第16讲 三角形的概念和性质-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc186536494"
\l "_Tc186536495" ?题型01 三角形的稳定性
\l "_Tc186536496" ?题型02 画三角形的五线
\l "_Tc186536497" ?题型03 与三角形高有关的计算
\l "_Tc186536498" ?题型04 等面积法求高
\l "_Tc186536499" ?题型05 求网格中的三角形面积
\l "_Tc186536500" ?题型06 与三角形中线有关的计算
\l "_Tc186536501" ?题型07 与三角形重心有关的计算
\l "_Tc186536502" ?题型08 与三角形中位线有关的计算
\l "_Tc186536503" ?题型09 利用角平分线的性质求解
\l "_Tc186536504" ?题型10 角平分线的判定
\l "_Tc186536505" ?题型11 利用垂直平分线的性质求解
\l "_Tc186536506" ?题型12 垂直平分线线的判定
\l "_Tc186536507" ?题型13 根据作图痕迹求解
\l "_Tc186536508" ?题型14 利用三角形三边关系求解
\l "_Tc186536509" ?题型15 利用三角形内角和定理求解
\l "_Tc186536510" ?题型16 三角形内角和与平行线的综合应用
\l "_Tc186536511" ?题型17 三角形内角和与角平分线的综合应用
\l "_Tc186536512" ?题型18 与角度有关的折叠问题
\l "_Tc186536513" ?题型19 利用三角形内角和定理解决三角板问题
\l "_Tc186536514" ?题型20 利用三角形外角和定理求解
\l "_Tc186536515" ?题型21 三角形外角性质与平行线的综合应用
\l "_Tc186536516" ?题型22 三角形内角和定理与外角和定理的综合
\l "_Tc186536517"
\l "_Tc186536518"
?题型01 三角形的稳定性
1．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题．
【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
2．（2024·广西柳州·二模）下列图形中具有稳定性的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了三角形的稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，五边形，四边形，六边形不具有稳定性，
∴具有稳定性的是A选项中的图形，
故选：A．
3．（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，四边形木架ABDC．
(1)加上木条BC后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是____________；
(2)如∠A=∠D，BC平分∠ABD，求证：AC=DC．
【答案】(1)三角形具有稳定性
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可；
（2）由BC平分∠ABD，可得∠ABC=∠DBC，然后证明△ABC≌△DBCAAS，再根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：∵四边形木架ABDC加上木条BC后，
则四边形ABDC由△ABC和△DBC拼接而成，
∵三角形具有稳定性，
∴此时木架不易变形．
故答案为：三角形具有稳定性．
（2）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠DBC，
在△ABC和△DBC中，
∠A=∠D∠ABC=∠DBCBC=BC
∴△ABC≌△DBCAAS，
∴AC=DC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的稳定性，角平分线的定义．掌握全等三角形的判定是解题的关键．
4．（2023·广西钦州·一模）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题：
(1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是．
A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
(2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，CD=20cm,∠C'AC=12°，∠C'AD=45°，请计算此时水桶下降的高度（参考数据：sin12°≈0.2，cs12°≈1.0，tan12°≈0.2）．
【答案】(1)A
(2)7.5cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，线段熟练掌握锐角三角的性质，三角形的稳定性，函数的定义是解题的关键．
（1）根据三角形具有稳定性，即可解答；
（2）设AC'=xcm，根据题意可得：DC⊥AB，然后分别在Rt△ACC'和Rt△AC'D中，利用锐角三角函数的定义求出CC'和C'D的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：A；
（2）设AC'=xcm，
由题意得：DC⊥AB，
在Rt△ACC'中，∠C'AC=12°，
∴CC'=AC'⋅tan12°≈0.2x(cm)，
在Rt△AC'D中，∠C'AD=45°，
∴C'D=AC'⋅tan45°=x(cm)，
∵CD=30cm，
∴C'D−CC'=30cm，
∴x−0.2x=30，
解得：x=37.5，
∴CC'=0.2x=7.5(cm)，
∴此时水桶下降的高度CC'约为7.5cm．
?题型02 画三角形的五线
5．（2024商洛市二模）在△ABC中，∠BAC是钝角，下列图中画AB边上的高线正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高的定义可知，AB边上的高线是经过C点向AB边所作的垂线段，依此求解即可，解题的关键是正确理解定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
【详解】由题意可得，在△ABC中，∠BAC是钝角，画AB边上的高线是CD，
故选：B．
6．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．

(1)在图①中，画出BC边上的中线AD．
(2)在图②中，画出AC边上的点E，使得AEEC=13．
(3)在图③中，画出AB边上的高CF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高和中线等等：
（1）取BC于格线的交点D，连接AD，线段AD即为所求；
（2）如图所示，取格点G、H，连接GH交AC于E，点E即为所求；
（3）如图所示，取格点D，连接CD交AB于F，线段CF即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段AD即为所求；

（2）解：如图所示，取格点G、H，连接GH交AC于E，点E即为所求；
易证明△AEG∽△CEH，则AECE=AGCH=13；

（3）解：如图所示，取格点I，连接CI交AB于F，线段CF即为所求．

7．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中按下列步骤完成画图．
①画出△ABC的高CD；
②画△ACD的角平分线AE；
③画点D关于AC的对称点D'；
(2)如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM=PN，画出线段MN．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)见解析
【分析】（1）①取格点T，连接CT交AB于点D，此时CD是△ABC的高；
②取格点H，CD与BH的交点即为点E，连接AE；
③分别画AB，CT关于AC的对称线段AB'和CT'，AB'和CT'的交点D'即为点D关于AC的对称点；
(2)连接BP并延长交网格线于点Q，则BP=PQ，连接AP并延长交网格线于点L，则AP=PL，连接QL交BC于点N，延长NP交AB于点M，则线段MN即为所画的线段．
【详解】（1）解：（1）①如图所示,CD为所求；
②如图所示,AE为所求；
③如图所示, D'为所求；
（2）如图所示, 线段MN为所求．
【点睛】此题考查作图一应用与设计作图,解题的关键是理解题意,学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考常考题型．
8．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图是由单位长度为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点A、B两点在格点，C点在网线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程中用虚线表示．

(1)在图1中，画BC中点D，再过点D画线段EF，使EF=BC；
(2)在图2中，画线段AB的垂直平分线MN，再在直线AB右侧找一点P，连接AP，使∠PAB=∠ABC．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】
（1）利用网格特征作出线段BC的中点D，延长ED后有EF=BC；
（2）取AB的中点J，点K作直线MN即可，延长CB交MN与点T，设AC交直线MN于点R，射线TA，射线BR交于点P，点P即为所求．
【详解】（1）如图1中，点D，线段EF即为所求；

（2）
如图2中，直线MN，点P即为所求．

【点睛】
此题考查了作图−应用与设计作图，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
?题型03 与三角形高有关的计算
9．（2024·湖北·模拟预测）△ABC的三边AB，AC，BC的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，2.4为半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．以上都不是
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，设斜边BC上的高为ℎ，根据等面积法求出ℎ=2.4，即可得解．
【详解】解：∵AB2+AC2=32+42=25=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
设斜边BC上的高为ℎ，则S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅ℎ，
∴ℎ=AB⋅ACBC=3×45=2.4，
∴以顶点A为圆心，2.4为半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是相切，
故选：C．
10．（2024·上海·模拟预测）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于O，若△BCD面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比为
【答案】2:3
【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
过点D作DM⊥BC,垂足为M，过点B作BN⊥AD,交DA的延长线于点N，根据已知易得DM=BN,再根据S△BCD=2S△ABD，从而可得BC=2AD，然后再证明△AOD∽△COB,，利用相似三角形的性质可得ADBC=DOBO=12,从而可得BOBD=23,最后根据△BOC与△BDC的高相等，即可解答.
【详解】解：过点D作DM⊥BC, 垂足为M, 过点B作BN⊥AD, 交DA的延长线于点N,
∵AD∥BC,
∴BN=DM,
∵S△BCD=2S△ABD，
∴12BC⋅DM=2×12AD⋅BN，
∴BC=2AD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠ACB,
∴△AOD∽△COB,
∴ADBC=DOBO=12，
∴BOBD=23，
∵△BOC与△BDC的高相等,
∴S△BOCS△BDC=BOBD=23，
故答案为: 2:3.
11．（2024·重庆·三模）如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，AB⊥CE于点E，CE与BD相交于点H，已知AD=HD=2，CD=6，则△ABC的面积为 ．
【答案】24
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA证明△ADB≌△HDC，得到BD=CD=6，再根据△ABC的面积=12AC·BD解答即可求解，证明△ADB≌△HDC是解题的关键．
【详解】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠HDC=∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠A+∠HCD=90°，∠DHC+∠HCD=90°，
∴∠A=∠DHC，
在△ADB与△HDC中，
∠A=∠DHCAD=HD∠ADB=∠HDC，
∴△ADB≌△HDCASA，
∴BD=CD=6，
∵AC=AD+CD=2+6=8，
∴△ABC的面积=12AC·BD=12×8×6=24，
故答案为：24．
12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2，S△ABD=5，则CE＝（ ）
A．5－1B．3－1C．1D．32
【答案】A
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出BD，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得AD=CD，然后根据勾股定理求出DE，进而得出答案．
【详解】∵AE=2，S△ABD=5，
∴12BD⋅AE=5，
解得BD=5．
∵AD是Rt△ABC的中线，
∴AD=CD=BD=5．
在Rt△ADE中，DE=AD2−AE2=1，
∴CE=CD−DE=5−1．
故选：A．
?题型04 等面积法求高
13．（2024·陕西西安·二模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A､B､C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD= ．

【答案】4105/4510
【分析】本题主要考查了求三角形的高，割补法求三角形面积，勾股定理，先利用割补法求出△ABC的面积，再利用勾股定理求出AC的长，再利用三角形面积公式求出BD即可．
【详解】解：S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×3−12×2×2=4，
由勾股定理得AC=12+32=10，
∵BD是△ABC的高，
∴S△ABC=12BD⋅AC=4，
∴S△ABC=12×10BD=4，
∴BD=4105，
故答案为：4105．
14．（2024·陕西商洛·二模）如图，△ABC的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高为（ ）
A．302B．855C．58D．455
【答案】B
【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，先利用割补法和勾股定理求得三角形的面积和AC，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：根据网格特点，S△ABC=3×4−12×1×2−12×2×4−12×2×3=4，
AC=22+12=5，
∴AC边长的高=2S△ABCAC=2×45=855，
故选：B．
15．（2024贵州省模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为（ ）
A．5B．25C．1D．2
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理得出BC的长，再利用等面积法得出AD的长．
【详解】解：由图可知：S△ABC=4×4−12×2×1−12×2×4−12×3×4=5，BC=42+32=5，
∵S△ABC=12BC⋅AD，
∴S△ABC= 12×5×AD=5，
解得：AD=2．
故选：D．
?题型05 求网格中的三角形面积
1．（2024·河北唐山·二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC向右平移1个单位长得到△A'B'C'．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）阴影部分的面积为 ．
【答案】 5 95
【分析】本题考查借助网格求面积，平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键：
（1）借助网格求面积即可；
（2）设AB与A'C'的交点为E，BC与A'C'的交点为F，根据平移的性质，推出△BEF∽△BAC，进行求解即可．
【详解】解：（1）△ABC的面积为：3×4−12×1×4−12×2×3−12×2×2=5；
故答案为：5；
（2）设AB与A'C'的交点为E，BC与A'C'的交点为F，
根据格点可得，四边形AA'CD是矩形，对角线交于点G，△ABC，△A'B'C'的顶点均在格点上，
∴点G和点H是两个相邻格点的中点
∴BH=2−0.5=1.5，BG=3−0.5=2.5，
由平移的性质可知，A'C'∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴ S△BEFS△ABC=BHBG2=，
∵S△ABC=5，
∴S△BEF=95，
即阴影部分的面积为95．
故答案为：95．
17．（2024琼海市三模）如图，已知A0,2，B2,1，C4,3．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)在图中画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'（点A、B、C的对称点分别为A'，B'，C'）；
(3)已知P为y轴上一点，若△A'C'P的面积为4，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)P0,0或P0,−4
【分析】本题主要考查了坐标与图形，在平面直角坐标系中画三角形以及画关于x轴的对称的图性，及其根据三角形面积求点的坐标．
1先根据A0,2，B2,1，C4,3描点，然后连接各点即可．
2先求出A，B，C三点关于x轴的对称点，然后描点连接即可．
3设点P0,m，根据题意，得PA'=m+2，根据△A'C'P的面积为4，即可求出m的值，进一步即可得出点P的坐标．
【详解】（1）解：根据题意，A0,2，B2,1，C4,3，画图如下：

则△ABC即为所求．
（2）根据A0,2，B2,1，C4,3，得到关于x轴对称的△A'B'C'的三个顶点坐标分别为A'0,−2，B'2,−1，C'4,−3，画图如下：

则△A'B'C'即为所求．
（3）设点P0,m，
根据题意，得PA'=m+2，
∵△A'C'P的面积为4，
∴12×4×m+2=4，
解得m=0或m=−4，
故点P的坐标为P0,0或P0,−4．
18．（2024莆田市模拟）如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求∠BCD的度数．
【答案】(1)17.5
(2)∠BCD=90°
【分析】本题考查勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）利用网格割补法求面积进行求解即可；
（2）先用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行求解即可．
【详解】（1）四边形ABCD的面积=5×7−12×1×7−12×1×2−12×3×4−12×2×4−1×3=17.5；
（2）解：连接BD，
根据勾股定理得AB=12+72=52，AD=32+42=5，
CD=12+22=5，BC=22+42=25，
∵BC=25，CD=5，BD=32+42=5，
∴BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°．
19．（2024金沙县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−3,−1，B1,3，C2,−3，则三角形ABC的面积为 ．

【答案】14
【分析】利用割补法求解即可，
【解答】
解：S△ABC＝5×6﹣×3×7﹣×2×7＝30﹣6﹣3﹣5＝16．
?题型06 与三角形中线有关的计算
20．（2024·上海浦东新·一模）如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则S2:S1= ．
【答案】1:10
【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．
【详解】解：过点D作DM⊥AB,DN⊥AC，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴DM=DN,

∵AB=4,AC=6,E为BC中点，
∴S△ABE=S△AEC=12S△ABC,
∴S△ABDS△ADC=12AB⋅DM12AC⋅DN=46=23,
设S△ABD=2x,S△ADC=3x，则S△ABC=5x, S△ABE=S△AEC=52x,
则S2S1=3x−52x5x=110，
故答案为：1:10．
21．（2024·浙江·模拟预测）如图，D是△ABC的边AB上一点，且AD:DB=2:1，过点D作DE∥BC，交AC于点E，取线段AE的中点F，连接DF．若DF=4，则△ABC中AC边上的中线长为（ ）
A．2B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
证明出△ADF∽△ABH，得到DFBH=ADAB，即可求解．
【详解】解：取AC中点为H，连接BH，则BH为AC边上的中线，
∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC=2，
设AE=4x,EC=2x，则AC=6x，
∴AH=3x，
∵线段AE的中点F，
∴AF=2x，
∴AFAH=ADAB=23，
∵∠A=∠A，
∴△ADF∽△ABH，
∴DFBH=ADAB，
∴4BH=23，
∴BH=6，
故选：B．
22．（2024·广东广州·二模）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cs∠ABC=45，BE为AD边上的中线．
(1)求AC的长；
(2)求△BED的面积．
【答案】(1)AC=6
(2)18
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键．
（1）先根据∠ABC的余弦求出AB的长，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据BE为AD边上的中线可知，△BED的面积是△ABD面积的一半，据此可解决问题．
【详解】（1）∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠ACD=90°．
在Rt△ABC中，
cs∠ABC=BCAB，
∴AB=845=10，
AC=102−82=6．
（2）∵BE为AD边上的中线，
∴S△BED=12S△ABD．
又∵S△ABD=12⋅BD⋅AC=12×12×6=36，
∴S△BED=12×36=18．
23．（2024·山西太原·三模）如图示，BE是△ABC的中线，点D是AB边靠近顶点B的一个三等分点，连接CD，交BE于点F，则DFCF等于（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形中线的性质，作EH∥AB，交CD于点H，证明△CEH∽△CAD，结合三角形中线的性质，得到EH=12AD，CH=DH=12CD，根据题意得到BD=12AD，进而得到BD=EH，证明△EHF∽△BDF，利用相似三角形性质得到DF=HF=12DH=14CD，CF=HF+CH=34CD，即可解题．
【详解】解：作EH∥AB，交CD于点H，
∴△CEH∽△CAD，
∵ BE是△ABC的中线，
∴CHCD=CEAC=EHAD=12，即EH=12AD，CH=DH=12CD，
∵点D是AB边靠近顶点B的一个三等分点，
∴BD=12AD，
∴BD=EH，
∵ EH∥AB，
∴△EHF∽△BDF，
∴DFHF=EHBD=1，
即DF=HF=12DH=14CD，CF=HF+CH=34CD，
∴ DFCF=13，
故选：B．
?题型07 与三角形重心有关的计算
24．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图①，是某教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图②的△ABC中找到这个支点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．作AC和BC的垂直平分线得到三角形的两条中线，它们的交点为P．
【详解】解：如图，点P即为所求．
25．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D、E分别为AB、BC的中点，AE与CD交于点O，则OD的长为（ ）
A．53B．56C．52D．54
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形中线交点的性质，根据勾股定理可求出AB=5，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD=12AB=52，再根据三角形中线交点（重心）的性质“三角形的三条中线交于一点，该点叫三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍”即可求解，掌握勾股定理定理，直角三角形斜边中线的性质，重心的性质是解题的关键．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=BC2+AC2=32+42=5，
∵点D，E是AB，BC中点，
∴CD=12AB=52，且点O是三角形△ABC的重心，
∴OC=2OD，
∴OD=13CD=13×52=56，
故选：B ．
26．（2024·山东聊城·二模）综合与实践
教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．

莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片ABC，如图，AB=AC=5，BC=6．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕AE，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕DF，再展开后连接CD，交折痕AE于点O，则点O就是△ABC的重心．

(1)初步观察：连接AF，判断AF与BF的数量关系并说明理由；
(2)猜想验证：莹莹通过测量发现OA与OE，OC与OD有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；
(3)尝试运用：利用（2）的结论计算△AOC的面积；
(4)拓展探究：莹莹把△AFC剪下后得△A'F'C'，发现可以与△ABF拼成四边形，且拼的过程中点A'不与点A重合，直接写出拼成四边形时OA'的长．
【答案】(1)AF=BF，见解析
(2)OA=2OE，OC=2OD，见解析
(3)4
(4)OA'的长为973或1136
【分析】（1）利用折叠的性质即可得到答案；
（2）连接DE，易得DE为△ABC的中位线，则DE∥AC，DE=12AC，于是△ODE∽△OCA，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）由折叠可知，BE=CE=12BC=3，∠AEC=90°，利用勾股定理求得AE=4，结合（2）的结论，根据三角形面积公式可求解；
（4）连接OB，由（2）知OA=83，则OE=43，利用勾股定理求得OB=973，由折叠可知∠ADF=∠BDF=90°，AF=BF，AD=BD=52，易证△FBD∽△ABE，由相似三角形的性质可求得BF=256，则EF=76，分两种情况讨论：当A'与点B重合时，此时OA'=OB；当点A'与点F重合时，利用勾股定理求出OF即可．
【详解】（1）解：∵点B与点A重叠对折，得折痕DF，
∴△ADF≌△BDF（折叠的性质），
∴AF=BF；
故答案为：AF=BF；
（2）解：猜想：OA=2OE，OC=2OD
理由如下：连接DE．

∵点D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=12AC，
∴∠ODE=∠OCA，∠OED=∠OAC，
∴△ODE∽△OCA，
∴OEOA=DEAC=ODOC=12，
∴OA=2OE，OC=2OD；
（3）解：由折叠可得，BE=CE=12BC=3，∠AEC=90°，
∵AC=5，
∴AE=AC2−CE2=4，
由（2）知，OA=2OE，
∵OA+OE=AE=4，
∴OA=23AE=83，
∴S△AOC=12OA⋅CE=12×83×3=4；
（4）解：如图，连接OB，

由（2）知，OA=83，
∴OE=4−83=43，
在Rt△OBE中，OB=OE2+BE2=432+32=973，
由折叠可知，∠ADF=∠BDF=90°，AF=BF，AD=BD=12AB=52，
∴∠BDF=∠BEA=90°，
∵∠FBD=∠ABE，
∴△FBD∽△ABE，
∴BDBE=BFBA，即523=BF5，
∴BF=256，
∴EF=BF−BE=256−3=76，
当A'与点B重合时，如图①②，连接OB，

此时OA'=OB=973；

∵∠AFB+∠AFC=180°，∠AFC=∠A'F'C'，
∴∠AFB+∠A'F'C'=180°，
此时拼成的图形为三角形，不符合题意；
当点A'与点F重合时，如图③④，


在Rt△OEF中，OF=OE2+EF2=432+762=1136，
∴OA'=OF=1136．
综上所述，OA'的长为973或1136．．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、中线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是读懂题意，熟知折叠的性质，学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题．
?题型08 与三角形中位线有关的计算
27．（2024·重庆·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=3cm，则EF= cm．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形的中位线以及为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识点，由题意得：CD=12AB，再结合EF是Rt△ABC的中位线即可求解；
【详解】解：由题意得：CD=12AB，
∴AB=6cm，
∵E、F分别是BC、CA的中点，
∴EF是Rt△ABC的中位线，
∴EF=12AB=3cm，
故答案为：3
28．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
（1）【知识回顾】
在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理．
（2）【数学发现】
如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形．
如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？
【证明猜想】
（3）证明（2）的结论，并在“AD=5，BC=7”的条件下，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：EF∥AD∥BC，EF=12AD+BC；（3）证明见解析，6；
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
（1）根据三角形中位线定理的内容写出对应的已知，求证和证明过程即可；
（2）延长AF交BC延长线于M，证明△ADF≌△MCFAAS可得到所要的三角形；根据梯形性质和三角形的中位线进行猜想即可得出结论；
（3）如图③，连接AF并延长，交BC延长线于点M，证明△ADF≌△MCFAAS得到AD=MC，AF=MF，在△ABM中，利用三角形的中位线可证得EF∥BM，EF=12BM，进而可证得结论；再根据结论求出EF的长即可．
【详解】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
求证：DE=12BC，DE∥BC：
证明：如图所示，过点C作CF∥AB交DE延长线与F，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD，AE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠EAD=∠ECF，∠EDA=∠EFC，
∴△ADE≌△CFEAAS，
∴DE=FE，AD=CF，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴BC=DF=2DE，BC∥DF，
∴DE=12BC，DE∥BC；
（2）如图所示，延长AF交BC延长线于M，则把△ADF延AF剪开后放置到△MCF的位置，△ABM即为所求；
猜想：EF∥AD∥BC，EF=12AD+BC；
（3）连接AF并延长，交BC延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴∠M=∠DAF．
∵F是DC的中点，
∴DF=CF．
∵∠AFD=∠MFC，
∴△ADF≌△MCFAAS．
∴AD=MC，AF=MF．
∴点F是AM的中点，又点E是AB的中点，
∴EF是△ABM的中位线，
∴EF∥BM，EF=12BM．
∴EF=12MC+BC=12AD+BC．
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴EF∥AD．
∴EF∥AD∥BC，EF=12AD+BC．
∵AD=5，BC=7，
∴EF=12AD+BC=12×5+7=6。
29．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务：
下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题：
如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE相交于点P．求证：PEBE=PDCD=13．
小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结DE．
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=12BC，（依据）
∵……；∴……．
∴PEBE=PDCD=13；
任务：
(1)填空：材料中的依据是指：______．
(2)将材料中的证明过程补充完整．
(3)如图②，在△ABC中，AB=AC，AD为边BC的中线．点E，F分别为边AB，AC的中点，EF与AD交于点O，BF与AD交于点P．则S△POF:S四边形PDCF=______．
【答案】(1)三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）
(2)见解析
(3)S△POFS四边形PDF=18
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可；
（2）证明△PDE∽△PCB，即可解答；
（3）如图中，连接DF．设△POF的面积为a．证明EF∥BC，得出OPPD=OFBD=12，从而得出S△PDF=2a，S△AOF=S△OFD=3a，再根据AF=CF，得出S△ADF=S△DFC=6a，S四边形PDCF=8a，即可求解．
【详解】（1）解：依据：三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）．
（2）解：补充如下：
∵DE∥BC，
∴∠DEP=∠CBP，∠EDP=∠BCP，
∴△PDE∽△PCB，
∴PEPB=PDPC=DEBC=12，
∴PEBE=PDCD=13；
（3）解：如图中，连接DF．设△POF的面积为a．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥CB，
∵AE=EB，AF=FC，
∴EF∥BC，AFAC=12，
∴△AOF∽△ADC，
∴AOAD=OFCD=AFAC=12，
∴AO=12AD，OF=12CD=12BD，
∵OF∥BD，
∴△OFP∽△DBP，
∴OPPD=OFBD=12，
∴S△PDF=2a，
∴S△AOF=S△OFD=3a，
∵AF=CF，
∴S△ADF=S△DFC=6a，
∴S四边形PDCF=8a，
∴ S△POFS四边形PDCF=18．
30．（2024·山东枣庄·一模）下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务
10月30日 星期一 晴
今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度AB”进行了热烈讨论．
我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下．
小丽的方法：如图（1），在过点B且与AB垂直的直线l上确定一点D，使点D可直接到达点A，连接AD，在AB的延长线上确定一点C，使CD=AD，测出BC的长，则AB=BC．
小丽的理由：
∵CD=AD，DB⊥AC，
∴AB=BC．（依据1）
小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点A、B的点C，连接AC，BC，在AC，BC，上分别取点D、E，使AD=CD，BE=CE，连接DE，测出DE的长，则AB=2DE．
小强的理由：
∵AD=CD，BE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE．（依据2）．
小亮的方法：如图（3），在BA的延长线上取一点C，在过点C且与AB垂直的直线a上确定一点D，使从点D可直接到达点B，在过点A且与AB垂直的直线b上确定一点E，使点B，E，D在同一条直线上，测出AC，AE，CD的长，即可求出AB的长．
我的方法：在过点A且与AB垂直的直线l上确定一点C，只需测得∠BCA的度数和CA的长度，就可求出池塘AB的宽度．
我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决．
我要会用“数学的眼光观察现实世界，数学的思维思考现实世界，数学的语言表达现实世界．
任务：
(1)填空：依据1指的是______；依据2指的是______；
(2)若按照小亮的方法测出AC=10m，AE=40m，CD=60m，请你求出池塘AB的宽度；
(3)小颖同学的方法如图，若测得∠BCA=30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：3≈1.73）
【答案】(1)等腰三角形三线合一，三角形中位线定理
(2)池塘AB的宽度为20m
(3)池塘AB的宽度约为20m
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三角形中位线定理解决问题即可；
（2）证明△BAE∽△BCD，再根据相似三角形的性质列式计算即可；
（3）根据含30°角三角形的性质得到AB，BC间的关系，再利用勾股定理列方程可求出池塘AB的宽度．
【详解】（1）解：小丽的方法：如图（1），在过点B且与AB垂直的直线l上确定一点D，使点D可直接到达点A，连接AD，在AB的延长线上确定一点C，使CD=AD，测出BC的长，则AB=BC．
小丽的理由：
∵CD=AD，
∴△ADC是等腰三角形，
∵DB⊥AC，
∴DB是等腰三角形△ADC的高，
∴AB=BC．（等腰三角形三线合一）
小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点A、B的点C，连接AC，BC，在AC，BC，上分别取点D、E，使AD=CD，BE=CE，连接DE，测出DE的长，则AB=2DE．
小强的理由：
∵AD=CD，BE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE．（三角形中位线定理）．
答案为：等腰三角形三线合一；三角形中位线定理；
（2）解：∵AB⊥直线a，AB⊥直线b，
∴AE∥CD，
∴△BAE∽△BCD，
∴ABCB=AECD，
∵AC=10m，AE=40m，CD=60m，CB=AB+AC，
∴ABAB+10=4060，
解得AB=20m，
答：池塘AB的宽度为20m；
（3）∵BA⊥AC，∠BCA=30°，
∴BC=2AB，
在Rt△ABC中，
由勾股定理，得BC2=AB2+AC2，
∵AC=34米，
∴2AB2=AB2+342，
解得AB≈20米，（负的已舍），
答：池塘AB的宽度约为20m．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形中位线定理，三角形相似的性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，能综合运用与三角形有关的性质是解题的关键．
?题型09 利用角平分线的性质求解
31．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，则△BDE的周长为4，则AC为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得DE=EC，∠ADE=∠ACE=90°，证得Rt△ADE≌Rt△ACEHL，可得AD=AC，再根据三角形周长可得4+2AC=12，即可求解．
【详解】解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，EC⊥AC，
∴DE=EC，∠ADE=∠ACE=90°，
又∵AE=AE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACEHL，
∴AD=AC，
∵△BDE 的周长为 4 ，△ABC 的周长为12，
∴BD+DE+BE=BD+EC+BE=BD+BC=4，AB+AC+BC=AD+BD+AC+BC=BD+BC+2AC=12，
∴4+2AC=12，
∴AC=4，
故选：B．
32．（2022·广东深圳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】本题考查基本作图——作角平分线，角平分线的性质定理，垂线段最短．当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP=CD，即得．
【详解】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图知：AE平分∠BAC，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵DP⊥AB，
∴DP=CD=5．
∴PD的最小值为5，
故选：D．
33．（2024·青海·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
(1)求证：AC=AE；
(2)若BC=4，AB=5，求BE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，
（1）由角平分线的性质得到DC=DE，证明Rt△ADC≌Rt△ADEHL，由全等三角形的性质即可得证；
（2）由勾股定理求出AC，由（1）知AC=AE，由BE=AB−AE=AB−AC，即可得解；
掌握角平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
DC=DEAD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADEHL，
∴AC=AE；
（2）解：∵∠C=90°，BC=4，AB=5，
∴AC=AB2−BC2=52−42=3，
由（1）知：AC=AE，
∴BE=AB−AE=AB−AC=5−3=2，
∴BE的长为2．
34．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．
(1)尺规作图：作△ABC的边AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若BC=3，求DE的长．
【答案】(1)见详解
(2)3
【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和解直角三角形、角平分线的性质．
（1）利用基本作图作AB的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，根据角平分线的性质和正切定义即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，DE为所作；
（2）解：连接BE，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=BE,DE⊥AB，
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，
∴∠ABE=∠A=30°,∠ABC=60°，
∴∠CBE=30°，
∴∠CBE=∠ABE，
又∠ACB=∠BDE=90°，
∴DE=CE=BC⋅tan∠CBE=33BC=3，
故DE的长为3．
?题型10 角平分线的判定
35．（2024·重庆·模拟预测）学习了四边形后，小麦同学想继续探索邻边相等的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点C作CN⊥AB交AB于点N，过点C作CM⊥AD交AD于点M，（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，四边形ABCD，DC=BC，∠BAD+∠BCD=180°，连接AC，求证：AC平分∠BAD，
∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠CMD=∠CNB=90°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，
又∵∠ADC+∠CDM=180°，
∴① ，
∵CD=CB，
∴△CDM≌△CBN（② ），
∴CM=CN，
∴∠BAC=∠DAC（依据：③ ）
小麦同学进一步研究发现，四边形中满足邻边相等，且对角互补，均有以上特征，请你依照题意完成下面命题：若四边形邻边相等，对角互补，则④ ．
【答案】(1)见详解
(2)①∠B=∠CDM；②AAS；③角平分线判定定理；④四边形的对角线平分相等临边所夹角的对角
【分析】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理．
（1）利用垂线的基本作图，解答即可；
（2）根据垂直的定义，三角形的全等判定和性质，根据角平分线的判定证明即可．
【详解】（1）解：根据题意作图即可；
（2）证明：∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠CMD=∠CNB=90°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，
又∵∠ADC+∠CDM=180°，
∴①∠B=∠CDM，
∵CD=CB，
∴△CDM≌△CBN（②AAS），
∴CM=CN，
∴∠BAC=∠DAC（③角平分线判定定理）
依照题意完成下面命题：若四边形邻边相等，对角互补，则④四边形的对角线平分相等临边所夹角的对角．
故答案为：①∠B=∠CDM；②AAS；③角平分线判定定理；④四边形的对角线平分相等临边所夹角的对角．
36．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是∠AOB内一射线OC上一点，点M、N分别是边OA、OB上的点，连接PM，PN且PM=PN，∠PMO=∠PNO．
求证：OC是∠AOB的平分线．
小星的解答如下：
(1)小星的解答从第 步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
过点P作PD⊥OA，PE⊥OB于点D，E，根据AAS证明△PMD≌△PNE，即可得到PD=PE，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）小星的解答从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
（2）证明：过点P作PD⊥OA，PE⊥OB于点D，E，
∴∠PDM=∠PEN=90°，
∵∠PMO=∠PNO，
∴∠PDM=∠PNE，
又∵PM=PN，，
∴△PMD≌△PNE(AAS)，
∴PD=PE，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
37．（22-23九年级下·山东临沂·期中）如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，∠BPC=130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．80°C．100°D．70°
【答案】B
【分析】先根据点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF得到BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分线，利用三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=80°，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：∵点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，
∴BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∵∠BPC=130° ，
∴∠PBC+∠PCB=50°,
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2∠PBC+∠PBC=100°，
∴∠BAC=180°−∠ABC+∠ACB=180°−100°=80°．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键．
38．（2021·湖北孝感·二模）已知ON⊥OM，△ABC的顶点A在ON上，顶点B在OM上，且CA=CB，CA⊥CB．连接OC，与AB交于点D．
（1）如图1，若CA⊥ON，求证：OC平分∠MON；
（2）如图2，若CA与ON不垂直，OC是否仍平分∠MON?请作出结论，并说明理由
（3）如图3，若ODCD=12，BC=6，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）OC仍平分∠MON．理由见解析；（3）32−6
【分析】（1）根据角平分线的性质进行证明即可；
（2）证明△ACF≌△BCE，再根据角平分线的性质证明；
（3）作CH⊥AB，垂足为H．由△BCD∽△OCB求得CD，再解Rt△CHD即可．
【详解】（1）证明：∵ON⊥OM，CA⊥CB，CA⊥ON，
∴∠AOB=∠OAC=∠ACB=90°，
∴∠OBC=90°，
∴CB⊥OM．
又∵CA⊥ON，CA=CB，
∴OC平分∠MON．
（2）OC仍平分∠MON．
理由如下：如图1，作CE⊥OM，CF⊥ON．
∴∠CEO=∠CFO=90°，
∴∠ECF=90°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠BCE．
又∵CA=CB，
∴△ACF≌△BCE(AAS)．
∴CF=CE．
又∵CE⊥OM，CF⊥ON，
∴OC平分∠MON．
（3）解：如图2，作CH⊥AB，垂足为H．
由（2）知，OC平分∠MON，
∴∠BOC=12∠AOB=45°．
∵CA⊥CB，CA=CB，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠CBA=∠BOC．
又∵∠BCD=∠OCB，
∴△BCD∽△OCB．
∴BCOC=CDBC．
∵ODCD=12，
∴设OD=k，则CD=2k，OC=3k
∴63k=2k6，∴k=6．
∴CD=26．
在Rt△ACB中，AB=CA2+CB2=62．
∵CA=CB，CH⊥AB，
∴AH=BH=32，CH=12AB=32．
在Rt△CHD中，DH=CD2−CH2=262−322=6．
∴AD=AH−DH=32−6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟悉以上定理是解题的关键．
?题型11 利用垂直平分线的性质求解
39．（2024·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，ED垂直平分AB，若AC=12，EC=5，则BE的长为 ．
【答案】13
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理 ．首先根据勾股定理可以求出AE=13，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=AE=13．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=12，EC=5，
∴AE2=AC2+EC2，
∴AE2=122+52=169，
∴AE=13，
∵ ED垂直平分AB，
∴BE=AE=13 ．
故答案为：13 ．
40．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于12BC为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线AM；连接AB、AC；
(1)△ABC是什么三角形？说明理由；
(2)在△ABC中，CE是∠ACB平分线，BF是∠ABC平分线．求证：BF=CE．
【答案】(1)△ABC是等腰三角形，见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由作图知AM是BC的垂直平分线，据此可证明△ABC是等腰三角形；
（2）证明△BCF≌△CBE，即可得到BF=CE．
【详解】（1）解：△ABC是等腰角形，
理由如下：
根据作图，AM是BC的垂直平分线，
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形；
（2）证明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵CE是∠ACB平分线，BF是∠ABC平分线，
∴∠FBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，
∴∠FBC=∠ECB，
又∵BC=BC，
∴△BCF≌△CBEASA．
∴BF=CE．
41．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，点F，G分别在边AB和BC上，且GF=GB，作AF的垂直平分线交AC于点E，则EG的最小值 ．
【答案】5
【分析】本题考查了解直角三角形，垂直平分线的性质，勾股定理等知识点，掌握相关性质是解题的关键．
过点G作GM⊥BF，交BF于点M，勾股定理算出AB，设GB=x，则GF=x，表示出FM=BM=35x，根据EH是AF的垂直平分线，得出FH=AH=5−35x，从而得出EF=AE=254−34x，再根据勾股定理得出EG=2516x−32+25，即可求解．
【详解】解：过点G作GM⊥BF，交BF于点M，如图，
∵∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵GM⊥BF，
∴∠GMB=90°，
设GB=x，则GF=x，
∴∠GFB=∠B,FM=BM=GB⋅csB=35x，
∵EH是AF的垂直平分线，
∴FH=AH=5−35x,∠EFA=∠A，
∴EF=AE=AHcsA=5−35x45=254−34x，∠EFG=180°−∠EFA+∠GFB=180°−∠B+∠A=180°−180°−∠C=90°，
∴EG=GF2+EF2=x2+254−34x2=2516x−32+25，
∴x=3时，EG=5最小．
故答案为：5．
42．（2024·山西大同·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=135°，AB的垂直平分线交AD于点E、连接CE，则CE的长为（ ）
A．6B．26C．43D．4
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到∠A=45°,AB=BC=4,然后得到AE=EB，利用勾股定理解得BE长，然后在Rt△BCE中再利用勾股定理求出CE长即可．
【详解】连接BE，如图，
在菱形ABCD中，菱形ABCD的边长为4，
∴AD∥BC，AB=BC=4,
∵∠ABC=135°，
∴∠A=180°−∠ABC=45°,
∵EF垂直平分AB，
∴AE=EB, ∠BFE=90°
∴∠A=∠ABE=45°，
∴∠AEB=90°，△ABE为等腰直角三角形，∠EBC=∠ABC−∠ABE=90°
∴EF=BF=12AB=2，
∴BE=BF2+EF2=22+22=22，
∴在Rt△BCE中， BC=4,EB=22,
∴CE=BE2+BC2=222+42=26，
故选：B．
43．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AB，交直线AC于点E，连接BE，若∠BED=50°，则∠ABC的度数为 ．
【答案】70°或20°
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意，画出示意图，分点E在AC上，点E在CA延长线上，两种情况讨论即可．
【详解】解：如图，当点E在AC上时，
∵ D为AB边的中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠AED=∠BED=50°，
∵∠BDE=∠ADE=90°，
∴∠ABE=∠BAE=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAE2=70°；
如图，当点E在CA延长线上，
同理可得：∠ABE=∠BAE=40°，
∴∠BAC=180°−∠BAE=140°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAE2=20°；
综上，∠ABC的度数为70°或20°，
故答案为：70°或20°．
?题型12 垂直平分线线的判定
44．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四边形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，则BC的长为（ ）
A．45B．35C．53D．33
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定以及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定以及直角三角形的性质是解题的关键．如图，取AC的中点O，连接OD、OB，延长BO交CD于点M，由勾股定理得AC=10，利用中线的性质得OD=OC=OB=12AC=5，再证BM⊥CD，CM=DM= 12CD=4，最后利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OD、OB，延长BO交CD于点M，
∵AD=6，CD=8，∠ADC=90°，
∴AC=AD2+CD2=62+82=10，
∵∠ABC=∠ADC=90°，O是CD的中点，
∴OD=OC=OB=12AC=5，
∴点O在线段CD的垂直平分线上，
∵BD=BC，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴BM⊥CD，CM=DM= 12CD=4，
∴OM=OD2−DM2=52−42=3，
∴BM=OB+OM=8，
∴BC=BM2+CM2=82+42=45，
故选∶A．
45．（2024·湖南长沙·一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：
(1)AE=AC；
(2)直线AD是线段CE的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定；
（1）根据角平分线的性质可得DE=DC，从而证明Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，即可证明；
（2）根据垂直平分线的判定证明即可．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，
∴AE=AC；
（2）∵AE=AC，
∴点A在线段CE的垂直平分线上，
∵DE=DC，
∴点D在线段CE的垂直平分线上，
∴AD是线段CE的垂直平分线．
46．（2024·江苏连云港·一模）如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G,BE=AD．
(1)求证：∠FEC=∠FCE；
(2)试判断线段BF与AC的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BF垂直AC，见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定；
（1）根据矩形的性质结合已知得出BE=BC，即∠ECB=∠CEB，再根据∠FEC=∠BCD=90°可得结论；
（2）根据FE=FC，BE=BC，可得BF垂直平分EC，则BF垂直AC．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=90°，
∵BE=AD，
∴BE=BC，
∴∠ECB=∠CEB，
∵EF⊥BE，
∴∠FEB=∠BCD=90°，
∴∠FEC=∠FCE；
（2）BF垂直AC；
理由：∵∠FEC=∠FCE，
∴FE=FC，
∴点F在线段EC的垂直平分线上．
又∵BE=BC，
∴点B在线段EC的垂直平分线上．
∴BF垂直平分EC，
∴BF垂直AC．
?题型13 根据作图痕迹求解
47．（2024·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=1，P为AB上一动点，当GP最小时，AC的长为( )
A．1B．3C．1+2D．2
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角想性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键，过点G作GH⊥AB于点H，由角平分线的性质得出GH=GC=1，再证明△AGH是等腰直角三角形，得出AH=GH=1得出AG=AH2+GH2=2，继而得解．
【详解】如图，过点G作GH⊥AB于点H．当点P与点H重合时，GP最小，
由作图可知，BG平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH=GC=1，
∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，
∴∠A=45°，△AGH是等腰直角三角形，
∴AH=GH=1，
∴AG=AH2+GH2=2
所以AC=CG+AG=1+2．
故选：C．
48．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC．用尺规进行以下操作：①以C为圆心BC长为半径作弧交AB于点D，连接CD；②以C为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC，CD于点N，M；③分别以M，N为圆心，以大于12MN长为半径作弧，两弧交于点E，做射线CE．若∠A=42°，则∠ACE的度数为（ ）
A．42°B．48°C．50°D．52°
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的作图及其性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据作图可知，CB=CD，CE平分∠BCD，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠ACB=∠DBC=∠CDB=69°，∠BCD=42°，再利用角平分线的性质可求得∠BCE=21°，最后根据角的和差即可求解．
【详解】解：根据作图可知，CB=CD，CE平分∠BCD
∵AB=AC，∠A=42°
∴∠ACB=∠ABC=12180°−∠A=12180°−42°=69°
又∵CB=CD
∴∠DBC=∠CDB=69°
∴∠BCD=180°−∠DBC−∠CDB=180°−69°−69°=42°
∵CE平分∠BCD
∴∠BCE=12∠BCD=12×42°=21°
∴∠ACE=∠ACB−∠BCE=69°−21°=48°
故选：B．
49．（2024·海南省直辖县级单位·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F，若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值为（ ）
A．2B．3+1C．23D．2+3
【答案】C
【分析】本题是一道典型的利用胡不归模型解决线段和最值得问题，胡不归模型的重点就在于能否把a+kb转化成为a+c，根据题目中的条件构造直角三角形是解决本道题的关键．
根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．
【详解】解：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AM平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝12∠CAB＝30°，
过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，
在Rt△APN中，∠BAF=30°，
∴PN=12AP，
∴CP+12AP=CP+NP=CN，
根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+NP值最小，
在Rt△ACN中，∠CAN=60°，
∴sin60°=CNAC，
CN=sin60°×AC=4×32=23，
∴CP+12AP=CP+PN=CN=23，
故选：C．
50．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求作∠ACB的三等分线．
阅读以下作图步骤：
（1）分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线DE交AB于点F，交AC于点H，画射线CF；
（2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交BC于点M，交CF于点N；
（3）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BCF的内部交于点G，画射线CG，则射线CF,CG即为所求．
下列说法不正确的是（ ）
A．AF=CFB．FH=12CHC．CG⊥ABD．△BCF为等边三角形
【答案】B
【分析】由DE垂直平分线段AC可判断A，由30度角的性质可判断B，由等边三角形的判定可判断D，由三线合一可判断C．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°−60°=30°，
由作图可知DE垂直平分线段AC，
∴FA=FC，故选项A正确，
∴∠A=∠FCA=30°，
∵∠FHC=90°，
∴FH=12CF，故选项B错误，
∴∠FCB=90°−30°=60°，
∴∠FCB=∠B=∠CFB=60°，
∴△BCF是等边三角形，故选项D正确，
由作图可知CG平分∠BCF，
∴CG⊥AB，故选项C正确，
故选：B．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
51．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，△ABC的面积为16，且AB=AC，BC=4，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF．已知D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，则BM+DM的长度的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．217
【答案】C
【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，连接AD，AM，由三线合一定理得到AD⊥BC，再由三角形面积计算公式得到AD=8，由作图方法可知，EF垂直平分AB，则AM=BM，故当A、D、M三点共线时，AM+DM有最小值，即此时BM+DM有最小值，最小值为AD的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接AD，AM，
∵在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面积为16，
∴12BC⋅AD=16，
∵BC=4，
∴AD=8；
由作图方法可知，EF垂直平分AB，
∴AM=BM，
∴BM+DM=AM+DM，
∴当A、D、M三点共线时，AM+DM有最小值，即此时BM+DM有最小值，最小值为AD的长，
∴BM+DM的最小值为8，
故选：C．
?题型14 利用三角形三边关系求解
52．（2024·湖南长沙·模拟预测）若3，6，x是某三角形的三边长，则x可取的最大整数为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边长为x，然后再利用三边关系列出不等式组，进而可得答案．
【详解】解：∵3，6，x是某三角形的三边长，
∴6−3a，c+a>b，
∴c+a−b>0，c−a+b>0
∴c2−a−b2=c+a−bc−a+b>0，
故选：A．
55．（2024·四川攀枝花·模拟预测）已知等腰三角形的三边长分别是2，x，6，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8+xB．10C．10或14D．14
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．分两种情况讨论：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6，则等腰三角形不存在；若等腰三角形的腰长为6，底边长为2，则周长为14，即可求解．
【详解】解：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6，
∵2+2∠ADB，即可求得∠ACB可能的度数．
【详解】解：延长BC交⊙O于点D，连接AD，如图，
∵∠AOB=66°，
∴∠ADB=12∠AOB=33°，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB>∠ADB，
∴∠ACB>33°，
∴∠ACB的度数可能是43°，
故选：B．
?题型21 三角形外角性质与平行线的综合应用
77．（2024·湖北·模拟预测）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠1=63°则∠2=（ ）
A．143°B．147°C．153°D．157°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行线的性质结合对顶角得∠4=∠3=63°，再根据外角定理即可求解．
【详解】解：两条平行线记为a,b，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=63°，
∴∠4=∠3=63°，
∴∠2=90°+∠4=153°，
故选：C．
78．（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，直线DE，EF相交于点E，若∠E=17°，AB∥CD，∠1=110°，则∠CDE=（ ）
A．110°B．93°C．90°D．83°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由平行线的性质得到∠CFE=∠1=110°，再由三角形外角的性质即可得到∠CDE=∠CFE−∠E=93°．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠CFE=∠1=110°，
∴∠CDE=∠CFE−∠E=93°．
故选：B．
79．（2024·山西·模拟预测）已知直线m∥n，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，∠F=30°，另一直角三角板一直角边与直线n重合，∠C=45°，若BC∥EF，则∠MDE= ．
【答案】15°/15度
【分析】】把EF分别向两方延长交直线m于点H，交直线n于点G，先根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC=45°，然后利用平行线的性质可得∠BGH=∠ABC=45°，再利用平行线的性质可得∠DHE=∠BGH=45°，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得∠DEF=60°，从而利用三角形的外角性质进行计算即可解答．本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：把EF分别向两方延长交直线m于点H，交直线n于点G，
∵∠CAB=90°，∠C=45°，
∴∠ABC=90°−∠C=45°，
∵BC∥EF，
∴∠BGH=∠ABC=45°，
∵m∥n，
∴∠DHE=∠BGH=45°，
∵∠EDF=90°，∠F=30°，
∴∠DEF=90°−∠F=60°，
∵∠DEF是△DEH的一个外角，
∴∠MDE=∠DEF−∠DHE=15°，
故答案为：15°
80．（2024·山西·模拟预测）如图，直线a∥b，点A、B分别在直线a和直线b上，点C在直线a和直线b外，且AC⊥BC，若∠1=150°，则∠2的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，平角的定义，先由平角的定义得到∠CBD=30°，再由三角形外角的性质得到∠ADB=∠CBD+∠C=120°，则由平行线的性质可得∠2=∠ADB=120°．
【详解】解：∵∠1=150°，
∴∠CBD=180°−∠1=30°，
∵AC⊥BC，
∴∠C=90°，
∴∠ADB=∠CBD+∠C=120°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ADB=120°，
故选：A．
?题型22 三角形内角和定理与外角和定理的综合
81．（2024·安徽·模拟预测）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，且点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=α，则∠ADC的度数是（ ）

A．90°−αB．45°+αC．180°−2αD．30°+2α
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
根据旋转得出AC=EC,∠ACE=90°,∠ACB=∠ECD=α，则∠E=45°，根据三角形的外交定理，即可解答．
【详解】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴AC=EC,∠ACE=90°,∠ACB=∠ECD=α，
∴∠E=12×180°−90°=45°，
∴∠ADC=∠E+∠ECD=45°+α，
故选：B．
82．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，已知∠MON=55°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠NED的度数为 ．
【答案】19°/19度
【分析】先求出正五边形的每一个内角的度数，利用外角的性质，求出∠OEA的度数，再利用平角的定义，求出∠NED的度数即可．本题考查多边形的内角和，三角形外角的性质，熟练掌握多边形的内角和为(n−2)⋅180°是解题的关键．
【详解】解：正五边形的每一个内角的度数为：(5−2)×180°5=108°，
∴∠EAB=∠AED=108°，
∵∠EAB=∠O+∠OEA=108°，∠MON=55°，
∴∠OEA=53°，
∴∠DEN=180°−∠AEO−∠AED=19°；
故答案为：19°．
83．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠C'的度数为 ．
【答案】24°/24度
【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转性质和等腰三角形的性质是解答的关键．由旋转的性质可得∠C=∠C'，AB=AB'，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB'，根据三角形外角的性质可得∠B=∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，再利用三角形内角和定理求得∠C即可．
【详解】解：∵AB'=CB'，
∴∠C=∠CAB'，
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C=∠C'，AB=AB'，
∴∠B=∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°−108°，
∴∠C=24°，
∴∠C'=∠C=24°，
故答案为：24°．
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在△ABC中，AB=32,AC=2，以BC为边作Rt△BCD，BC=BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A．2+32B．6+22C．5D．8
【答案】D
【分析】如图，把△ABC绕B顺时针旋转90°得到△HBD，求解AH=AB2+BH2=6，结合AD≤DH+AH，（A,H,D三点共线时取等号），从而可得答案．
【详解】解：如图，把△ABC绕B顺时针旋转90°得到△HBD，
∴AB=BH=32，AC=DH=2，∠ABH=90°，
∴AH=AB2+BH2=6，
∵AD≤DH+AH，（A,H,D三点共线时取等号），
∴AD的最大值为6+2=8，
故选D
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键．
2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26°B．27°C．28°D．30°
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接OC、OE、OD，设CD与EF相交于点N，由圆的内接正多边形的性质可得∠COD=90°，∠COE=72°，即得∠DOE=∠COD−∠COE=18°，即可由圆周角定理得∠DCE=12∠DOE=9°，进而由三角形内角和定理得∠DNM=∠CNE=63°，再由直角三角形两锐角互余得到∠AMF=∠DMN=27°，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接OC、OE、OD，设CD与EF相交于点N，
∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴∠COD=360°÷4=90°，∠COE=360°÷5=72°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−72°=18°，
∴∠DCE=12∠DOE=12×18°=9°，
∵∠CEF=5−2×180°5=108°，
∴∠CNE=180°−108°−9°=63°，
∴∠DNM=∠CNE=63°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DMN=90°−63°=27°，
∴∠AMF=∠DMN=27°，
故选：B．
3．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）

A．15B．18C．24D．36
【答案】B
【分析】连接BD,根据三角形重心的性质可知：P在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：S△ABC=2S△BDC，证明△DFP∼△BEP和△BEP∼△BCD,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接BD，
∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，P在BD上，
∴ S△ABC=2S△BDC，
BP:PD=2:1，
∵DF∥BC，
∴ △DFP∼△BEP
∴S△DFPS△BEP=14，
∵EF∥AC，
∴ △BEP∼△BCD，
∴S△BEPS△BCD=BPBD2=232=49，
设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，
∵四边形CDFE的面积为6，
∴m+9m−4m=6，
∴m=1，
∴ △BCD的面积为9，
∴△ABC的面积是18．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．
4．（2023·山东·中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1