第14讲 二次函数得应用-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc186023258"
\l "_Tc186023259" ?题型01 最大利润问题
\l "_Tc186023260" ?题型02 方案解决问题
\l "_Tc186023261" ?题型03 行程问题
\l "_Tc186023262" ?题型04 拱桥问题
\l "_Tc186023263" ?题型05 隧道通车问题
\l "_Tc186023264" ?题型06 喷水问题
\l "_Tc186023265" ?题型07 投球问题
\l "_Tc186023266" ?题型08 利用图像构建函数模型解决问题
\l "_Tc186023267" ?题型09 图形问题
\l "_Tc186023268" ?题型10 动点问题
\l "_Tc186023269"
\l "_Tc186023270"
?题型01 最大利润问题
1．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y=−2x+60．
(1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(2)设销售这种文具每天获利w（元），求w关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
2．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为______；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元a>0的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润−日支出费用）
3．（2024·贵州遵义·模拟预测）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．
(1)若每个书包降价x元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；
(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；
(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
?题型02 方案解决问题
5．（2024·山东潍坊·一模）某无人机租赁方案有50架某种型号的无人机对外出租，该方案有两种租赁方案：
说明：月利润=月租费-月维护费．
设租出无人机的数量为x架，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当x=10时，按方案A租赁所得的月利润是__________元，按方案B租赁所得的月利润是__________元；
(2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是多少？
(3)设按方案A租赁所得的月利润为yA，按方案B租赁所得的月利润为yB，记函数w=yA−yB(04时，求s关于t的函数表达式．
(3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明．
10．（2024·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：v=10t，高度h与时间t满足关系：ℎ=12gt2（g≠0，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面BE的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．
(1)当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？
(2)小车继续在粗糙的水平地面BE上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面BE上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：g=−12aT2+vT（a≠0，a是常数），当v=20（厘米/秒）时，s=50（厘米），T=5（秒）．如果把小车出发点A离水平地面BE的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间T=4秒时，小车在水平地面BE上滑行的距离为多少？
11．（2024·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s(m)与时间t(s)的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s=kt2(k≠0)；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s(m)与时间t(s)的函数表达式为s=k(t−70)2+ℎ(k≠0)．

(1)求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围；
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s，当t=90s时，求该龙舟划行的总路程；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.85m/s，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间．
12．（2022·湖北武汉·中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
?题型04 拱桥问题
13．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C 到ED的距离是11m， 以ED所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)根据题意，填空：
①顶点C 的坐标为 ；
②点B 的坐标为
(2)求抛物线的解析式．
(3)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系l=−1128t−192+80≤x≤40，且当点C到水面的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？
14．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽AB为20m，顶点M距水面8m（即MO=8m ），小孔顶点N距水面6m（即NC=6m），建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出大孔抛物线的解析式；
(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3m，顶部宽6m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；
(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度EF= m．
15．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为800m，两主塔塔顶距桥面的高度为42m，主索最低点P离桥面的高度为2m，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点M−30,−1处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
?题型05 隧道通车问题
16．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形ABCD和抛物线的一部分CED构成，矩形ABCD的边AB=12m，AD=2m，抛物线的最高点E离地面8m．以AB的中点为原点、AB所在直线为x轴．建立平面直角坐标系xOy．
(1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 m2；
(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13π的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
17．（2024·河南平顶山·三模）小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为OC=2m，长为OA=8m，最高处点P到地面的距离PQ为6m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 y=ax−ℎ²+k，其中ym表示抛物线上任一点到地面OA的高度，xm表示抛物线上任一点到隧道一边OC的距离．
(1)求抛物线的解析式．
(2)为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在2m−2.55m之间，高度应在3.8m−4.2m之间，小明发现隧道为单行道，一货车EFGH沿隧道中线行驶，宽FG为2.4m，货车的最高处与隧道上部的竖直距离DE约为1.3m，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定．
18．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段A．表示水平的路面，O为AB的中点，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度AB=12米，该抛物线的顶点P到AB的距离为9米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)现需在这一隧道内整上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯．已知照明灯M，N 的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度；
(3)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的LED电子显示屏CDEF，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．
?题型06 喷水问题
19．（2024·陕西西安·模拟预测）一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平地面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上的部分OA的高度为1.25m，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子1m处达到距水平面最高，且最高为2.25m．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？
20．（2024·河南信阳·模拟预测）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度ym与距离浇水装置的水平距离xm之间的函数图象，如图所示，已知点A0,1，抛物线顶点坐标为点B2,3．
(1)求水流所形成的抛物线的表达式．
(2)小华通过观察发现距离喷水装置5 m处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因．
(3)通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案．
21．（2024·贵州贵阳·二模）某公园要在圆形水池上修建喷泉，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的水柱呈抛物线型，如图所示，线段OA表示圆形水池的半径，以O为坐标原点，以线段OA所在直线为x轴，以水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．按照设计师的设计，水管的高度为2.25m，且抛物线型水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，且高度为3m，此时喷泉的观赏效果最佳．

(1)求抛物线型水柱的解析式；
(2)若此时有一个工人在清理水池，已知工人的身高为1.8m，求他站在距离A点多远以内会被水淋湿？
(3)为了使喷泉更加美观，如图所示，设计人员计划在中心水管上面延长一段增加一个喷水头，并使得该喷水头喷出的抛物线型水柱也在与池中心的水平距离为1m处达到最高，且比原抛物线水柱高1.5m，且落地处B点与点O的距离比OA短0.5m，则延长的水管高度应该设计为多少？
22．（2024·河南商丘·模拟预测）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为ydm，与射水鱼的水平距离为xdm,y与x的函数表达式为y=ax−22+k，水柱的最大高度为6dm．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)一只昆虫位于点A3,163处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
23．（2024·山东临沂·一模）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物AB某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼AB正前方的点O处，O到AB的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度DO为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以DO所在的直线为y轴，以OB所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变）
(1)求出水口在D点时抛物线的解析式:
(2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户CE内？
(3)若火源的中心在距离窗口CE水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由.
?题型07 投球问题
24．（2023·安徽合肥·二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y=ax−202+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC=2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围，
25．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度ym与水平距离xm之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
26．（2023·河南三门峡·一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球。2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的。甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动。图为从侧面看乒乓球台的视图，MN为球台，EF为球网，点E为MN的中点，MN=274cm，EF=15.25cm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球。以M为原点，MB所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，1cm为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，BC段抛物线的解析式为y1=−1200(x−m)(x−m−120)，CP段的解析式为y2=ax−ℎ2+k．
(1)当球在球网左侧距球网17cm时到达最高点，求y1的解析式；
(2)球从B处弹起至最高点后下落过程中，球刚好擦过球网EF，视为网球重发，求m的值；
(3)若球第二次的落点C在球网右侧53cm处，球再次弹起最高为12.5cm，乙的球拍（看作线段GH）在N的正上方8cm处，GH=15cm，若将球拍向前水平推出n（cm）可接住球（不包括球刚好碰到边沿点G、H），求出n的取值范围．
?题型08 利用图像构建函数模型解决问题
28．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE=BC，OF=DF=BD，这个大棚用了400根支架．

为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元．
(1)分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当CC'=1米，求GG'的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出CC'的最大值．
29．（2024·陕西安康·二模）如图1，这是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流的落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域（区域内均能被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线．经测量，OM=2m，水流最高时距离地面0.1m．
(1)在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
(2)当调节水管OP的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π）
30．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）OA为28.75cm的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
(1)如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点x,y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______cm．
②求满足条件的抛物线的表达式．
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长OB为270cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
31．（2024·河南信阳·一模）如图1所示的藉车是中国古代一种远程火攻武器，将某加强版藉车置于山坡底部O处（原点O处），抛出物从藉车竖直方向上的点C处被抛出，OC=5米，将发射出去的抛出物当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，当抛出物飞行的水平距离为50米时，达到最大高度25米．

(1)求抛物线的表达式；
(2)为了阻挡抛出物的飞行，守城方在斜坡上的点A处建有防御工事M，其最高点B与O点的水平距离为45米，与斜坡的竖直距离AB=16米，斜坡的坡比i=1:6.25，通过计算说明抛出物能否飞越防御工事M．
?题型09 图形问题
32．（2023·湖北武汉·三模）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
(3)现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．
33．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为18m)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为xm， 宽为ym， 面积为sm²．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到 100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
34．（2024·广西·模拟预测）在锐角△ABC中，BC=6,SΔABC=12，矩形MPQN的两个顶点M，N分别在AB,AC上，另两个顶点P,Q均在BC上，高AD交MN于点E，设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y．
(1)求AD的长，并用含x的式子表示线段AE的长；
(2)请求出y关于x的函数解析式；
(3)试求y的最大值．
35．（2022·浙江宁波·二模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2.
(1)写出y关于x的函数关系式：
(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cm≤AC≤43BD，那么当骨架AC的长为多少时，这风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？
?题型10 动点问题
36．（2024·吉林·二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=4cm．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为22cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段BA向终点A运动，连接EF，BE．设运动时间为x（s），△BEF的面积为y（cm2）（y＞0）．
(1)AE的长为______cm（用含x的代数式表示）．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)当△BEF为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．
37．（2024·四川资阳·二模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC．
(1)若P在线段CB上，求证：△ABP∽△PCQ；
(2)设BP=x、CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
38．（2024·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A4,0，C0,33，等边三角形ODE的顶点E−6,0，顶点D在第二象限．
(1)填空：如图①，点B的坐标为______________，点D的坐标为______________；
(2)将△ODE沿x轴向右平移，得△O'D'E'，点O，D，E的对应点分别为O',D',E'．设OO'=t，△O'D'E'与矩形OABC重叠部分的面积为S．
①如图②，当△O'D'E'与矩形OABC重叠部分为五边形时，边O'D'与AB相交于点F，边D'E'与OC相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当1≤t≤6时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
39．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CE⊥AB于点E，AE=8，BE=CE=4，DC=2．动点P从点A出发，沿A→B方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线E→C→D方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，△PEQ的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出△PEQ的面积为4时x的值．
1．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为rm的圆面．喷洒覆盖率ρ=ks，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ=______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为92m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；⋅⋅⋅⋅⋅⋅，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为9nm的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ=1．已知正方形ABCD各边上依次取点F，G，H，E，使得AE=BF=CG=DH，设AE=xm，⊙O1的面积为ym2，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为32m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ=1？（直接写出结果即可）
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为78米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
3．（2024·山西·中考真题）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米．

数学建模
（1）在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG⊥AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米．
①点E的坐标为______，AE的长为______；
②请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到0.1米．参考数据：17≈4.12）
4．（2023·江苏泰州·中考真题）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．

(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？
(2)求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？
5．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．

6．（2023·湖北武汉·中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）以、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如下表．
探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN,AM=125m,MN=5m．若飞机落到MN内（不包括端点M,N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是ℎ=30t−5t20≤t≤6．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm，∠E=60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积Scm2与运动时间ts之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0