第15讲 几何图形的初步-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc186534373"
\l "_Tc186534374" ?题型01 从不同方向看几何体
\l "_Tc186534375" ?题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
\l "_Tc186534376" ?题型03 正方体的展开图
\l "_Tc186534377" ?题型04 平面图形旋转所得的立体图形
\l "_Tc186534378" ?题型05 指出现实问题后的数学依据
\l "_Tc186534379" ?题型06 与线段中点有关的计算
\l "_Tc186534380" ?题型07 方向角
\l "_Tc186534381" ?题型08 钟面角
\l "_Tc186534382" ?题型09 与角平分线有关的计算
\l "_Tc186534383" ?题型10 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
\l "_Tc186534384" ?题型11 三线八角的识别
\l "_Tc186534385" ?题型12 利用平行线的判定进行证明
\l "_Tc186534386" ?题型13 根据平行线的性质求解
\l "_Tc186534387" ?题型14 平行线的形状在生活中的应用
\l "_Tc186534388" ?题型15 根据平行线性质与判定求角度
\l "_Tc186534389" ?题型16 根据平行线性质与判定证明
\l "_Tc186534390"
\l "_Tc186534391"
?题型01 从不同方向看几何体
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）小明自己动手做了一个数学模型，从正面、左面、上面观察它，得到的三视图如图所示，则该模型的形状是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥
【答案】A
【分析】本题考查从不同方向看．由从正面、左面看可得此几何体为锥体，根据从上面看是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．
【详解】解：∵从正面、左面看都是三角形，
∴此几何体为锥体，
∵从上面看是一个圆及圆心，
∴此几何体为圆锥，
故选A．
2．（2022·安徽·模拟预测）如图，下列四个几何体，从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状中只有两个相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别找出每个几何体从三个方向看到的图形即可得到答案．
【详解】解：A.正方体从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是正方形，故A选项不符合题意；
B.球从从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是圆，故B选项不符合题意；
C.直三棱柱从上面看是中间有一条横杠的矩形，从正面看是矩形，从左侧看是三角形，故C选项不符合题意；
D.圆柱从上面和正面看都是矩形，从左侧看是圆，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，培养空间想象能力，熟练掌握从不同方向看几何体是解决本题的关键．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）小明同学从正面观察如图所示的几何体，得到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
【详解】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形.
故选：A．
?题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
4．（2024·云南昭通·二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是11cm，底面圆的直径是8cm，则这个笔筒的侧面积为 cm2（结果保留π）．
【答案】88π
【分析】本题考查了圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积为πdℎ，其中d为底面圆直径，ℎ为圆柱的高是解题的关键．
根据笔筒的侧面积为π⋅8⋅11，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，笔筒的侧面积为 π⋅8⋅11=88π cm2，
故答案为：88π．
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形：
下列说法正确的是（ ）
A．方案 1中的 a=4B．方案2中的b=6
C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同
【答案】C
【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案．
【详解】解：方案1：a=12÷4＝3，故A选项错误，
所折成的无盖长方体的底面积为3×3=9．
容积为5×9=45．
方案2：b=12−2×22=4，故B选项错误，
所折成的无盖长方体的底面积为4×2=8．
容积为6×8=48．
∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积，
故选：C．
6．（2020·黑龙江大庆·中考真题）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
【答案】D
【分析】根据V圆锥=13S底面积ℎ高,V圆柱=S底面积ℎ高,结合已知条件可得答案．
【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为r, 圆锥的高为ℎ，则圆柱的高为3ℎ，
∴V圆锥=13πr2ℎ,V圆柱=πr2×3ℎ=3πr2ℎ,
∴V圆锥V圆柱＝13πr2ℎ3πr2ℎ=19.
故选D．
【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为100dm2的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 dm3．
【答案】162
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．
设EF=x，判断出△AEF和△DEG为等腰直角三角形，证明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EFEG，可求出AE，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积．
【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD=10，
设EF=x，
由此裁剪可得：△AEF和△DEG为等腰直角三角形，
∴△AEF∽△DEG，
∴AEDE=EFEG，即AE10−AE=x4x，
解得：AE=2(分米)，
∴EF=2AE=22(分米)，
∴正方体礼品盒的棱长为22(分米)，
∴体积为223=162(立方分米)，
故答案为：162．
?题型03 正方体的展开图
8．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开（外表面朝上），其展开图可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方体表面展开图，观察原正方体的3条粗黑线的特征，有两条交于一个顶角，第三条与前面两条粗黑线没相交，据此逐个选项分析，即可作答．
【详解】
解：观察，
∴其展开图可能是，
故选：D．
9．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A．美B．丽C．中D．国
【答案】B
【分析】本题考查了正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的特点即可得出答案，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征“隔一个或成Z字端”．
【详解】解：由图可知，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是“丽”，
故选：B．
10．（2024·河北唐山·二模）如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点E重合的顶点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【分析】本题考查了立体图形的展开图，解题的关键是数形结合．结合图形即可求解．
【详解】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点E重合的顶点是点D．
故选：D．
11．（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．点数1的对面是B面B．点数2的对面是A面
C．A，C两个面的点数和为9D．B，C两个面的点数和为6
【答案】C
【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据同行隔一个，确定出相对面，再进行判断即可．
【详解】解：由图可知：点数1的对面是A面，故A的点数为7−1=6；
点数4的对面是C面，故C的点数为7−4=3；
点数2的对面是B面，故B的点数为7−2=5，
∴A，C两个面的点数和为9，B，C两个面的点数和为8；
故选C．
?题型04 平面图形旋转所得的立体图形
12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，将Rt△PQR绕直线PQ旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留π）
【答案】15π
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，勾股定理，面动成体，先利用勾股定理得到PR=RQ2+PQ2=5，再根据题意可得将Rt△PQR绕直线PQ旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，据此根据圆锥侧面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，
∴PR=RQ2+PQ2=5，
∵将Rt△PQR绕直线PQ旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，
∴这个几何体的侧面积等于π×3×5=15π，
故答案为：15π．
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a、b的矩形，已知a>b，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想（V圆锥=13πr2ℎ，V圆柱=πr2ℎ）
【答案】图形①的体积更大，见解析
【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥的相关知识成为解题的关键．设图形①、②的体积分别为V₁、V2，然后分别求得图形①、②的体积，然后作差即可解答．
【详解】解：图形①的体积更大．
设图形①、②的体积分别为V1、V2，
则V1=13πa2×3b=πa2b，V2=πb2a，
∴V1−V2=πa2b−πb2a=πaba−b，
∵a>b，
∴V1−V2>0
故图形①的体积更大．
14．（2024·陕西西安·二模）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）；
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）
【答案】(1)圆柱；C
(2)9.72πm3
【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体，
（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱；
（2）根据圆柱体的体积=底面积×高计算即可．
【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形，
∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体．
故答案为：圆柱；C；
（2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
体积为：π×1.82×3=9.72πm3．
故形成的几何体的体积是9.72πm3．
?题型05 指出现实问题后的数学依据
15．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．
【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；
D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；
故选：C．
16．（2023·吉林白山·模拟预测）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形两边之和大于第三边
【答案】A
【分析】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间所有的连线中，线段最短．
【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分，则原来所减掉的线段的两个端点之间由曲线变为了线段，周长缩小了，则应用的原理是两点之间线段最短，
故选：A．
17．（2023·河南洛阳·二模）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实 ．
【答案】把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）
【分析】根据两点确定一条直线的原理寻找实例解答即可．
【详解】举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实为：把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）．
故答案为：把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了直线的性质，关键是正确理解两点确定一条直线．
18．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：
其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 （填序号）．
【答案】①
【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．
【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①，
可以“两点之间线段最短” 来解释②，
可以用“两点确定一条直线” 来解释③，
故答案为：①．
【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
?题型06 与线段中点有关的计算
19．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，C地在A，B两地的中点处，若A，C两地之间的距离为6×106m，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．3×106mB．12×106mC．1.2×106mD．1.2×107m
【答案】D
【分析】首先根据线段中点的定义求得AB=2AC，然后利用科学记数法表示该数即可；本题主要考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法形式a×10n，其中1≤a