第22讲 锐角三角函数及其应用(讲义，3考点+2命题点20种题型(含5种解题技巧))-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc187683630" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc187683631" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc187683632" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc187683633" 考点一 锐角三角函数
\l "_Tc187683634" 考点二 解直角三角形
\l "_Tc187683635" 考点三 解直角三角形的应用
\l "_Tc187683636" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc187683637" 命题点一 锐角三角函数
\l "_Tc187683638" ►题型01 理解锐角三角函数的概念
\l "_Tc187683639" ►题型02 求角的三角函数值
\l "_Tc187683640" ►题型03 由三角函数求边长
\l "_Tc187683641" ►题型04 由特殊角的三角函数值求解
\l "_Tc187683642" ►题型05 特殊角三角函数值的混合运算
\l "_Tc187683643" ►题型06 根据特殊角三角函数值求角的度数
\l "_Tc187683644" ►题型07 已知角度比较三角函数值的大小
\l "_Tc187683645" ►题型08 利用同角的三角函数求解
\l "_Tc187683646" ►题型09 利用互余两角的三角函数关系求解
\l "_Tc187683647" ►题型10 三角函数综合
\l "_Tc187683648" ►题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
\l "_Tc187683649" ►题型12 特殊角三角函数值的另类应用
\l "_Tc187683650" ►题型13 在网格中求锐角三角函数值
\l "_Tc187683651" 命题点二 解直角三角形
\l "_Tc187683652" ►题型01 解直角三角形的相关计算
\l "_Tc187683653" ►题型02 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
\l "_Tc187683654" ►题型03 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
\l "_Tc187683655" ►题型04 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
\l "_Tc187683656" ►题型05 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
\l "_Tc187683657" ►题型06 运用解直角三角形的知识解决实际问题
\l "_Tc187683658" ►题型07 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）
01考情透视·目标导航
\l "_Tc187414035" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc187414036" 03考点突破·考法探究
考点一 锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切
正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做
∠A的正弦，记作sin A，即；
余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做
∠A的余弦，记作cs A，即；
正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，则
【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同).
2. 锐角三角函数
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，.
增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cs A随∠A的增大而减小.
【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.
3. 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：
4. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：
① 平方关系：sin2A+cs2A=1；
② 商数关系：tanA=sinAcsA .
2) 互余两角的三角函数关系：
① 互余关系：
sin A = cs(90°-∠A) = cs B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
sin B = sin(90°-∠A) = cs A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
② 倒数关系：tanA•tanB=1
1．（2024云南真题）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则tanA的值为（ ）
A．45B．43C．35D．34
2．（2023·江苏苏州·一模）化简sin28°−cs28°2等于（ ）
A．sin28°−cs28°B．0
C．cs28°−sin28°D．以上都不对
3．（2023·湖北黄石·中考真题）计算：−13−2+1−20−2cs60°= ．
4．（2023·江苏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，连接CD．若BD=CD，ADBD=13，则tanB= ．

考点二 解直角三角形
1. 解直角三角形
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B.
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.
4）边角之间的关系：sin A = ac ，sin B = bc ，cs A= bc，cs B =ac，tan A = ab，tan B =ba.
【补充】三角函数是连接边与角的桥梁.
5）面积公式（h为斜边上的高）.
2. 解直角三角形的常见类型
【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.
【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切.
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．8D．9
2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（ ）

A．4B．43C．6D．63
3．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm．
4．（2023·青海西宁·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，则BC的长约为 ．（结果精确到0.1．参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
5．（2024·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB=1．
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
QUOTE QUOTE 考点三 解直角三角形的应用
1）仰角、俯角
视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.
2）坡度、坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl.
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是i=hl，坡角越大，坡度越大.
3）方位角、方向角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
4）解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.
1．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC=6m，则旗杆AC的高度为 m．
3．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：sin18°≈0.31,cs18°≈0.95,tan18°≈0.32）

04题型精研·考向洞悉
命题点一 锐角三角函数
►题型01 理解锐角三角函数的概念
1．（2024广州市模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．扩大2倍B．不变C．缩小12D．扩大12
2．（2024宣化区一模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（ ）
A．sinα的值越大，梯子越陡
B．csα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
3．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（ ）
A．sinα=ABBCB．sinα=BCABC．sinα=ABACD．sinα=ACAB
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 求角的三角函数值
求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解.
1．（2024·浙江宁波·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=43，则sinA的值为（ ）
A．34B．35C．45D．53
2．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c−10|+b−8=12a−36，则sinB的值为 ．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD=8，BE=10，则tan∠ABD= ．
4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若BG=1，BF=3，求CF的长．
5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．

(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若CD=6，OF=4，求cs∠DAC的值．
6．（2024·甘肃·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC=BD，点E在AD的延长线上，且∠ADC=∠AEB．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求tan∠AEB的值．
►题型03 由三角函数求边长
1．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x0个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE:CE=3:2．过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求n的值及△BCG的面积．
►题型07 已知角度比较三角函数值的大小
1．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅csα，阻力臂L2=l⋅csβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）

A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
2．（2023·上海静安·一模）如果0°