第3讲 分式-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc182568297" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc182568298" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc182568299" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc182568300" 考点一 分式及其性质
\l "_Tc182568301" 考点二 分式的运算
04题型精研·考向洞悉 \l "_Tc182568302"
\l "_Tc182568303" 命题点一 分式及其性质
\l "_Tc182568304" ►题型01 分式有、无意义的条件
\l "_Tc182568306" ►题型02 分式值为0的条件 \l "_Tc182568307"
\l "_Tc182568308" 命题点二 分式的运算
\l "_Tc182568309" ►题型01 分式的运算
\l "_Tc182568310" ►题型02 判断分式运算的错误步骤 \l "_Tc182568311"
\l "_Tc182568312" ►题型03 分式的化简求值 \l "_Tc182568313"
\l "_Tc182568314" ►题型04 分式运算的应用
\l "_Tc182568315" ►题型05 分式的规律探究
\l "_Tc182568316" ►题型06 与分式运算有关的新定义问题
01考情透视·目标
02知识导图·思
03考点突破·考
考点一 分式及其性质
1.分式及其性质
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式有意义、无意义或值为0的条件
注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的.
3.分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
字母表示：AB=A•CB•C或AB=A÷CB÷C，其中A，B，C是整式且B•C≠0.
分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数.
【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；
②隐含条件：分式的分母不等于0.
4.分式的约分
分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.
5.分式的通分
分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.
最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
确定最简公分母的方法：
1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.
2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解；
②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母；
③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x，1π，2x2+4，x2﹣23，1x，x+1x+2中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是2x2+4，1x，x+1x+2，
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
2．（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：a2-5aa-5=（ ）
A．a-5B．a+5C．5D．a
【答案】D
【分析】分子分解因式，再约分得到结果．
【详解】解：a2-5aa-5
=aa-5a-5
=a，
故选：D．
【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
3．（2024·四川雅安·中考真题）已知2a+1b=1a+b≠0．则a+aba+b=（ ）
A．12B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得2b+a=ab，再整体代入求值即可；
【详解】解：∵2a+1b=1a+b≠0，
∴2b+a=ab，
∴a+aba+b
=a+a+2ba+b
=2a+ba+b
=2；
故选C
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+2中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x>-3且x≠-2
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，3+x>0x+2≠0，
解得x>-3且x≠-2，
故答案为：x>-3且x≠-2．
5．（2023·四川南充·中考真题）若分式x+1x-2的值为0，则x= ．
【答案】-1
【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，可得x+1=0且x-2≠0，即可求解．
【详解】解：∵分式x+1x-2的值为0，
∴x+1=0且x-2≠0，
解得：x=-1．
故答案为：-1
考点二 分式的运算
1.分式的加减法
1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为：
2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：
2.分式的乘除法
1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即.
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即.
3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0）
3.分式的混合运算
运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
1．（2024·四川雅安·中考真题）计算1-30的结果是（ ）
A．-2B．0C．1D．4
【答案】C
【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．
根据零指数幂的运算性质进行计算即可．
【详解】解：原式=(-2)0=1．
故选：C．
2．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算Axy+y2-yx2+xy的结果为x-yxy，则A=（ ）
A．xB．yC．x+yD．x-y
【答案】A
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
由题意得yx2+xy+x-yxy=Axy+y2，对yx2+xy+x-yxy进行通分化简即可．
【详解】解：∵Axy+y2-yx2+xy的结果为x-yxy，
∴yx2+xy+x-yxy=Axy+y2，
∴y2xyx+y+x-yx+yxyx+y=x2xyx+y=xxy+y2=Axy+y2，
∴A=x，
故选：A．
3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知a+1a=5，则a2+1a2的值是 ．
【答案】3
【分析】根据a+1a=5，通过平方变形可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵a+1a=5，
∴a+1a2=5，
∴a2+1a2+2=5，
∴a2+1a2=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．
4．（2024·北京·中考真题）已知a-b-1=0，求代数式3a-2b+3ba2-2ab+b2的值.
【答案】3
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对a-b-1=0化简得到a-b=1，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式=3a-6b+3ba-b2
=3a-ba-b2
=3a-b，
∵a-b-1=0，
∴a-b=1，
∴原式=31=3．
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：1+3x-3÷x2-9x2-6x+9，其中x=-2．
【答案】xx+3，-2
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：1+3x-3÷x2-9x2-6x+9
=x-3x-3+3x-3÷x+3x-3x-32
=xx-3⋅x-3x+3
=xx+3，
当x=-2时，原式=-2-2+3=-2．
命题点一 分式及其性质
►题型01 分式有、无意义的条件
1．（2023·湖北黄石·中考真题）函数y=xx-1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≠1C．x≥0且x≠1D． x＞1
【答案】C
【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可．
【详解】解：由题意可得x≥0且x-1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故选：C．
2．（2024·安徽·中考真题）若代数式1x-4有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≠4
【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不能等于0，
∴ x-4≠0
∴ x≠4．
故答案为：x≠4．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数y=x-3x+2中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥3/3≤x
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，x-3≥0，且x+2≠0，
解得，x≥3，
故答案为：x≥3．
4．（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）当x=1时，分式x+2mx-n无意义；当x=4时分式的值为0，则m+n2012的值是 ．
【答案】1
【分析】根据分式无意义即分母为0，分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0进行解答即可．
【详解】解：分式1+2m1-n无意义时，n=1，
分式4+2m4-n 为0时，m=-2，
当m=-2，n=1时，m+n2012=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是分式无意义和分式为0的条件，掌握分式无意义即分母为0，分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0是解题的关键．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 分式值为0的条件
注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的.
1．（2023·四川凉山·中考真题）分式x2-xx-1的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．-1C．1D．0或1
【答案】A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式x2-xx-1的值为0，
∴x2-x=0x-1≠0，
解得x=0，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
2．（2021·四川雅安·中考真题）若分式x-1x-1的值等于0，则x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
【答案】A
【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案．
【详解】解：根据题意，x−1＝0，x−1≠0，
∴x＝−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
3．（2021·江苏扬州·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．x+1B．x2-1C．1x+1D．x+12
【答案】C
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；
B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则1x+1≠0，故符合题意；
D、当x=-1时，x+12=0，故不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．（2024·山东济南·中考真题）若分式x-12x的值为0，则x的值是 ．
【答案】1
【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案．
【详解】∵分式x-12x的值为0，
∴x−1＝0，2x≠0
解得：x＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键．
命题点二 分式的运算
►题型01 分式的运算
相关公式：1）2) 3）
4）5）（n为正整数，b≠0）
混合运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
1．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算Axy+y2-yx2+xy的结果为x-yxy，则A=（ ）
A．xB．yC．x+yD．x-y
【答案】A
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
由题意得yx2+xy+x-yxy=Axy+y2，对yx2+xy+x-yxy进行通分化简即可．
【详解】解：∵Axy+y2-yx2+xy的结果为x-yxy，
∴yx2+xy+x-yxy=Axy+y2，
∴y2xyx+y+x-yx+yxyx+y=x2xyx+y=xxy+y2=Axy+y2，
∴A=x，
故选：A．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）（1）计算：|π-3|+2sin30°-(5-2)0；
（2）化简：x-2x+1÷(x-2)．
【答案】（1）π-3；（2）1x+1
【分析】本题考查分式的除法运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；
（2）将除法转换为乘法，再根据分式的乘法法则化简即可求解．
【详解】解：（1）|π-3|+2sin30°-(5-2)0
=π-3+2×12-1
=π-3+1-1
=π-3；
（2）x-2x+1÷(x-2)
=x-2x+1⋅1x-2
=1x+1．
3．（2024·四川泸州·中考真题）化简：y2x+x-2y÷x2-y2x．
【答案】x-yx+y
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，然后根据完全平方公式和平方差公式整理，最后约分即可得出答案．
【详解】解：y2x+x-2y÷x2-y2x
=y2+x2-2xyx⋅xx2-y2
=x-y2x⋅xx+yx-y
=x-yx+y
4．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：1-m2|m-3|÷m-12⋅m-3m+1．
【答案】(1)m>3
(2)-2
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根．
∴Δ=-22-4×1×4-m>0，
解得：m>3；
（2）解：∵m>3，
∴1-m2|m-3|÷m-12⋅m-3m+1
=-m+1m-1m-3⋅2m-1⋅m-3m+1
=-2；
5．（2023·江西·中考真题）化简xx+1+xx-1⋅x2-1x．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③
(2)见解析
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式=xx-1x+1x-1+xx+1x+1x-1⋅x2-1x
=x2-x+x2+xx+1x-1⋅x+1x-1x
=2x2x+1x-1⋅x+1x-1x
=2x；
乙同学的解法：
原式=xx+1⋅x2-1x+xx-1⋅x2-1x
=xx+1⋅x+1x-1x+xx-1⋅x+1x-1x
=x-1+x+1
=2x．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
►题型02 判断分式运算的错误步骤
常见错误类型：
1）错在颠倒运算顺序，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的.
2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母.
3）错在符号变化，例如：
，错误原因：去括号时没有注意前面的符号.
1．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：2xx2-4-1x-2，其中x=3．小乐同学的计算过程如下：
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；
（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，
应为：2xx+2x-2-x+2x+2x-2=2x-x-2x+2x-2；
（2）解：2xx2-4-1x-2=2xx+2x-2-1x-2
=2xx+2x-2-x+2x+2x-2
=2x-x-2x+2x-2
=x-2x+2x-2
=1x+2
当x=3时，原式=15
2．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算1m-1-2m2-1的解题过程：
解：1m-1-2m2-1=m+1(m+1)(m-1)-2(m+1)(m-1)①
=(m+1)-2②
=m-1③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析
【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键．
【详解】解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式=m+1(m+1)(m-1)-2(m+1)(m-1)=m+1-2(m+1)(m-1)=m-1(m+1)(m-1)=1m+1．
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式a-ba÷a-2ab-b2a的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：a-ba÷a-2ab-b2a
=a-ba÷a2a-2ab-b2a
=a-ba÷a2-2ab+b2a
故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：a-ba÷a-2ab-b2a
=a-ba÷a2a-2ab-b2a
=a-ba÷a2-2ab+b2a
=a-ba÷a-b2a
=a-ba×aa-b2
=1a-b．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
4．（2023·山东临沂·中考真题）（1）解不等式5-2x3（2）从第①步开始出错，过程见解析
【分析】（1）根据解不等式的步骤，解不等式即可；
（2）根据分式的运算法则，进行计算即可．
【详解】解：（1）5-2x0，
∴M>N；
（2）解：∵2368-2265=14954420-14964420=-144200，
∴a2-1>a-12>0，
∴500a2-1