第27讲 圆的基本性质(练习，17题型模拟练+重难练+真题练)-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc189321661"
\l "_Tc189321662" ?题型01 圆的周长与面积问题
\l "_Tc189321663" ?题型02 圆中的角度、线段长度的计算
\l "_Tc189321664" ?题型03 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
\l "_Tc189321665" ?题型04 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
\l "_Tc189321666" ?题型05 垂径定理在格点中的应用
\l "_Tc189321667" ?题型06 垂径定理的实际应用
\l "_Tc189321668" ?题型07 利用垂径定理求取值范围
\l "_Tc189321669" ?题型08 利用弧，弦，圆心角的关系求解
\l "_Tc189321670" ?题型09 利用弧，弦，圆心角的关系求最值
\l "_Tc189321671" ?题型10 利用弧，弦，圆心角的关系证明
\l "_Tc189321672" ?题型11 利用圆周角定理求解
\l "_Tc189321673" ?题型12 利用圆内接四边形性质求角
\l "_Tc189321674" ?题型13 利用圆的有关性质解决多结论问题
\l "_Tc189321675" ?题型14 利用圆的有关性质解决翻折问题
\l "_Tc189321676" ?题型15 利用圆的有关性质解决最值问题
\l "_Tc189321677" ?题型16 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距
\l "_Tc189321678" ?题型17 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角
\l "_Tc189321679"
\l "_Tc189321680"
?题型01 圆的周长与面积问题
1．（2024·四川成都·三模）魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计⊙O的面积，可得π的近似值为 ．
2．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为r的⊙O沿着边长为a的正方形ABCD的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，⊙O自身转动的圈数是 ．（用含a，r的代数式表示）
3．（2024·河北秦皇岛·一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的n个同学均匀围成一个以O点为圆心，1m为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）．
（1）若n=6，则相邻两人间的圆弧长是 m．（结果保留π）
（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这n+2个同学之间的圆弧长与原来n个同学之间的圆弧长相等．这n+2个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移b米，才能使得这n+3个同学之间的圆弧长与原来n个同学之间的圆弧长相同，则ba= ．
?题型02 圆中的角度、线段长度的计算
4．（2024·四川成都·二模）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA=10，圆心O到弦AB的距离OC=6，则弦AB的长为( )
A．8B．12C．16D．20
5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，CD是以O为圆心的半圆的直径，A是DC延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若AB=OD，∠EOD=45°，则∠BAO的大小为（ ）

A．10°B．15°C．20°D．25°
6．（2024·甘肃·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，若C是BD的中点，连接OC，∠OBC=50°，则∠ACD= ．
?题型03 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
7．（2024·浙江宁波·二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，连结BC，AD，E为AB上一点，BE=BC，连结CE并延长交AD于点F，交⊙O于点G．
(1)求证：∠G=2∠DCG．
(2)若EF=2，FG=3，求CE．
(3)若EF=a，判断1EC+1EG的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含a的代数式表示．
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，等腰三角形ABC和ACD无重叠地拼接在一起，且AB=AC=CD，△ABC的外接圆⊙O与边CD交于点E（点E不与点C，D重合），过点E作线段CD的垂线，交BC的延长线于点F，交线段AB于点H，连接AE．
(1)求证△ABC∽△AED；
(2)若⊙O的半径为5，
①若tan∠BAC=43，求DE的长；
②连接BE，若BE平分∠ABC，求BC2的值；
(3)若EDCE=m，对于CE任意长度，都有4EH2−5m⋅CE2+3m2的值是一个定值，求这个定值．
9．（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，半圆O的直径AB=6．点C在半圆O上，连接AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，AB于点E，D，连接AD交BC于点F．
(1)求证：点D是BC的中点；
(2)将点O绕点F顺时针旋转90°到点G．
①当点G在线段AD上，求AC的长；
②当点G在线段AC上，求sin∠ABC的值．
10．（2024·上海普陀·三模）已知△ABC内接于⊙O，为的⊙O直径，N为AC的中点，连接ON交AC于点H．
(1)如图①，求BCOH的值；
(2)如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB=DC，求证OD∥AC；
(3)如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G．DG=CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF:DF=3:2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR=CM,AT=42，请直接写出圆O半径的长．
?题型04 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
11．（2024·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A，C分别在x轴、y轴上，以AB 为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为4,0，则点D的坐标为 ．
12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C1,1为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．

(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2022·上海黄浦·二模）已知点P是直线y=2上一点，⊙P与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果AB=2，那么点P的坐标是 ．
?题型05 垂径定理在格点中的应用
14．（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径= ．
15．（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，求边PM的长的最大值．
16．（2024·江西景德镇·二模）如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，⊙O经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹：
(1)在图1中，在圆上找一点D，使得BD=AC；
(2)在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧BP的中点．
?题型06 垂径定理的实际应用
17．（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm
18．（2024·广西贵港·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O直径长为6米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．3−5米D．3+5米
19．（2024·河北邯郸·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，⊙O是粒子真空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过CD 时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切．已知：AB=16km，粒子注入路径与AB夹角α=53°，CD所对的圆心角是60°．
(1)求∠ABE的度数；
(2)通过计算，比较CD与AB的长度哪个更长；
(3)直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到AB的最远距离．（相关数据： tan37°≈34）
?题型07 利用垂径定理求取值范围
20．（20-21九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x−6与x轴、y轴分别交于点D、E，若△CDE面积为S，则S的范围是 ．
21．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系xOy中，对于直线l:y=kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”． 如图，点M的坐标为−1,0，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为22，则b的值为 ．
22．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:y=kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1，b=1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；
(2)点M的坐标为(−1,0)，
①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于455，求k的取值范围；
②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为22，直接写出b的值．
?题型08 利用弧，弦，圆心角的关系求解
23．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB． 已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为（ ）
A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
24．（2024·云南昆明·一模）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE．若∠BOC=34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．68°B．78°C．88°D．112°
25．（2024·上海长宁·二模）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，下列说法错误的是( )
A．弧AB=弧BCB．∠AOD=3∠BOCC．AC=2CDD．OC⊥BD
?题型09 利用弧，弦，圆心角的关系求最值
26．（2023·山西阳泉·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中点，连接MN，P是直径AB上的动点，若弦MN=2，则△PMN周长的最小值为 ．

27．（2022·河南洛阳·一模）如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，CD=2CB，E是直径AB上一个动点，已知AB=2cm，则图中阴影部分周长的最小值是 cm．
28．（2022·福建泉州·模拟预测）如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，BC=2AC，点D是半径OB的中点，点E从点D出发，沿D→O→A的方向运动到A的过程中，线段BE、CE与BC所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为 cm2．
?题型10 利用弧，弦，圆心角的关系证明
29．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点 E，F是圆上一点，D是BF的中点，连接 CF交 OB于点 G， 连接 BC．
(1)求证：GE=BE；
(2)若AG=6，BG=4，求CD的长．
30．（2024·湖北·模拟预测）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点M，且AB=CD．
(1)求证：AD=BC；
(2)连接OM，BD，若BD是⊙O的直径，AB=2AD=8，求OM的长．
31．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CAD，CA平分∠BCD．
(1)求证：∠CDE=2∠ECD．
(2)若cs∠CBA=12，求证：∠BDC=4∠CBD．
(3)求证：BC2−AB2=CA⋅AD．
?题型11 利用圆周角定理求解
32．（2023·辽宁锦州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为（ ）
A．π4B．π3C．2π3D．π
33．（2025·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；
(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF的长．
34．（2025·山东临沂·一模）如图， ⊙O为△ABC的外接圆，直径 AD⊥BC于 E ，过点 A 作⊙O 的切线 AF与∠ABC的平分线交于点 F，BF交AC于点 G ，交AD于点 H，交⊙O 于点 M，连接 AM．
(1)求证： ∠ACB=2∠ABF；
(2)若 tan∠AMB=2 ，BC=2，求 CG 的长．
?题型12 利用圆内接四边形性质求角
35．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以 AB 为直径的半圆O中，弦AC∥OD，若 ∠CAB=70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
36．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
(1)求证：AB=AC；
(2)若BD=12，DE=2，求BC的长．
37．（2024·湖南·模拟预测）如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过C作∠DCE，使∠DCE=2∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．
(1)求证：CE是☉O的切线．
(2)如图2，点F是☉O上一点，且满足∠FCE=2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．
①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；
②若CD=4，tan∠BCE=12，求线段AF的长．
?题型13 利用圆的有关性质解决多结论问题
38．（2024·山东滨州·模拟预测）阅读材料：在平面直角坐标系中，点Px0,y0和直线Ax+By+C=0（其中A、B不全为0），则点P到直线Ax+By+C=0的距离d可用公式d=Ax0+By0+CA2+B2来计算．例如：求点P1,2到直线y=2x+1的距离．因为直线y=2x+1可化为2x−y+1=0，其中A=2,B=−1,C=1，所以点P到直线y=2x+1的距离为d=Ax0+By0+CA2+B2=2×1+（−1）×2+122+（−1）2=55．
根据以上材料，有下列结论：
①点M0,3到直线y=3x+9的距离是3；
②若以点M0,3为圆心，以4为半径的圆与直线y=3x+9相交，则其弦长为7；
③直线y=3x与直线y=3x+9的距离为92；
④若点P是抛物线y=−x2+23x−3上的点，则点P到直线y=3x的距离最小值是452．
正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
39．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，DG⊥AB于点G，交AC于点E，BD交AC于点F，下列结论一定正确的是 （把所有正确结论的序号都填上）．
①∠DAE=∠GAE，②AE=DE，③AC=2DG，④若tan∠BAC=34，则BFCF=52．
40．（2024·安徽安庆·三模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=2BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG=S△APG．以上结论正确的是（ ）
A．①③④B．①②③④C．①②③⑤D．②③④
?题型14 利用圆的有关性质解决翻折问题
41．（2023·海南海口·模拟预测）如图，⊙O的半径为4．将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为（ ）．
A．43πB．πC．83πD．2π
42．（2023·浙江金华·三模）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径AB向上对折得到图②，再沿弦BC向下翻折得到图③，最后沿弦BD向上翻折得到图④．
（1）若点E是弧BD的中点，则∠ABC= ；
（2）若CE:EB＝1:n，则sin∠ABC= ．（用关于n的代数式表示）
43．（2024·浙江台州·三模）如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，把CB沿着弦CB翻折交AB于点D，再把CDB沿着AB翻折交BC于点E．当E是DB的中点时，tan∠ABC的值是（ ）．
A．2−1B．33C．5−12D．12
?题型15 利用圆的有关性质解决最值问题
44．（2024·浙江宁波·一模）如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE=DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE=1，DE=7，连接AG，则AG最小值为 ．

45．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】
（1）如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E是菱形ABCD的对称中心，点F、M、N分别是边AB、AD、CD的中点，连接MN，点P是线段MN上的动点，连接PE、PF，求PE+PF的最小值；
【问题解决】
（2）如图2，某市有一块未开发的四边形绿地ABCD，经测量，AD=3km，CD=33km，∠BAD=120°，AD∥BC，AD⊥CD，点D处有一个水塘，绿地中有两条弧形小路劣弧AC和劣弧GH，点G、H分别在边AB、CB上，GH所对的圆心角为60°，BH=BG=4 km．现计划沿MP、PD修建景观水渠，并沿△EFM的三边乔木类的树木方便市民纳凉，点E、F、M、P分别是BG、BH、GH、AC上的动点．为节约成本要求PD+PM值最小，同时要求△EFM的周长最小．请你求出PD+PM的最小值以及此时△EFM周长的最小值．
46．（2025·湖南·模拟预测）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
(1)如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为________；
(2)如图2，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC,CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若AD=2，则线段CP的最小值是_______；
(3)如图3，矩形ABCD中，AB=2,AD=3，点E，F分别为AD,DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？
?题型16 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距
47．（2021·浙江宁波·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
(1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
(2)若AC=3，AB=4，求CD的长．
48．（21-22九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，AB是圆O的弦，且AB=6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC=30°，则圆心O到弦AB的距离等于 ．
49．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA=4，PB=6，则OP的长为 ．
?题型17 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角
50．（2023·广东阳江·一模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC=55°，则∠ADC=（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
51．（2024·湖南·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若AB=4,∠C=30°，则AD的长度为（ ）

A．1B．1.5C．2D．3
52．（2024·四川眉山·二模）如图，⊙P与⊙O相交于A，B两点，⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优弧AB上任意一点（不与点A，B重合）．连结AB，AC，BC，OC；
(1)证明：∠ACO=∠BCO；
(2)请说明当点C在⊙P什么位置时，直线CA与⊙O相切；
(3)请说明当∠ACB的度数为何值时，⊙P与⊙O的半径相等．
1．（2024·江西·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AM=AN，DM=DN．求证：∠AMD=∠AND．
【模型应用】（2）如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：
①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】（3）如图3，AC为⊙O的直径，AB=BC，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证：AE=2CD．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
4．（2024·江苏徐州·中考真题）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD⋅DB，则称点D是点C的“关联点”．
(1)如图（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
(2)如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD=m，DB=n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．
5．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线y=−x2+bx+4经过点A−4,0、B1,0，交y轴于点C0,4，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为−2,6时，求四边形AOCP的面积；
(3)当∠PBA=45°时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说明理由．
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）

A．倾斜直线B．抛物线C．圆弧D．水平直线
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A．3B．32C．2D．1
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．1.25mB．1.3mC．1.4mD．1.45m
4．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．70°
5（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26°B．27°C．28°D．30°
6．（2024·湖北·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC．若∠CAB=50°，则∠CBD的度数是（ ）

A．30°B．25°C．20°D．15°
7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为（ ）

A．100°B．110°C．120°D．130°
8．（2024·北京·中考真题）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠D=35°，则∠C= °

9．（2024·重庆·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形ACDE，点D、E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接DG．若AB=10,DE=8，则AF= _ ．DG= _ ．
10．（2024·江苏常州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD=20°，则∠ABD= °．
11．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，则AC+55BC的最大值为 ．

12．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD=1，则AE的最大值为 ，最小值为 .
13．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414，3≈1.732）

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）
14．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是6×7的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆ACB上的点A，B，C，O均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧BC的中点D．
(2)连结AC，作出∠BAC的角平分线．
(3)在AB上作出点P，使得AP=AC．
15．（2023·山东·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．

(1)求证：BC=DE；
(2)P是AE上一点，AC=6,BF=2，求tan∠BPC；
(3)在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．
16．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在⊙O中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，AE为切线，连接ED，并延长交⊙O于点F，连接BF交AC于点G．
(1)求证：AD平分∠CAE；
(2)求证：△ADE≌△ABG；
(3)若AE=3，AG=3GC，求cs∠CBF的值．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF
背景素材
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件
点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为2,0
操作步骤
①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P；
②以点P为圆心，PC长为半径作圆；
③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取DE=EF=FA=AB；
④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC，得到正六边形ABCDEF．
问题解决
任务一
根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二
将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标：______．