第21讲 相似三角形及其应用(讲义，2考点+3命题点24种题型(含7种解题技巧))-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc187414685" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc187414686" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc187414687" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc187414688" 考点一 相似多边形
\l "_Tc187414689" 考点二 相似三角形
\l "_Tc187414690" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc187414691" 命题点一 相似三角形的性质与判定-基础
\l "_Tc187414692" ►题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
\l "_Tc187414693" ►题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
\l "_Tc187414694" ►题型03 补全判定相似三角形的证明过程
\l "_Tc187414695" ►题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
\l "_Tc187414696" ►题型05 利用相似三角形的性质求解
\l "_Tc187414697" ►题型06 利用相似的性质求坐标
\l "_Tc187414698" ►题型07 相似三角形在网格中的应用
\l "_Tc187414699" ►题型08 相似三角形的性质与判定综合
\l "_Tc187414700" 命题点二 相似三角形的性质与判定-拔高
\l "_Tc187414701" ►题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
\l "_Tc187414702" ►题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像
\l "_Tc187414703" ►题型03 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
\l "_Tc187414704" ►题型04 利用相似三角形的性质与判定求最值
\l "_Tc187414705" ►题型05 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
\l "_Tc187414706" ►题型06 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
\l "_Tc187414707" ►题型07 利用相似三角形列函数关系式
\l "_Tc187414708" ►题型08 利用三点定形法证明比例式或等积式
\l "_Tc187414709" ►题型09 尺规作图与相似三角形综合应用
\l "_Tc187414710" ►题型10 三角板与相似三角形综合应用
\l "_Tc187414711" ►题型11平移与相似三角形综合应用
\l "_Tc187414712" ►题型12 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc187414713" ►题型13 与相似三角形有关的新考法问题
\l "_Tc187414714" 命题点三 相似三角形的应用
\l "_Tc187414715" ►题型01 利用相似测量物体的高度
\l "_Tc187414716" ►题型02 利用相似测量物体（不易测量）的宽度
\l "_Tc187414717" ►题型03 其它问题
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 相似多边形
1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形.
【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；
2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关.
2.相似多边形及、性质与判定
相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”.
【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；
2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；；
3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.
1．（2024·宁夏银川·三模）如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．相似B．平移C．轴对称D．旋转
【答案】A
【分析】本题考查数学知识解决实际问题，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案．
【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将石阡旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似，
故选：A．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
【答案】D
【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．
故选D．
3．（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'﹐已知OAOA'=13，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是（ ）
A．4B．6C．16D．18
【答案】D
【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：SABCDSA'B'C'D'=OAOA'2=132=19，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18，
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图▱ABCD与▱AEFG关于点A 成位似图形，若他们的位似比为2:3，则▱ABCD与▱AEFG的面积比为（ ）
A．4:9B．1:9C．2:3D．1:3
【答案】A
【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到▱ABCD与▱AEFG相似，根据相似多边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵▱ABCD与▱AEFG关于点A 成位似图形，他们的位似比为2:3，
∴▱ABCD与▱AEFG相似，他们的相似比为2:3，
∴▱ABCD与▱AEFG的面积比为232=49=4:9，
故选：A．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是我国自主研发的某汽车的广告文案．已知：将矩形对折后所得的矩形如果与原矩形相似，那么原矩形的长与宽之比称为白银比，则白银比的近似值是 ．（小数点后保留三位）
【答案】1.414
【分析】本题考查相似矩形、折叠性质、新定义问题等知识，读懂题意，理解白银比概念，设原来矩形的长为2x，宽为y，由折叠性质及相似多边形定义得到白银比的数学表示，求解即可得到答案，读懂题意，理解白银比是解决问题的关键．
【详解】解：设原来矩形的长为2x，宽为y，
根据白银比定义可得2xy=yx，即2x2=y2，解得y=2x，
∴白银比为2xy=2x2x=2≈1.414．
考点二 相似三角形
相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.
【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.
【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；
【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.
【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为.
常见的基本图形：
图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；
图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;
图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.
相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②三边成比例的两个三角形相似；
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④两角分别相等的两个三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”.
【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
1．（2024·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A．DE∥BCB．△ADE∽△ABCC．BC=2DED．S△ADE=12S△ABC
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A、C；由相似三角形的判定和性质可判断B、D，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，BC=2DE，故A、C正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故B正确；
∵△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=DEBC2=122=14，
∴S△ADE=14S△ABC，故D错误；
故选：D．
2．（2024·青海·中考真题）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD．
【答案】∠C=∠A．(答案不唯一)
【分析】有一对对顶角∠AOB与∠COD，添加∠C=∠A，即得结论．
【详解】解： ∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），∠C=∠A，
∴△ABO∽△CDO．
故答案为：∠C=∠A．(答案不唯一)
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．（2024·云南·中考真题）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若OA+OC+ACOB+OD+BD=12，则ACBD= ．

【答案】12/0.5
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明△ACO∽△BDO，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题．
【详解】解：∵ AC∥BD，
∴△ACO∽△BDO，
∴ ACBD= OA+OC+ACOB+OD+BD=12，
故答案为：12．
4．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45°，则EFBC的值为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到∠OAD=45°，AD=BC，再证明EF∥AD，进而可证明△OEF∽△OAD，由相似三角形的性质可得EFAD=OEOA=12，即EFBC=12．
【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴∠OAD=45°，AD=BC，
∵点E是OA的中点，
∴OEOA=12，
∵∠FEO=45°，
∴EF∥AD，
∴△OEF∽△OAD，
∴EFAD=OEOA=12，即EFBC=12，
故答案为：12．
5．（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出∠B=∠C=90°，AB=CB=9，进而得出ABEC=BECF，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】解：∵BE=3，EC=6，
∴BC=9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°，
∵ABEC=96=32，BECF=32，
∴ABEC=BECF
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 相似三角形的性质与判定-基础
►题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
相似三角形的判定方法：
解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例.
【拓展】特殊三角形相似的判定：
1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.
2）两个等腰直角三角形一定相似.
1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件： ，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【答案】ADAB=AEAC
【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
【详解】解：根据题意，添加条件ADAB=AEAC，
∵∠A=∠A
∴ △ADE ~△ABC
故答案为：ADAB=AEAC．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 ，使△ADE∽△ABC．
【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解∶∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证△ADE∽△ABC相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件ADAB=AEAC证△ADE∽△ABC相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，下列不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．APAB=ABACD．APBP=ABCB
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当APAB=ABAC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、当APBP=ABCB时，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．当AD= 时，△ABC∽△ACD．
【答案】9
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【详解】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
当ABAC=ACAD时，△ABC∽△ACD，
即：AC2=AB⋅AD，
∵AB=4，AC=6，
∴62=4AD，
∴AD=9；
故答案为：9．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
1．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D、D'分别在边BC、B'C'上，且△ACD∽△A'C'D'，若___________，则△ABD∽△A'B'D'．请从①BDCD=B'D'C'D'；②ABCD=A'B'C'D'；③∠BAD=∠B'A'D'这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．
【详解】解：若选①BDCD=B'D'C'D'，
证明：∵△ACD∽△A'C'D'，
∴∠ADC=∠A'D'C'，ADA'D'=CDC'D'，
∴∠ADB=∠A'D'B'，
∵BDCD=B'D'C'D'，
∴BDB'D'=CDC'D'，
∴ADA'D'=BDB'D'，
又∠ADB=∠A'D'B'，
∴△ABD∽△A'B'D'．
选择②BACD=B'A'C'D'，不能证明△ABD∽△A'B'D'．
若选③∠BAD=∠B'A'D'，
证明：∵△ACD∽△A'C'D'，
∴∠ADC=∠A'D'C'，∴∠ADB=∠A'D'B'，
又∵∠BAD=∠B'A'D'，
∴△ABD∽△A'B'D'．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE=BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵BE=BC
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠D=∠ABC，
∴△ADE∽△ABC．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，连接MA，CN.求证：△ABM∽△CBN.
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键．
由旋转性质可得：AB=MB，BC=BN，∠ABC=∠MBN，进而可得ABBC=MBBN，∠ABM=∠CBN，由此根据相似三角形的判定定理即可证明△ABM ∽△CBN.
【详解】证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，
∴由旋转性质，得AB=MB，BC=BN，∠ABC=∠MBN，
∴ABBC=MBBN，
∵∠ABC=∠MBN，
∴∠ABC+∠ABN=∠MBN+∠ABN，
即∠ABM=∠CBN，
∴△ABM∽△CBN.
4．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）
已知：如图，在△ABC中，点D, E, F分别在边AB, AC, BC上，且DE∥BC,DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF．
证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．
A．③②④①B．②④①③C．③①④②D．②③④①
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；
【详解】证明：②∵DE∥BC，
④∴∠ADE=∠B，
①又∵DF∥AC，
③∴∠A=∠BDF，
∴ △ADE∽△DBF．
故选：B．
5．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点A−2,0，B12,0，CB所在直线的方程为y=2x+b，连接AC．

(1)求b的值；
(2)求证：△AOC∽△COB．
【答案】(1)b=−1；
(2)证明见解析．
【分析】（1）把B12,0代入y=2x+b即可求解；
（2）由b=−1得直线的方程为y=2x−1，求出C0,−1，从而得OC=1，OA=2，OB=12，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵B12,0在直线y=2x+b上，
∴0=2×12+b，
解得：b=−1；
（2）由（1）得b=−1，
∴CB所在直线的方程为y=2x−1，
当x=0时，b=−1，
∴C0,−1，
∵A−2,0，B12,0，
∴OC=1，OA=2，OB=12，
∴OC:OB=OA:OC=2:1，
又∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．
6．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形ABCD是某学校的一块种植实验基地，其中△ABC是水果园，△ACD是蔬菜园．已知AB∥CD，AB=27m，AC=18m，CD=12m．
(1)求证：△ABC∽△CAD；
(2)若蔬菜园△ACD的面积为80m2，求水果园△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)180 m2
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）由AB∥CD，可得∠BAC=∠ACD，由ABAC=2718=32，ACCD=1812=32，即ABAC=ACCD，可证△ABC∽△CAD．
（2）由（1）知△ABC∽△CAD，则S△ABCS△CAD=322=94，即S△ABC80=94，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AB=27m，AC=18m，CD=12m，
∴ABAC=2718=32，ACCD=1812=32，
∴ABAC=ACCD，
∴△ABC∽△CAD．
（2）解：由（1）知△ABC∽△CAD，
∴S△ABCS△CAD=322=94，即S△ABC80=94，
解得，S△ABC=180，
答：水果园△ABC的面积为180 m2．
►题型03 补全判定相似三角形的证明过程
1．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务：
下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题：
如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE相交于点P．求证：PEBE=PDCD=13．
小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结DE．
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=12BC，（依据）
∵……；∴……．
∴PEBE=PDCD=13；
任务：
(1)填空：材料中的依据是指：______．
(2)将材料中的证明过程补充完整．
(3)如图②，在△ABC中，AB=AC，AD为边BC的中线．点E，F分别为边AB，AC的中点，EF与AD交于点O，BF与AD交于点P．则S△POF:S四边形PDCF=______．
【答案】(1)三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）
(2)见解析
(3)S△POFS四边形PDF=18
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可；
（2）证明△PDE∽△PCB，即可解答；
（3）如图中，连接DF．设△POF的面积为a．证明EF∥BC，得出OPPD=OFBD=12，从而得出S△PDF=2a，S△AOF=S△OFD=3a，再根据AF=CF，得出S△ADF=S△DFC=6a，S四边形PDCF=8a，即可求解．
【详解】（1）解：依据：三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）．
（2）解：补充如下：
∵DE∥BC，
∴∠DEP=∠CBP，∠EDP=∠BCP，
∴△PDE∽△PCB，
∴PEPB=PDPC=DEBC=12，
∴PEBE=PDCD=13；
（3）解：如图中，连接DF．设△POF的面积为a．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥CB，
∵AE=EB，AF=FC，
∴EF∥BC，AFAC=12，
∴△AOF∽△ADC，
∴AOAD=OFCD=AFAC=12，
∴AO=12AD，OF=12CD=12BD，
∵OF∥BD，
∴△OFP∽△DBP，
∴OPPD=OFBD=12，
∴S△PDF=2a，
∴S△AOF=S△OFD=3a，
∵AF=CF，
∴S△ADF=S△DFC=6a，
∴S四边形PDCF=8a，
∴ S△POFS四边形PDCF=18．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线AO，其传播方向不变，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后通过焦点F'，凸透镜的两侧各有一个焦点F和F'，焦点到光心的距离称为焦距，记为f．
【模型验证】如图2，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后与光线AO的交点为点A'，过点A'作主光轴MN的垂线A'B'，垂足为B'，即可得出物体AB所成的像A'B'．
已知OB=u，OB'=v，OF'=f，AB=ℎ1，A'B'=ℎ2，当f0，
∴x=117不合题意，舍去，
∴x=97；
③当点G'落在直线DC上时，过点G作MN⊥BC交AD、BC分别为M，N，
同理四边形CDMN为矩形，
∴MD=CN，
由旋转得，EG=EG'，∠GEG'=90°，
同理得△ECG≌△GNE，
∴CE=GN=BN⋅tan∠DBC=2−x，
∴MG=1−GN=x−1，
∵AD∥BE，
∴△AGD∽△EGB，
∴BEAD=GNGM，即x2=2−xx−1，
整理得x2+x−4=0，
解得x=−1±172（舍去负值），
∴x=17−12，
综上，x=17−12或x=97或x=2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容．
(1)下面是小亮借助小明的测量数据求河流宽度AB的过程，小亮检查自己的解题过程时发现有错误，开始出现错误的是第______步；
解：由已知得CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠ABC=∠ADE=90°． ……第一步
又∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE， ……第二步
∴ABBD=DEBC， ……第三步
解得AB=6m． ……第四步
(2)请你求出河流宽度AB的长．
【答案】(1)三
(2)25m
【分析】本题主要考查相似三角形的应用：
（1）根据题意可得：开始出现错误的是第三步；
（2）先证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应边成比例，即可求解．
【详解】（1）解：开始出现错误的是第三步；
故答案为：三
（2）解：由已知得CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠ABC=∠ADE=90°．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ABAD=BCDE，
∵BC=2m，BD=5m，DE=2.4m，
∴ ABAB+5=22.4，
解得：AB=25m．
2．（22-23九年级上·河北保定·期中）【阅读与思考】
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
【解决问题】
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)请将另一种情况画出相应图形并解答．
【答案】(1)DEBC=ADAB，54；
(2)见解析．
【分析】（1）根据相似三角形的性质可得出结论；
（2）另一个错误是没有进行分类讨论，过点D作∠ADE=∠ACB，则△ADE∽AACB，可得出结论．
【详解】（1）正确比例式为：DEBC=ADAB，
∴DE=BC⋅ADAB=BCAB−BDAB=5×28=54，
（2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE=∠ACB，

∵∠A=∠A，则△ADE∽△ACB，
∴DEBC=ADAC，
∴DE=AD⋅BCAC=2×54=52，
综上可得：DE为54或52．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
3．（2022·山西运城·一模）计算：
(1)−12÷−3−2−2−3
(2)下面是小明作业中一个题目的解答过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务．
如图，在▱ABCD中，点E是BC上一点，BE=13BC，连接BD，AE，AE与BD交于点F，已知▱ABCD的面积为24，求△BEF的面积．
解：作AG⊥BC于点G．
∵S▱ABCD=BC⋅AG=24，∴S△ABE=12BE⋅AG=12×13BC⋅AG=16×24=4．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴△BEF∽△DAF．………………依据
∴BEAD=EFAF．∴EFAF=13．
∴S△BEFS△ABF=19．……………………×
∴S△BEF=110S△ABE=110×4=25．
任务一：填空：①上面解答过程中，证明三角形相似的依据是______．
②小明的作业经过老师批改在S△BEFS△ABF=19后画了错号，这一步错误的原因是______．
任务二：请你经过正确计算直接写出△BEF的面积为______．
【答案】(1)−11+3
(2)①两组角对应相等的两个三角形相似；②S△BEFS△ABF=EFAF=13≠19；③1
【分析】（1）先计算平方，负整数指数幂，绝对值，然后进行除法和加减运算即可；
（2）①由题意知，证明三角形相似的依据是两组角对应相等的三角形相似；进而可得答案；②由①可知EFAF=13，由△BEF与△ABF的底边EF，AF上的高相等，可得S△BEFS△ABF=EFAF=13，进而可得答案；③由题意知S△BEFS△ABF=13，S△BEFS△ADF=EFAF2=19，根据S△ABF=3S△BEF，S△ADF=9S△BEF，S△ABF+S△ADF=12S▱ABCD，计算求解即可．
【详解】（1）解：原式=−1÷19−2+3
=−9−2+3
=−11+3
（2）解：①由题意知，证明三角形相似的依据是两组角对应相等的两个三角形相似；
故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似．
②由①可知EFAF=13
∵△BEF与△ABF底边EF，AF上的高相等，
∴S△BEFS△ABF=EFAF=13
故答案为：S△BEFS△ABF=EFAF=13≠19．
③解：由题意知S△BEFS△ABF=13，S△BEFS△ADF=EFAF2=19
∴S△ABF=3S△BEF，S△ADF=9S△BEF
∵S△ABF+S△ADF=12S▱ABCD=12
∴3S△BEF+9S△BEF=12
解得S△BEF=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平方，负整数指数幂，绝对值，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
QUOTE ►题型05 利用相似三角形的性质求解
利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.
1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（ ）
A．125564B．12564C．6427D．32327
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解∠BOA=∠BOC=⋯=360°12=30°，可得OAOB=OBOC=OCOD=⋯=cs30°=32，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴∠BOA=∠BOC=⋯=360°12=30°，
OAOB=OBOC=OCOD=⋯=cs30°=32，
∵OA=1，
∴OB=233=1×233，
OC=43=1×2332，
OD=1×2333=893，⋯
∴OG=1×2336=6427，
故选C
2．（2022·云南·中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2．则S2S1=（ ）
A．12B．14C．34D．78
【答案】B
【分析】先判定△EBD∼△ABC，得到相似比为12，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．
【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴BEAB=BDBC=12，
又∵∠B=∠B，
∴△EBD∼△ABC，相似比为12，
∴S2S1=BEAB2=14，
故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．（2022·江苏连云港·中考真题）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（ ）
A．54B．36C．27D．21
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，
∴两个相似三角形的相似比为1:3，
∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，
∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．
4．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，ADDB=23，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm
【答案】C
【分析】根据平行得到ΔADE∼ΔABC，根据相似的性质得出ADAB=DEBC，再结合ADDB=23，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
【详解】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠A=∠A，
∴ΔADE∼ΔABC，
∴ADAB=DEBC，
∵ ADDB=23，
∴DEBC=ADAB=ADAD+DB=25，
∵ DE=6cm，
∴BC=5DE2=5×62=15cm，
故选：C．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
5．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14．
(1)若AB=8，求线段AD的长．
(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明△ADE∽△ABC，得到DEBC=ADAB即可求出；
（2）利用平行条件证明△ADE∽△EFC，分别求出△ADE与△EFC、△ADE与△ABC的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出S△EFC、S△ABC，最后通过S▱BFED=S△ABC−S△EFC−S△ADE求出．
【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BC ，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，
∵DEBC=14，
∴ADAB=14，
∴AD=14AB=14×8=2；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，DE=BF，
∴∠AED=∠ECF,∠EAD=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC
∴S△ADES△EFC=DEFC2，
∵DEBC=14，DE=BF，
∴FC=BC−DE=4DE−DE=3DE，
∴DEFC=DE3DE=13，
∴S△ADES△EFC=DEFC2=132=19，
∵△ADE∽△ABC，DEBC=14，
∴S△ADES△ABC=DEBC2=142=116，
∵S△ADE=1，
∴S△EFC=9,S△ABC=16，
∴S▱BFED=S△ABC−S△EFC−S△ADE=16−9−1=6．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
►题型06 利用相似的性质求坐标
1．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−4,0、0,4，点C3,n在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA=2∠CAO，则n= ．
【答案】145
【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证△CDE≌△CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证△AOE∽△CDE，进而可得43=2n−44−n，由此计算即可求得答案．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴△CDE≌△CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴△AOE∽△CDE，
∴AOCD=OEDE ，
∴43=2n−44−n，
解得：n=145，
故答案为：145．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
2．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数y=−3x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A，B1,m两点，点C在x轴负半轴上，∠ACO=45°．

(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
【答案】(1)−3，−3，−4,0
(2)点P的坐标为4,0或52,0
【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．
（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①△AOC∽△BOP；②△AOC∽△POB．分别求出两种情况下OP的长，从而得出点P的坐标．
【详解】（1）（1）将B1,m代入y=−3x，得m=−3×1=−3，
∴B1,−3．
将B1,−3代入y=kx，得−3=k1，
∴k=−3．
如图，过点A作AD⊥x轴于点D，则∠ADC=90°．

∵点A，B关于原点O对称，
∴A−1,3，
∴OD=1，AD=3．
又∵∠ACO=45°，
∴CD=AD=3，
∴OC=OD+CD=1+3=4，
∴C−4,0．
故答案为：−3，−3，−4,0；
（2）由（1）可知，B1,−3，A−1,3．
当点P在x轴的负半轴上时，∠BOP>90°，
∴∠BOP>∠AOC．
又∵∠BOP>∠ACO，∠BOP>∠CAO，
∴△BOP与△AOC不可能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，∠AOC=∠BOP．
①若△AOC∽△BOP，则OAOB=OCOP，
∵OA=OB，
∴OP=OC=4，
∴P4，0；
②若△AOC∽△POB，则OAOP=OCOB，
又∵OA=−12+32=10，OB=12+−32=10，OC=4，
∴OP=52，
∴P52,0．
综上所述，点P的坐标为4，0或52,0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．
3．（2024·江苏盐城·三模）如图，以点C0,1为位似中心，将△ABC按相似比2:1放大，得到△DEC，则点A2,−1的对应点D的坐标为 ．
【答案】4,−3或−4,5/−4,5或4,−3
【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质等知识，理解位似图形的定义和性质是解题关键．分△ABC与△DEC在y轴同侧和△ABC与△DEC在y轴异侧两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况讨论，
①如下图，当△ABC与△DEC在y轴同侧时，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，
∵A2,−1，C0,1，
∴AM=2，CM=1−−1=2，OC=1，
∵将△ABC按相似比2:1放大，得到△DEC，
∴CACD=12，
∵∠ACM=∠DCN，∠AMC=∠DNC=90°，
∴△ACM∽△DCN，
∴AMDN=CMCN=CACD=12，即2DN=2CN=12，
解得DN=4，CN=4，
∴ON=CN−OC=4−1=3，
∴D4,−3；
②如下图，当△ABC与△DEC在y轴异侧时，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，
由①可知，AM=2，CM=2，CACD=12，
∵∠ACM=∠DCN，∠AMC=∠DNC=90°，
∴△ACM∽△DCN，
∴AMDN=CMCN=CACD=12，即2DN=2CN=12，
解得DN=4，CN=4，
∴ON=CN+OC=4+1=5
∴D−4,5．
故答案为：4,−3或−4,5．
4．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线W：y=ax2+bx+ca≠0交x轴于点A−1，0、B3，0，交y轴于点C0，−3，顶点为D．
(1)求出抛物线W的解析式；
(2)已知抛物线的对称轴为直线l，点P为抛物线W上一点，过点P作l的垂线，垂足为Q，连接PD，若△PQD∽△AOC，求出点P的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)−2，5或4，5
【分析】
本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求二次函数解析式：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先把解析式化为顶点式得到抛物线对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为1，−4，设Pm，m2−2m−3，则Q1，m2−2m−3，可得PQ=m−1，DQ=m2−2m+1，再求出OA=1，OC=3，根据相似三角形的性质可得PQOA=DQOC，即m−11=m2−2m+13，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线W：y=ax2+bx+ca≠0交x轴于点A−1，0、B3，0，交y轴于点C0，−3，
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=−3，
∴a=1b=−2c=−3，
∴抛物线W的解析式为y=x2−2x−3；
（2）解：∵抛物线解析式为y=x2−2x−3=x−12−4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为1，−4，
设Pm，m2−2m−3，则Q1，m2−2m−3，
∴PQ=m−1，DQ=m2−2m−3−−4=m2−2m+1，
∵A−1，0、C0，−3，
∴OA=1，OC=3，
∵△PQD∽△AOC，
∴PQOA=DQOC，即m−11=m2−2m+13，
∴m2−2m+1=3m−1，
∴m2−2m+1=3m−3或m2−2m+1=3−3m，
∴m2−5m+4=0或m2+m−2=0，
解得m=1（舍去）或m=4或m=−2，
∴点P的坐标为−2，5或4，5．
►题型07 相似三角形在网格中的应用
1．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则C1C2的值等于 ．
【答案】22
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【详解】解：∵DEAB=212+12=2，
EFBC=22+222=2，
DFAC=42+2232+12=2，
∴DEAB=EFBC=DFAC=2，
∴△ABC∽△DEF，
∴C1C2=ABDE=22，
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
2．（2020·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
【答案】52
【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为62，进行尝试，可确定10、210、510为边的这样一组三角形满足条件．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB=5，AC：BC=1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为62，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=10，EF=210，DF=52的三角形，
∵101=2102=525=10，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴此时△DEF的面积为：10×210÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：52．
故答案为：52．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
3．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
(1)在图①中，在线段AB上画出点M，使AM=3BM.
(2)在图②中，在线段AB上画出点N，使AN=2BN
(3)在图③中，在线段AB上画出点Q，使PQ⊥AB.
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取格点C，D，使AC=3,BD=1，且AC∥BD，连接CD，交AB于点M，则点M即为所求．
（2）取格点E，F，使AE=2,BF=1，且AE∥BF，连接EF，交AB于点N，则点N即为所求．
（3）利用网格，过点P作AB的垂线，与AB的交点即为点Q
【详解】（1）解：如图①，取格点C，D，使AC=3,BD=1，且AC∥BD，
连接CD，交AB于点M，
则△ACM∽△BDM，
∴AMBM=ACBD=3，
即AM=3BM，
则点M即为所求．
（2）如图②，取格点E，F，使AE=2,BF=1，且AE∥BF，
连接EF，交AB于点N，
则△AEN∽△BFN，
∴ANBN=AEBF=2，
即∴AN=2BN，
则点N即为所求．
（3）如图③，取格点G，连接PG交AB于点Q，
则点Q即为所求．
►题型08 相似三角形的性质与判定综合
由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小.
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若∠ACD=2∠OEC，OFFE=56，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】96
【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，求得OH=12BC=5，再证明△OFH∽△EFC，求得EC=6，再证明∠OEC=∠COE，则OC=EC=6，利用勾股定理求得OB的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案．
【详解】解：作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，
∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BC=10，OD=OB=12BD，OA=OC，AC⊥BD，
∴OHBC=ODBD=12，∠BOC=90°，
∴OH=12BC=5，
∵OH∥BC，OFFE=56，
∴△OFH∽△EFC，
∴OHEC=OFFE=56，
∴EC=65OH=65×5=6，
∵四边形ABCD是菱形，且∠ACD=2∠OEC，
∴∠ACB=∠ACD=2∠OEC=∠COE+∠OEC，
∴∠OEC=∠COE，
∴OC=EC=6，
∴OB=BC2−OC2=102−62=8，
∴BD=2OB=16，AC=2OC=12，
∴S菱形ABCD=12BD·AC=12×16×12=96，
故答案为：96．
2．（2024·宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明△AEM∽△DCM，可得AEDC=AMDM，同理可得：DFAB=DNAN，再进一步证明AEDC=DFAB即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△AEM∽△DCM
∴AEDC=AMDM，
同理可得，△FDN∽△ABN，
∴DFAB=DNAN
又∵AM=DN，
∴AM+MN=DN+MN
即AN=DM，
∴AEDC=DFAB
又∵AB=CD，
∴AE=DF．
3．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．
（1）兴趣小组的同学得出AC2=AD⋅AB．理由如下：
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长．
【答案】（1）①∠ACD；②ACAD；（2）△AEB是直角三角形，证明见解析；（3）215
【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；
（2）证明△ACF∽△AEC，得出ACAF=AEAC，证明△AFD∽△ABE，得出∠ADF=∠AEB=90°，即可得出答案；
（3）证明△CEB∽△CBD，得出CECB=CBCD，求出CD⋅CE=CB2=262=24，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，连接E0E，证明△ECE0∽△D0CD，得出∠CDD0=∠CE0E=90°，说明点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，过点B作BE'⊥E0E，垂足为E'，连接CE'，根据垂线段最短，得出当点E在点E'处时，BE最小，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，
∴AC2=AD⋅AB；
（2）△AEB是直角三角形；理由如下：
∵∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC
∴△ACF∽△AEC，
∴ACAF=AEAC，
∴AC2=AF⋅AE，
由（1）得AC2=AD⋅AB，
∴AF⋅AE=AD⋅AB，
∴AFAB=ADAE，
∵∠FAD=∠BAE，
∴△AFD∽△ABE，
∴∠ADF=∠AEB=90°，
∴△AEB是直角三角形．
（3）∵∠CEB=∠CBD,∠ECB=∠BCD，
∴△CEB∽△CBD，
∴CECB=CBCD，
∴CD⋅CE=CB2=262=24，
如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，连接E0E，
则CD0=4，
∵CD0为⊙A的直径，
∴∠CDD0=90°，
∴CD0⋅CE0=24=CD⋅CE，
∴CD0CE=CDCE0，
∵∠ECE0=∠D0CD，
∴△ECE0∽△D0CD，
∴∠CDD0=∠CE0E=90°，
∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，
过点B作BE'⊥E0E，垂足为E'，连接CE'，
∵垂线段最短，
∴当点E在点E'处时，BE最小，
即BE的最小值为BE'的长，
∵∠CE0E'=∠E0CB=∠BE'E0=90°，
∴四边形CE0E'B是矩形，
∴BE'=CE0=6，
在Rt△CE0E'中根据勾股定理得：CE'=262+62=215，
即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为215．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
4．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD=∠C，则AB2=BD⋅BC，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE=4，DG=6，求FG的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE=13−13；（3）FG=24511
【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得出ABBC=BDAB，即可证明结论；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，解直角三角形得出CF=AC×sin60°=2×32=3，AF=AC×cs60°=2×12=1，证明△BDG∽△BCF，得出DGCF=BGBF=BDBC=12，求出DG=12CF=32，根据勾股定理得出BG=BD2−DG2=22−322=132，得出AB=AF+BF=1+13，证明△BED∽△BAD，得出BEBD=BDAB，求出BE=13−13；
（3）连接BD，证明△BED∽△GEB，得出DEBE=BEEG，求出DE=2，证明△ABE为直角三角形，得出∠AEB=90°，根据勾股定理求出BG=BE2+EG2=42+82=45，证明△DFG∽△CFB，得出FG45−FG=65，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABBC=BDAB，
∴AB2=BD⋅BC；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：
则∠AFC=∠AGD=90°，
∴DF∥DG，
∵∠BAC=60°，
∴CF=AC×sin60°=2×32=3，AF=AC×cs60°=2×12=1，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD=12BC=2，
∵DF∥DG，
∴△BDG∽△BCF，
∴DGCF=BGBF=BDBC=12，
∴DG=12CF=32，
∴BG=BD2−DG2=22−322=132，
∴BF=2BG=13，
∴AB=AF+BF=1+13，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠AED=∠CAD，
∴∠AED=∠CDA，
∴∠AED+∠BED=∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠BED=∠ADB，
∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BAD，
∴BEBD=BDAB，
即BE2=21+13，
解得：BE=13−13；
（3）连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，AD=AB=BC=5，AD∥BC，
∵∠ABC=2∠EBF，
∴∠ABD=∠CBD=∠EBF，
∴∠EBF−∠DBF=∠CBD−∠DBF，
即∠DBE=∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠G，
∴∠DBE=∠G，
∵∠DEB=∠BEG，
∴△BED∽△GEB，
∴DEBE=BEEG，
∵DG=6，
∴EG=DE+6，
∴DE4=4DE+6，
解得：DE=2，负值舍去，
∴EG=2+6=8，
∴AE=AD−DE=3，
∵AE2+BE2=32+42=52=AB2，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，
∴∠BEG=180°−90°=90°，
∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：
BG=BE2+EG2=42+82=45，
∴BF=BG−FG=45−FG，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△CFB，
∴FGBF=DGBC，
即FG45−FG=65，
解得：FG=24511．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
命题点二 相似三角形的性质与判定-拔高
►题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A'，B'处，EF，A'F分别交AC于点G，H．若GH=2，HC=8，则BF的长为（ ）
A．2029B．2039C．532D．5
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明AG=GF=GO，设AG=GF=GO=x，证明△AEG∽△CFG和△AA'H∽△CFH，推出AECF=EGx=x10和AA'CF=x+28，由AA'=2AE，列式计算求得x=103，在Rt△CFG中，求得CF的长，据此求解即可．
【详解】解：如图，A'B'交AC于点O，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
由折叠的性质得AE=A'E，BF=B'F，四边形ABFE和四边形A'B'FE都是矩形，
∴AB∥EF∥OB'，
∴AGGO=BFB'F=1，
∴AG=OG，
∵AF平分∠BAC，AB∥GF，
∴∠GAF=∠BAF=∠GFA，
∴AG=GF=GO，
设AG=GF=GO=x，
∵GH=2，HC=8，
∴HO=x−2，GC=8+2=10，
∵AE∥FC，
∴△AEG∽△CFG，
∴AECF=EGGF=AGGC，即AECF=EGx=x10①，
∵AA'∥FC，
∴△AA'H∽△CFH，
∴AA'CF=AHHC，即AA'CF=x+28②，
∵AA'=2AE，
由①②得x+28=x5，
解得x=103，则AG=GF=GO=103，
在Rt△CFG中，CF=CG2−FG2=102−1032=2023，
∵AE2023=10310，
∴AE=2029，即BF=2029，
故答案为：A．
2．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片ABCD中， 点E在边AB上，将纸片沿CE折叠， 点B落在B'处，CB'⊥AD， 垂足为F 若CF=4cm，FB'=1cm， 则BE= cm
【答案】257/347
【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．
【详解】解：∵CF=4cm，FB'=1cm，
∴CB'=CF+FB'=5cm，
由翻折，菱形的性质，得： CB=CD=CB'=5cm， CB∥AD，∠B=∠D，
∵CB'⊥AD，
∴CB'⊥BC，
∴∠BCB'=90°，
∴∠BCE=∠B'CE=45°，
∵CD=5，CF=4，∠CFD=90°，
∴FD=3，
过点E作EG⊥BC，
设CG=x， 则EG=x，BG=5−x，
∵∠B=∠D，∠BGE=∠DFC，
∴△EGB∽△CFD，
∴EGCF=EBDC=GBDF，
∴x4=EB5=5−x3，
解得：x=207，
∴BE=257，
故答案为：257．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是 ．

【答案】m2+n2
【分析】先根据折叠的性质可得S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°，从而可得S△FHG=S△ADG+S△CHE，再根据相似三角形的判定可证△ADG∽△FHG,△CHE∽△FHG，根据相似三角形的性质可得S△ADGS△FHG=DGGH2=m2GH2，S△CHES△FHG=EHGH2=n2GH2，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°=∠A=∠C，
∵DE平分等边△ABC的面积，
∴S梯形ACED=S△BDE=S△FDE，
∴S△FHG=S△ADG+S△CHE，
又∵∠AGD=∠FGH,∠CHE=∠FHG，
∴△ADG∽△FHG,△CHE∽△FHG，
∴S△ADGS△FHG=DGGH2=m2GH2，S△CHES△FHG=EHGH2=n2GH2，
∴S△ADGS△FHG+S△CHES△FHG=m2+n2GH2=S△ADG+S△CHES△FHG=1，
∴GH2=m2+n2，
解得GH=m2+n2或GH=−m2+n2（不符合题意，舍去），
故答案为：m2+n2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
4．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E,F，连接BM．

(1)求证：∠AMB=∠BMP；
(2)若DP=1，求MD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)MD=125
【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，则∠EMB=∠EBM，进而证明∠BMP=∠MBC，再由平行线的性质证明∠AMB=∠MBC即可证明∠AMB=∠BMP；
（2）如图，延长MN,BC交于点Q．证明△DMP∽△CQP得到QC=2MD，QP=2MP，
设MD=x，则QC=2x，BQ=3+2x．由∠BMQ=∠MBQ，得到MQ=BQ=3+2x．则MP=13MQ=3+2x3．由勾股定理建立方程x2+12=3+2x32，解方程即可得到MD=125．
【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB．
∴∠EMB=∠EBM．
∴∠EMP−∠EMB=∠EBC−∠EBM，即∠BMP=∠MBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠AMB=∠MBC．
∴∠AMB=∠BMP．
（2）解：如图，延长MN,BC交于点Q．
∵AD∥BC，
∴△DMP∽△CQP．
又∵DP=1，正方形ABCD边长为3，
∴CP=2
∴MDQC=MPQP=DPCP=12，
∴QC=2MD，QP=2MP，
设MD=x，则QC=2x，
∴BQ=3+2x．
∵∠BMP=∠MBC，即∠BMQ=∠MBQ，
∴MQ=BQ=3+2x．
∴MP=13MQ=3+2x3．
在Rt△DMP中，MD2+DP2=MP2，
∴x2+12=3+2x32．
解得：x1=0（舍），x2=125．
∴MD=125．

【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
5．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)GH=34
(3)BG=66AB，见解析
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；
（2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△BMG∽△MAP，得出大小关系．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH=∠A=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，
∵P为CD中点，
∴DP=CP=12×2=1，
设EP=AE=x，
∴ED=AD−x=3−x，
在Rt△EDP中，EP2=ED2+DP2，
即x2=(3−x)2+1，
解得x=53，
∴EP=AE=x=53，
∴ED=AD−AE=43，
∵△EDP∽△PCH，
∴ EDPC=EPPH，即431=53PH，
∴PH=54，
∵PG=AB=2，
∴GH=PG−PH=34．
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE=EP，
∴∠EAP=∠EPA，
∴∠BAP=∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA=MP，
∵P为CD中点，
∴设DP=CP=y，
∴AB=PG=CD=2y，
∵H为BC中点，
∴BH=CH，
∵∠BHM=∠CHP，∠CBM=∠PCH，
∴△MBH≌△PCH(ASA)，
∴BM=CP=y，HM=HP，
∴MP=MA=MB+AB=3y，
∴HP=12PM=32y，
在Rt△PCH中，CH=PH2−PC2=52y，
∴BC=2CH=5y，
∴AD=BC=5y，
在Rt△APD中，AP=AD2+PD2=6y，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△AMP，
∴ BGAP=BMAM=13，
∴BG=63y，
∴ ABBG=2y63y=6，
∴AB=6BG，即BG=66AB．
【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．
►题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像
1．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，在△DEF中，DE=DF=5，EF=8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分0≤tGB，
∴CD>GH，
∵ CD=3米，
∴ GH