第12讲 反比例的图像与性质-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc185518954" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc185518955" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc185518956" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc185518957" 考点一 反比例函数的图像与性质
\l "_Tc185518958" 考点二 反比例函数与一次函数
\l "_Tc185518959" 考点三 反比例函数的实际应用
\l "_Tc185518960" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc185518961" 命题点一 反比例函数的图像与性质
\l "_Tc185518962" ►题型01 反比例函数的定义
\l "_Tc185518963" ►题型02 判断反比例函数的图像
\l "_Tc185518964" ►题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标
\l "_Tc185518965" ►题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式
\l "_Tc185518966" ►题型05 判断反比例函数所在象限
\l "_Tc185518967" ►题型06 已知反比例函数经过象限求参数取值范围
\l "_Tc185518968" ►题型07 由反比例函数增减性求值
\l "_Tc185518969" ►题型08 由反比例函数的性质比较大小
\l "_Tc185518970" ►题型09 求反比例函数解析式
\l "_Tc185518971" ►题型10 与反比例函数有关的规律有关的探究问题
\l "_Tc185518972" ►题型11 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质
\l "_Tc185518973" 命题点二 反比例系数k的几何意义
\l "_Tc185518974" ►题型01 已知反比例系数求图形面积
\l "_Tc185518975" ►题型02 已知图形面积求反比例系数
\l "_Tc185518976" 命题点三 反比例函数与实际问题
\l "_Tc185518977" ►题型01 反比例函数与实际问题
\l "_Tc185518978" ►题型02 新考法：新考法问题
\l "_Tc185518979" ►题型03 新考法：跨学科问题
\l "_Tc185518980" 命题点四 反比例函数与一次函数
\l "_Tc185518981" ►题型01 一次函数与反比例函数综合
\l "_Tc185518982" ►题型02 反比例函数与几何图形综合
01考情透视·目标导航
\l "_Tc185257194" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc185257195" 03考点突破·考法探究
考点一 反比例函数的图像与性质
1. 反比例函数的有关概念
定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数.
待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.
2 .双曲线
定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
3. 反比例函数的性质
【易错易混】
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
4. 反比例函数的对称性
反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点.
5. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型）
【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为12k.
【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为k.

1．（2024·云南·中考真题）已知点P2,n在反比例函数y=10x的图象上，则n= ．
【答案】5
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点P2,n代入y=10x求值，即可解题．
【详解】解：∵点P2,n在反比例函数y=10x的图象上，
∴n=102=5，
故答案为：5．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点A−3,a、B1,b、C2,c都在反比例函数y=−4x的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
【答案】a>c>b
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数y=−4x的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数y=−4x中，k=−40，b0，则当x>0时，函数y=kx图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数y=−1xx0的图象交于点B，则AOBO的值为（ ）
A．12B．14C．33D．13
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△AOC∽△OBD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴S△ACO=12×−1=12，S△BDO=12×4=2，∠ACO=∠ODB=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC=∠OBD=90°−∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△ACOS△BDO=OAOB2，即122=OAOB2，
∴OAOB=12（负值舍去），
故选：A．
5．（2024·贵州·中考真题）已知点1,3在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点−3,a，1,b，3,c都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1)y=3x
(2)a