第28讲 与圆有关的位置关系(练习，15题型模拟练+重难练+真题练)-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc189322567"
\l "_Tc189322568" ?题型01 点与圆的位置关系
\l "_Tc189322569" ?题型02 点与圆上一点的最值问题
\l "_Tc189322570" ?题型03 直线与圆的位置关系
\l "_Tc189322571" ?题型04 圆与圆的位置关系
\l "_Tc189322572" ?题型05 利用切线的性质求解
\l "_Tc189322573" ?题型06 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
\l "_Tc189322574" ?题型07 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
\l "_Tc189322575" ?题型08 切线的性质与判定综合
\l "_Tc189322576" ?题型09 作圆的切线
\l "_Tc189322577" ?题型10 应用切线长定理求解或证明
\l "_Tc189322578" ?题型11 由三角形外接圆求值
\l "_Tc189322579" ?题型12 由三角形内切圆求值
\l "_Tc189322580" ?题型13 三角形内心有关的应用
\l "_Tc189322581" ?题型14 三角形外接圆与内切圆综合
\l "_Tc189322582" ?题型15 圆位置关系与函数综合
\l "_Tc189322583"
\l "_Tc189322584"
?题型01 点与圆的位置关系
1．（2024·黑龙江大庆·二模）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2−4x+4=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的外部B．⊙O的内部C．⊙O上D．无法判断
2．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（ ）

A．点PB．点QC．点MD．点N
3．（2024·上海嘉定·二模）在△ABC中， AB=AC=8，cs∠B=14，以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C，那么下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆C外，点B在圆C上；B．点A在圆C上，点B在圆C内；
C．点A在圆C外，点B在圆C内；D．点A、B都在圆C外．
?题型02 点与圆上一点的最值问题
4．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线y= 34 x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C0,1为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是（ ）
A．112B．6C．8D．212
5．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，AB=10,AD=15，点E是线段AD上的动点，连接CE，点D关于CE的对称点为F，连接AF，则AF的最小值为 ．
6．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=2AB=4，点E为四边形ABCD内一点，连接BE、CE、DE，若∠CBE+∠CDE=45°，则CE的最小值为 ．（结果保留根号）
?题型03 直线与圆的位置关系
7．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD=8，AB=AD．
(1)求AB的长；
(2)如果tanC=43，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数y=1xx>0的图象上的一点，⊙P的半径为2，当⊙P与直线y=x有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（ ）

A．1≤x≤2B．2−1≤x≤2
C．2−1≤x≤1D．2−1≤x≤2+1
9．（2024·浙江宁波·三模）如图1，已知Rt△ACB，AC=2，BC=4，∠ACB=90°，点D、E为边AC，BC上的任意点（不与点A，点B重合），以DE为直径的⊙O交边AB于点F，点G，半径为r，连结CF交DE于点H，连结OF，EF．设∠CEF=α．
(1)请用含有α的代数式表示出∠OFC；
(2)若α=60°，CH∶HF＝2∶1，求CE的长（用含有r的代数式表示）；
(3)若DE∥AB，如图2，若⊙O与边AB相交，求r的取值范围；
(4)若D为AC中点，△CEF是以EF为腰的等腰三角形，求⊙O的半径．
?题型04 圆与圆的位置关系
10．（2024·上海·三模）如图，已知⊙O1和⊙O2外切，半径长分别为1cm和3cm．如果半径长是5cm的⊙O与⊙O1、⊙O2都相切，那么符合题意的⊙O最多有⋯（ ）．
A．4个B．5个C．6个D．7个
11．（2024·四川德阳·二模）如图所示，点A、B在直线MN上，AB=48cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙B以每秒3cm的速度自右向左运动，与此同时，⊙A的半径不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系为r=1+2t（t≥0），则当点出发后 秒两圆相切．
12．（2024·上海静安·三模）如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等边△ABC的边长为20cm，分别以A、B、C为圆心，AB为半径作BC、AC、AB，M为△ABC的中心．
(1)若Q为BC上任意一点，则MQ的最小值为______cm，最大值为______cm．
(2)转子沿圆P转动时，始终保持⊙M与⊙P相切，⊙M的半径为8cm，⊙P的半径为5cm，当圆心P在线段AM的延长线上时，求B、P两点间的距离的平方．
?题型05 利用切线的性质求解
13．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，点B4,3在⊙A上，若⊙A与y轴相切，则⊙A的半径为 ．
14．（2012·北京海淀·中考模拟）如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（ ）
A．−2≤x≤2B．0≤x≤2C．−1≤x≤1D．x>2
15．（2025·山东临沂·一模）如图， ⊙O为△ABC的外接圆，直径 AD⊥BC于 E ，过点 A 作⊙O 的切线 AF与∠ABC的平分线交于点 F，BF交AC于点 G ，交AD于点 H，交⊙O 于点 M，连接 AM．
(1)求证： ∠ACB=2∠ABF；
(2)若 tan∠AMB=2 ，BC=2，求 CG 的长．
?题型06 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
16．（2025·广西柳州·一模）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，AD=CD，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若BD=8，⊙O的半径为5，求DE的长．
17．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为10 cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
18．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB=22，BC=2，求⊙O的半径．
?题型07 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在△BCE中，BC⊥BE，点A在BE上，以AB为直径的⊙O交CO的延长线于点G，过点E作EF⊥CG于点F，∠FEB=∠ECG．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若BCBE=43，求tan∠BCO的值．
20．（2023·广东江门·一模）如图，点O在∠MPN的平分线上，⊙O与PO相交于点C．与PO的延长线相交于点D，与PM相切于点A．
(1)求证：直线PN是⊙O的切线；
(2)若PA=4,PC=2，求⊙O的半径；
(3)点G是劣弧AC上一点，过点G作⊙O的切线分别交PM,PN于点E，F，若△PEF的周长是⊙O半径的3倍，求tan∠EPF的值．
?题型08 切线的性质与判定综合
21．（2024·河北·模拟预测）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，延长CA至点D，使AD=8，连接BD，以AD为直径的☉O绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，☉O旋转 °时，☉O与AC第一次相切．
(2)在（1）的条件下，判断☉O与BD的位置关系并加以证明．
(3)如图3，若☉O与BC相切于点M，与CA相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．
22．（2024·山西运城·模拟预测）阅读与思考
任务：
(1)依据1：_____________________________．
依据2：________________________________．
(2)在图2中，⊙O的半径为6，AP=8，求BP的长．
23．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O与边AC相切于点D，且BC=CD，连接OC，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．
(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)求证：OA⋅AB=AD⋅AC；
(3)若AC=16，tan∠BAC=43，F是AC中点，求EF的长．
?题型09 作圆的切线
24．（2024·广东东莞·三模）已知：点P是⊙O外一点．
(1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，证明切线长定理（PE=PF，OP平分∠EPF）．
25．（2024·湖北·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点．
(1)请按要求作出图形：在直径AB上截取AE=AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交射线CE于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)证明（1）中的直线BD为⊙O的切线；
(3)在（1）的条件下，若∠ABC=2∠CDB，求AEBE的值．
26．（2024·辽宁·模拟预测）《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，切线长定理的探索与证明由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外一点作圆的切线”.在学习完《切线的性质与判定》后，九年级的李老师布置了一道题：“如图，已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点M．求作：直线MN，使MN与⊙O相切于点N．”
小星同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
①连接OM，分别以点O，M为圆心，以 的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B 两点(点A，B 分别位于直线OM的上下两侧)；
②作直线 ，交OM于点C；
③以点C为圆心， 长为半径作⊙C， 交⊙O于点N(点 N位于直线OM的上侧)；
④连接MN，交AB于点D，则直线MN即为所求；
(1)请按照步骤完成填空、作图(尺规作图，保留作图痕迹，准确标注字母)，并结合图形，说明直线MN是⊙O切线的理由；
(2)李老师夸奖了小星的作图方法，同时在(1)的图形中延长MO交⊙O于点E，过点E作EF∥ON交MN的延长线于点F，连接EN，并增加条件：FN=22，EN=26，tan∠NMO=24，让小星求ND的长，请你帮助小星解答．
?题型10 应用切线长定理求解或证明
27．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，射线AM⊥AB，O是AM上的一点，以O为圆心，OA长为半径，在AM上方作半圆AOC，BE与半圆O相切于点D，交AM于点E，EF⊥BO于点F．
(1)求证：BA=BD；
(2)若∠ABE=60°，
①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外）
②AB=6，求阴影部分的面积．
28．（2024·山西·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，射线BD⊥AB，AB=10，AC=6．CP与⊙O相切时，连接CP，求BP的长．
29．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作射线l⊥AB，点P为l上一个动点，点C为⊙O上异于点A的一点，且PA=PC，过点B作AB的垂线交PC的延长线于点D，连接AD．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若AP=4BD，求sin∠BAD的值．
30．（2024·湖南长沙·模拟预测）在△ABC中，BC为⊙O的直径，AC为过C点的切线．
(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE=EC；
(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA=34，求S△ADE:S△ACM的值．
?题型11 由三角形外接圆求值
31．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是9×9的网格，网格边长为1，△ABC的顶点在格点上．已知△ABC的外接圆．
(1)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图：
①确定△ABC的外接圆的圆心O；
②作出过点C的切线，与AB的延长线交于点D；（上述两问都要保留作图痕迹）
(2)求ABC的长和CD的长．；
32．（2023·广东湛江·模拟预测）如图，已知△ABC．
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB=2，∠ACB=45°，求⊙O的半径．
33．（2023·河北秦皇岛·一模）在△ABC中，∠B=45∘，AB=6．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使BC的长唯一，其中正确的是（ ）
甲：AC=4；
乙：AC=8；
丙：△ABC的外接圆半径为4
A．只有甲B．只有乙C．只有丙D．乙和丙
?题型12 由三角形内切圆求值
34．（2024·四川乐山·二模）已知△ABC，如图所示．
(1)用无刻度直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.2cm，求△ABC的面积．
35．（2024·湖北武汉·二模）如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=20，BC=21，CA=13，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠EDF=∠AB．∠EOF=∠B+∠C
C．BD=14D．OE=143
36．（2024·广东广州·一模）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE=α，则AF+CD−AC的值和∠A的大小分别为（ ）
A．0，180°−2αB．r，180°−α
C．2r，90°−αD．3r，90°−α2
?题型13 三角形内心有关的应用
37．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，点P是Rt△ABC的内心．点P到边AB的距离为 ；
38．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在△ABC中，AC=5，AB=7，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，过O作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，则DE的长为（ ）
A．26B．4C．5D．463
39．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=8，tan∠ABC=43，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．9B．12C．15D．18
?题型14 三角形外接圆与内切圆综合
40．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
41．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC=20°，则∠CAI= °．
42．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，点P是Rt△ABC的内心．

（1）点P到边AB的距离为 ；
（2）Q是Rt△ABC的外心，连接PQ，则PQ的长为 ．
?题型15 圆位置关系与函数综合
43．（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，AB=52，则k的值为（ ）
A．32B．3C．62D．6
44．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点Px1,y1是图形G1上的任意一点，点Qx2,y2是图形G2上的任意一点，若存在直线l∶y=kx+bk≠0满足y1≤kx1+b且y2≥kx2+b，则直线y=k+b(k≠0)就是图形G1与G2的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线l∶y=−x−4是函数y=6x(x