新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题二十 函数的基本性质小题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（2份，原卷版+解析版）

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①分式函数定义域：
②偶次根式函数的定义域：
③次幂型函数的定义域：
④对数函数的定义域：
⑤正切函数的定义域：
单调性
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的四则运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
模拟训练
一、单选题
1．（22·23下·西安·一模）定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】B
【分析】先求出函数的周期，再根据对称性求解.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，
又，所以，则 ，即是以4为周期的周期函数，
；
故选:B.
2．（22·23·攀枝花·三模）定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（ ）
A．B．C．2D．0
【答案】B
【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期为，再根据求解即可.
【详解】因为函数满足，所以关于对称，
即①.
又因为为奇函数，所以，
即②.
由①②知，
所以，
即，所以函数的周期为，
所以，
,
因为时，，
所以，
又为奇函数，所以当时，，
所以，
故选：B.
3．（22·23·南宁·一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A．5B．4C．3D．0
【答案】B
【分析】根据已知条件求得的对称轴、对称中心、周期以及的周期，据此即可求得结果.
【详解】∵，∴以为对称中心，且；
∵即，
∴为偶函数，以轴为对称轴；
∴，即，
由知，，
∴，，
从而，即，
∴的周期为4，∴的周期为4；
故．
故选：B.
4．（23·24上·吉林·一模）已知函数，的定义域均为，，且，则（ ）
A．24B．26C．28D．30
【答案】C
【分析】利用赋值法由求得，再由推得是周期函数，进而求得，从而得解.
【详解】因为，
所以；
因为，所以，
两式相减得，即是以为周期的周期函数，
由，可得，，
又，则，
所以，
则.
故选：C.
5．（22·23·九江·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求.
【详解】由，令得．
令，得，，．
因为为偶函数，，即，曲线关于直线对称．
又，图像关于点中心对称，
，
可得，即，
又，
的周期．
，，
．
故选：A．
6．（22·23·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】∵函数为偶函数，∴，即，
∴函数的图象关于直线对称，
又∵函数定义域为，在区间上单调递减，
∴函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：D.
7．（22·23下·湖北·二模）已知函数图象的对称轴为，则图象的对称轴为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题设条件可得，故可得正确的选项.
【详解】设，则，
故，整理得到，
所以图象的对称轴为.
故选：C.
8．（23·24·雅安·一模）已知函数的定义域为恒成立.当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先得到关于对称，结合得到，结合条件得到的单调性，结合，得到，由单调性求出解集.
【详解】因为，所以关于对称，
所以，
因为，所以，
因为，，
故在上单调递增，所以在上单调递减，
因为，，
所以，
当时，，结合单调性可知，
当时，，结合单调性可知，
故的解集为.
故选：A
9．（23·24上·绵阳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．是以4为周期的函数D．的图象关于对称
【答案】B
【分析】根据抽象函数的对称性结合周期性判断各个选项即可.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，所以，
因为是奇函数，所以，
将换成，则有，
A：令，所以，因此本选项正确；
B：因为，所以函数关于点对称，
由，可得，的值不确定，
因此不能确定的值，所以本选项不正确；
C：因为，
所以，
所以，因此是以4为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为，
所以，
因此有，
所以函数的图象关于对称，
由上可知是以4为周期的函数，
所以的图象也关于对称，因此本选项正确，
故选：B.
10．（23·24上·绵阳·一模）若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想，计算出，从而求出对称中心.
【详解】函数定义域为，
定义域的对称中心为，所以可猜，
则，
，
故
所以的对称中心为，
故选：C．
11．（22·23下·大庆·二模）记，若（且），则称是的n次迭代函数．若，则（ ）
A．B．C．2022D．2023
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的解析式迭代可得，由此可得，进而可得，将代入计算可得答案．
【详解】根据题意，，即，则，，，故有，
所以，故.
故选：B．
【点睛】准确理解题干给出的“ n次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题的关键.
12．（2023·吉安·一模）若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为（ ）
A．2016B．2017C．4032D．4034
【答案】C
【分析】先计算得到，再构造函数，判断的奇偶性得出结论．
【详解】解：令得，，
令得，
，
令，则，，
，
是奇函数，
，即，
．
故选：C．
13．（22·23·惠州·一模）若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”．若某函数是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（ ）
A．若0在定义域中，则
B．若，则
C．若在上单调递增，则在上单调递减
D．若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数”
【答案】C
【分析】对A，根据“类奇函数”的定义，代入求解即可；
对B，根据题意可得，再结合函数的单调性判断即可；
对C，根据，结合正负分数的单调性判断即可；
对D，根据“类奇函数”的定义，推导判断即可.
【详解】对于A，由函数是“类奇函数”，所以，且，所以当时，，即，故A正确；
对于B，由，即随的增大而减小，若，则成立，故B正确；
对于，由在上单调递增，所以，在上单调递减，设，在上单调递增，即在上单调递增，故C错误；
对于D，由，所以，所以函数也是“类奇函数”，所以D正确；
故选：C
14．（22·23下·辽宁·二模）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（ ）．
A．1348B．1347C．1346D．1345
【答案】B
【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在上的零点个数，再分区间和讨论即可.
【详解】在上满足，，
关于直线和直线对称，
，，
，
，所以的周期为6，
又在闭区间上只有，则，，
且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，
则在闭区间上只有，
同理可推得在也只有两个零点，
因为，则在共有个零点，
因为，且在的图象与的图象相同，
则在上有个零点，
则方程在闭区间上的根的个数为1347个.
故选：B.
【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)