由直线与圆相切可得：
圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
故，即点在圆O上，
的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，
由圆心为，
因为，
所以点在圆外，
所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，
即，
所以的最大值为.
故选：C.
6．（22·23·白山·一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值.
【详解】圆化为标准方程为，
则圆C的圆心为，半径，则，
直线PQ与圆C相切，有，
因为点Q在直线l上，所以，则．
即的最小值是.
故选：A
7．（22·23·济宁·三模）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的弦长作答.
【详解】直线，即恒过定点，
而，即点在圆内，
因此当且仅当时，最小，
而圆的圆心，半径，，
所以.
故选：B

8．（22·23·通州·三模）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可得到切线的长.
【详解】如图所示，圆心为，连接，

因为直线，关于对称，所以垂直于直线，
故，而，
所以.
故选：C
9．（22·23下·葫芦岛·一模）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为，过点作P1P⊥x轴于点P1，直线P1P与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，，所以线段的长为，根据
结合同角三角函数基本关系可计算的值，即可求解.
【详解】设，则，由题意知，
所以，
因为，所以，
即，所以，
所以，
直线与函数的图象交于点，可得，
所以，
故选：C.
10．（22·23·海口·一模）已知直线与圆：（）交于A，两点，且线段关于圆心对称，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得圆心的坐标，进而列出关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】圆：的圆心，
由圆心在直线上，可得，
解之得.
故选：D
11．（23·24上·永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解.
【详解】如下图所示：

由题意圆的标准方程为，，
又因为，所以，
所以，
又圆心到直线的距离为，
所以，所以不妨设，
则，
又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时，
有最大值.
故选：A.
12．（22·23下·益阳·三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】是斜率为的直线，曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，利用点到直线距离公式，结合图形可得答案.
【详解】是斜率为的直线，
曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，（舍去），
当直线过时，,
由图可以看出：
当时，直线与半圆有两个公共点，
故选：

13．（22·23·酒泉·三模）若直线分别与轴，轴交于，两点，动点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得点A、点B的坐标，进而求得，再求出圆上的点P到直线距离的最值，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】如图所示，

因为直线与坐标轴的交点，，则，
圆的圆心C为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点P到直线的距离的最小值为，最大距离为，
所以面积的最小值为，最大值为，
即面积的取值范围为.
故选：C.
14．（22·23·龙岩·二模）已知M是圆上一个动点，且直线：与直线：（，）相交于点P，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线过定点及垂直关系确定P轨迹，结合圆的位置关系求最值即可.
【详解】
由两直线方程可知分别过定点，且两直线互相垂直，
设的中点为，则，
如图所示，则两直线的交点的轨迹为以为圆心为直径的圆，，
可知两圆相离，设直线交圆于E，交圆于D，
显然.
故选：D
15．（22·23下·山东·一模）由点射出的两条光线与分别相切于点，，称两射线，上切点右侧部分的射线和优弧右侧所夹的平面区域为的“背面”．若处于的“背面”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设过点的切线方程为，进而可得切线方程，利用新定义可求的最值，进而可求实数的取值范围．
【详解】解：设过点的切线方程为，
，，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
处于的“背面”，
与相切时取最小值，由，解得或，
结合图形可得的最小值为，
同理与相切时可得的最大值为，
．
故选：D．
二、多选题
16．（22·23·海口·一模）如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）

A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆与曲线W有8个交点，则
C．与的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4
【答案】ACD
【分析】A选项可将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，即可判断；
B选项可直接由图讨论判断对错；
C选项可由圆心到直线的距离等于半径，求出公切线；
D选项可先找到，的公切线方程为，曲线W上的点到直线的距离的最小值即为平行线间的距离.
【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，
所以其面积为，故A选项正确.
当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G；
当或时，没有交点；当时，交点个数为8，故B选项错误.
设与的公切线方程为，
由直线和圆相切的条件可得，
解得，（舍去），
则其公切线方程为，即，故C选项正确.
同理可得，的公切线方程为，
则两平行线的距离，故D选项正确.
故选：ACD.
17．（23·24上·湖北·一模）已知，，直线：，：，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由，得，利用基本不等式和二次函数的性质，判断各选项中的不等式是否成立.
【详解】由，得，即，
，，则，当且仅当，即时等号成立，
所以有，A选项正确；
由，有，
当且仅当，即时等号成立，所以有，B选项成立；
由，有，，，则，
，由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误；
由，有，
，
当且仅当，即时等号成立，D选项正确.
故选：ABD.
18．（22·23·葫芦岛·二模）过四点中的三点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项.
【详解】对于A，点在圆上，故A正确；
对于B，点在圆上，故B正确；
对于C，点都不在圆上，故C错误；
对于D，点都不在圆上，故D错误；
故选：AB.
19．（22·23下·湖南·二模）已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离B．的最大值为9
C．的最小值为1D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故A正确；
因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；
故选：ABC．
20．（23·24上·浙江·一模）已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（ ）
A．直线过定点B．当时，线段长的最小值为
C．半径的取值范围是D．当时，有最小值为
【答案】ABD
【分析】化简直线为，进而可判定A正确；利用弦长公式，求得的最小值，可判定B正确；根据直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部，可判定C不正确；结合向量的数量积的公式，以及直线与圆的位置关系，可判定D正确.
【详解】由直线，可化为，
由方程组，解得，即直线过定点，所以A正确；
当时，圆的方程为，可得圆心，
则，可得线段长的最小值为，所以B正确；
因为直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部，
所以，解得，所以C不正确；
当时，圆的方程为，
则，
当直线过圆心，此时，可得的最小值，
所以有最小值为，所以D正确.
故选：ABD.
21．（22·23·哈尔滨·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C，直线l：，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线C的方程为
B．直线l与曲线C相交
C．若直线l被曲线C截得的弦长为，则
D．的最大值为3
【答案】ABD
【分析】设，代入，得曲线的方程判断选项A；由直线过的定点，判断直线与曲线的位置关系，验证选项B；由垂径定理求解k，验证选项C；的最大值为B点到圆心距离加上半径，计算验证选项D.
【详解】对A，设动点，由，则，化简得， A选项正确；
对B，直线过定点，点在圆内，直线与曲线相交，B选项正确；
对C，弦长为，半径为2，故圆心到直线的距离，即，即，解得，C选项错误；
对D，由，圆心，半径为2，， D选项正确.
故选：ABD
22．（22·23·菏泽·三模）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（ ）
A．点的轨迹方程为B．点到原点的距离的最大值为5
C．面积的最大值为4D．的最大值为18
【答案】ABD
【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.
【详解】设动点，则由得：，
即，
化简得：，即，所以A选项正确；
所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，
则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；
又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，
所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；
又，
因为（），
所以（），
则，所以D选项正确；
故选：ABD.
23．（22·23下·长沙·二模）已知圆，恒过点的直线与圆交于两点．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．
C．的最大值为D．过点作直线的垂线，垂足为点，则点的运动轨迹在某个定圆上
【答案】BCD
【分析】由题意可得，当时，取得最小值即可判断A，由平面向量数量积的坐标运算即可判断BCD.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
又满足，所以在圆内，
所以，当时，取得最小值，如下图所示，

此时，所以A选项错误；
设是的中点，，
由于，所以，B选项正确；

由于，所以，
所以的最大值为选项正确，D选项正确．
故选：BCD．
24．（23·24上·宁波·一模）设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．
【答案】BC
【分析】对于A，整理圆的方程为标准方程，明确圆心与半径，可得答案；
对于B，由题意，将圆心代入直线方程，求得参数，可得答案；
对于C，利用点到直线的距离公式求得三角形的高，结合三角形的面积公式，可得答案；
对于D，根据两点求得斜率，利用垂直直线斜率的关系，可得答案.
【详解】由圆的方程，
则，所以圆心，半径，
易知，故A错误；
将代入直线方程，则，解得，故B正确；
将代入直线方程，整理可得直线方程，
原点到直线的距离，且此为底上的高，
所以，故C正确；
由与，则直线的斜率，
由直线方程，则直线斜率，
由，则与不垂直，故D错误.
故选：BC.
25．（22·23·保定·二模）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【分析】求解直线系结果的定点判断A；圆的圆心求解、判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心到直线的距离判断D．
【详解】直线，恒过点，所以A正确；
圆的圆心坐标为，，，所以B正确；
圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，
直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；
当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：ABD．
26．（22·23·张家口·一模）已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（ ）
A．直线l的斜率k的取值范围是
B．点M的轨迹为圆的一部分
C．为定值
D．为定值
【答案】ABD
【分析】利用直线和圆相交可求斜率范围，利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系即得结果.
【详解】对于A选项，方法1：设，，直线l的方程为．
由得，
所以，
解得，所以A正确；
方法2：如图，设直线l与圆的切点为，，在直角三角形中，，
所以，所以，由图形对称性可知，所以A正确；
对于B选项，由，可得，所以点的轨迹是以为直径的圆的一部分，故B正确；
对于C选项，由，可得，
又，所以C错误；
对于D选项，由，
得，，
，
又，，
所以

．故D正确．
故选：ABD．
27．（23·24上·长春·一模）已知，下列说法正确的是（ ）
A．时，
B．若方程有两个根，则
C．若直线与有两个交点，则或
D．函数有3个零点
【答案】ABD
【分析】对A：分类讨论求解即可；对B：方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图得的取值范围；对C：直线是以为斜率且恒过的直线，结合的图象得到直线与有两个交点时斜率的范围；对D：分求解.
【详解】对A：当时，，得满足题意；
当时，，得不满足题意，故A正确.
对B：作出的图象，方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图知，故B正确.
对C：直线可化为，故直线是以为斜率且恒过的直线，
如图，为过与两点的直线，其斜率为，
当位于时，直线与有两个交点，
为过且与平行的直线， 其斜率为，
当位于时，直线与只有一个交点，
为过的水平直线，其斜率为，
当位于时，直线与只有一个交点，
为过的竖直直线，其斜率不存在，
当位于时，直线与只有一个交点，
由图可知，要使直线与有两个交点，
则位于之间或位于之间，故，所以，故C错误.
对D：，即，所以或
由得，
由得进而得或，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
28．（22·23下·天津·一模）直线与圆相交，所得的弦的长为 .
【答案】
【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得.
【详解】因为圆即：，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得弦长为：.
故答案为：.
29．（22·23·梅州·三模）写出一个过点且与直线相切的圆的方程： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】可在上取一点，使得，再求以为直径的圆即可.
【详解】过点且与直线垂直的直线的方程为，设与的交点为，由，得，所以点的坐标为，故所求的一个圆可以是以为直径的圆.
因为的中点坐标为，，所以所求的一个圆的方程可以为.
故答案为：（答案不唯一）
30．（22·23·深圳·二模）过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为 .
【答案】
【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线的距离，分析可得直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解.
【详解】圆，即，
圆心为，半径，
若弦长，则圆心到直线的距离，
显然直线的斜率存在，设直线方程为，即，
所以，解得，所以直线方程为.
故答案为：
31．（22·23下·大庆·二模）直线l经过点，，若直线l与直线平行，则 ．
【答案】/0.5
【分析】由题意，利用两直线平行的性质，直线的斜率公式，求得m的值．
【详解】∵直线l经过点，，且与直线平行，
∴，求得，
故答案为：．
32．（22·23·西安·一模）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是 .
【答案】
【分析】先把圆的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值.
【详解】圆化成标准形式为圆，
圆心，半径，
直线过定点，并在圆内，
最短时，点为弦的中点，即时，
所以.
故答案为：.
33．（22·23·惠州·一模）过点的弦将圆的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则 ．
【答案】
【分析】因为弦将圆分成两段弧长之差最大，此时垂直，由此求解即可.
【详解】因为弦将圆分成两段弧长之差最大，此时垂直，
由圆的半径为，由勾股定理得．
故答案为：.
34．（23·24·大理·一模）已知圆C：，过点的相互垂直的两条直线分别交圆于点和，则四边形面积的最大值为 .
【答案】7
【分析】先判断点和圆的关系，再求出两条弦长，最后根据均值不等式求最大值.
【详解】圆C：，即：，点在圆内部，
设圆心到直线和的距离分别为，，则有：
，，且，
所以，四边形面积，
当且仅当时等号成立，故四边形面积的最大值为7.
故答案为：7
35．（22·23·潍坊·三模）已知圆，与圆总相切的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】根据圆标准方程可知圆心轨迹，由圆心轨迹与圆轨迹可确定圆上总有点与原点距离为4即可求出圆的方程.
【详解】圆标准方程为，
圆的圆心为，半径为2，
由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，
故圆上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆的方程是：.
故答案为：.
36．（22·23·烟台·二模）已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设点，则问题转化为圆上一点与圆外一点之间距离的最大值的平方，根据点与圆的位置关系求解即可.
【详解】方程整理得，设点，即点是圆上一点
又点在圆外，所以，
则，所以的最大值为.
故答案为：.
37．（22·23下·长沙·一模）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】由圆的垂径定理可得，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简可得所求轨迹方程，即可求得答案.
【详解】圆，
所以圆心为，半径为4，设，
由线段AB的中点为D，可得，
即有，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；
故答案为：.
38．（22·23下·杭州·一模）已知点，直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则直线的方程为 写出一条即可
【答案】（或或）
【分析】分、和讨论即可得解.
【详解】由圆：，得圆心，半径，
，在圆上，
若，可得过圆心且，
又，，
直线的方程为，即；
若，可得过圆心且，
则,可得的直线的方程为，联立圆方程，
解得或，可得的坐标为或，
根据圆的对称性易知，
直线的方程为或，
即或；
若，由的等价性可知该情况与一致；
综上：直线方程为：或或．
故答案为：（或或）.
四、双空题
39．（22·23·衡水·三模）若圆和有且仅有一条公切线，则 ；此公切线的方程为
【答案】 1
【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解.
【详解】如图，

由题意得与相内切，又，
所以，
所以，解得，
所以，．
联立，解得
所以切点的坐标为，
故所求公切线的方程为，即．
故答案为：1；
40．（22·23下·湖北·二模）曲线围成的封闭图形的面积为 ，若直线与恰有两个公共点，则的取值范围为 .
【答案】 ；
【分析】第一空：讨论去绝对值符号，化简得其围成的曲线是两个圆，计算其面积即可；
第二空：利用直线与圆的位置关系，求得相切时的斜率，再利用数形结合判定有两个交点的斜率范围即可.
【详解】如图所示，当时，，
设其圆心为，易知，所以圆A与相切；
同理当时，，
设其圆心为B，易知，所以圆B与相切；

所以围成的曲线为圆A与圆B，其面积为；
由可知其过定点，过C与圆A与圆B相切的切线分别设为、，则有，
解之得：或，，由图象分析可得若满足直线与两圆有两个交点，则需.
故答案为：；