第27讲 圆的基本性质(讲义，2考点+1命题点20种题型(含4种解题技巧))-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc188517218" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc188517219" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc188517220" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc188517221" 考点一 圆的相关概念
\l "_Tc188517222" 考点二 圆的基本性质
\l "_Tc188517223" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc188517224" 命题点 圆的基本性质
\l "_Tc188517225" ►题型01 圆的周长与面积问题
\l "_Tc188517226" ►题型02 圆中的角度、线段长度的计算
\l "_Tc188517227" ►题型03 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
\l "_Tc188517228" ►题型04 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
\l "_Tc188517229" ►题型05 垂径定理在格点中的应用
\l "_Tc188517230" ►题型06 垂径定理的实际应用
\l "_Tc188517231" ►题型07 利用垂径定理求取值范围
\l "_Tc188517232" ►题型08 利用弧，弦，圆心角的关系求解
\l "_Tc188517233" ►题型09 利用弧，弦，圆心角的关系比较大小
\l "_Tc188517234" ►题型10 利用弧，弦，圆心角的关系求最值
\l "_Tc188517235" ►题型11 利用弧，弦，圆心角的关系证明
\l "_Tc188517236" ►题型12 利用圆周角定理求解
\l "_Tc188517237" ►题型13 利用圆内接四边形性质求角度
\l "_Tc188517238" ►题型14 利用圆的有关性质解决多结论问题
\l "_Tc188517239" ►题型15 利用圆的有关性质解决翻折问题
\l "_Tc188517240" ►题型16 与圆有关的新定义问题
\l "_Tc188517241" ►题型17 利用圆的有关性质解决最值问题
\l "_Tc188517242" ►题型18 圆的基本性质与函数综合
\l "_Tc188517243" ►题型19 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距
\l "_Tc188517244" ►题型20 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 圆的相关概念
1.圆的定义
圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.
确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可.
2.弦与直径
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A、B为端点的弧记作AB，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4.同圆、等圆、同心圆
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.
等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
5.圆心角与圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
6.弓形和扇形
弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形.
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”.
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）

A．倾斜直线B．抛物线C．圆弧D．水平直线
2．（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA=OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO=35°，则∠AOC=（ ）

A．35°B．30°C．25°D．20°
3．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形B．只有乙是扇形C．只有丙是扇形D．只有乙、丙是扇形
4．（2022·青海·中考真题）如图所示，A22,0，AB=32，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．32,0B．2,0C．−2,0D．−32,0
5．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．
考点二 圆的基本性质
1.圆的对称性
2.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
4.圆周角定理及圆周角定理的推论
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=12圆心角）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
5.圆内接四边形及其性质定理
圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补.
如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°
2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
如图，∠1=∠2
1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
3．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为 寸．
4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 ．

5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n= ．

\l "_Tc188350794" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 圆的基本性质
►题型01 圆的周长与面积问题
1．（2023·湖南·中考真题）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的12，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 万里．
2．（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B':AB=2:1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．
3．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 圆中的角度、线段长度的计算
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．42C．5D．52
2．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．70°
3．（2024·云南·中考真题）如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC=36∘，则∠D=（ ）
A．9∘B．18∘C．36∘D．45∘
4．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（ ）
A．2B．22C．23D．4
►题型03 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
(1)如图1，若BE=1，CE=5，求⊙O的半径；
(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
2．（2024·重庆·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形ACDE，点D、E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接DG．若AB=10,DE=8，则AF= _ ．DG= _ ．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；
(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF的长．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
1．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以M2，3为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ．
2．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线y−x=−2所截得的弦长为（ ）
A．14B．23C．214D．27
3．（2023·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，A6，0、B0，8，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（ ）
A．3.6B．4.8C．32D．33
QUOTE ►题型05 垂径定理在格点中的应用
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是6×7的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆ACB上的点A，B，C，O均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧BC的中点D．
(2)连结AC，作出∠BAC的角平分线．
(3)在AB上作出点P，使得AP=AC．
2．（2024·湖北·模拟预测）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过格点A，B，点C为⊙O与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)画出该圆的圆心O，并画弦AD，使AD平分∠BAC；
(2)先将弦AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，再在圆上画点E，使AC=BE．
3．（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，求边PM的长的最大值．
QUOTE ►题型06 垂径定理的实际应用
1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=40 cm,CD=10 cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50 cmB．35 cmC．25 cmD．20 cm
2．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414，3≈1.732）

问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）
3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．
参考数据：sin66°≈910，cs66°≈25，tan66°≈94，sin33°≈1120，cs33°≈1113，tan33°≈1320．
►题型07 利用垂径定理求取值范围
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为5的⊙О中，弦AB、AC在圆心О的同侧，AB=8，AC=6，则关于tan∠BAC的取值所在范围正确的是（ ）
A．0.225≤tan∠BAC