第29讲 与圆有关的计算(讲义，2考点+1命题点11种题型(含5种解题技巧))-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc188724719" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc188724720" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc188724721" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc188724722" 考点一 弧长公式与扇形面积公式
\l "_Tc188724723" 考点二 圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积
\l "_Tc188724724" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc188724725" 命题点 与圆有关的计算
\l "_Tc188724726" ►题型01 利用弧长公式求弧长
\l "_Tc188724727" ►题型02 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
\l "_Tc188724728" ►题型03 求某点的弧形运动路径长度
\l "_Tc188724729" ►题型04 利用扇形面积公式计算扇形面积
\l "_Tc188724730" ►题型05 求图形旋转后扫过的面积
\l "_Tc188724731" ►题型06 求弓形面积
\l "_Tc188724732" ►题型07 求其它不规则图形面积
\l "_Tc188724733" ►题型08 求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
\l "_Tc188724734" ►题型09 求圆锥侧面展开图的圆心角
\l "_Tc188724735" ►题型10 圆锥的实际问题
\l "_Tc188724736" ►题型11圆锥侧面上最短路径问题
01考情透视·目标导航
02知识导图·思
\l "_Tc188547392" 03考点突破·考法探究
考点一 弧长公式与扇形面积公式
弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径).
【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
【补充】在弧长公式l=nπR180中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长).
【补充】
1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S扇形=12lR中求解即可．
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l= （结果保留π）．
2．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= ．
3．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA=20cm，OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC=120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）cm2．

A．253πB．75πC．125πD．150π
4．（2024·湖南长沙·中考真题）半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 （结果保留π）．
QUOTE QUOTE 考点二 圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足r2+ℎ2=l2.
【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2πr=nπR180，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系.
【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．
1．（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 ．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °．
4．（2020·江苏扬州·中考真题）圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为 ．
\l "_Tc188547399" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 与圆有关的计算
►题型01 利用弧长公式求弧长
熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给条件求得.
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、AB与CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 米．（π取3.14，计算结果精确到0.1）
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是AB上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD．若BD⊥OC，则AC的长为（ ）
A．π6B．π3C．π2D．π
3．（2024·辽宁·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在BC上，AC=BD，E在BA的延长线上，∠CEA=∠CAD．
(1)如图1，求证：CE是⊙O的切线；
(2)如图2，若∠CEA=2∠DAB，OA=8，求BD的长．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的圆心角是150°，弧长是52πcm，则扇形的半径是 cm．
2．（2023·湖南永州·中考真题）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 度．
3．（2021·湖南娄底·中考真题）如图所示的扇形中，已知OA=20,AC=30,AB=40，则CD= ．
►题型03 求某点的弧形运动路径长度
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．
(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1，画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
(2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
2．（2024·吉林长春·中考真题）一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB=12 cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 cm．（结果保留π）
3．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在0,2．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是（ ）
A．2020πB．1010π+2020C．2021πD．1011π+2020
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 利用扇形面积公式计算扇形面积
当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式
1．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2．
2．（2024·河南·中考真题）如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A．8π3B．4πC．16π3D．16π
3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AC边上一点，连结OB，以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．

(1)求证：BC=BD；
(2)若OB=OA，AE=2，①求半圆O的半径；②求图中阴影部分的面积．
QUOTE ►题型05 求图形旋转后扫过的面积
1．（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( )

A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
2．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A2,−1,B1,−2，C3,−3．

(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
(3)将△A2B2C2着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板ABC和DEF中，∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°，BC=EF=12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是 ，现将△DEF绕点C(F)按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是 ．

►题型06 求弓形面积
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 ．
2．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（π取3.14，3取1.73）

3．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE．

(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若∠ABC=60°，AB=4，求图中阴影部分的面积．
►题型07 求其它不规则图形面积
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π2−34B．π−34C．π2−14D．无法确定
2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若sin∠CFB=22，AB=8，求图中阴影部分的面积．
4．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2．以点A为圆心，以AD为半径作DE交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作EF所交BC于点F，连接FD交EF于另一点G，连接CG．
(1)求证：CG为EF所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．（结果保留π）
►题型08 求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个.
1．（2024·江苏盐城·中考真题）圆锥的底面半径为4，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为 ．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 cm．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm．
4．（2022·四川广安·中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）

A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2
►题型09 求圆锥侧面展开图的圆心角
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
2．（2023·西藏·中考真题）圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
3．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）圆锥的高为22，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含π的式子表示）．
QUOTE ►题型10 圆锥的实际问题
在解决有关圆锥及其侧面展开图的问题时，常借助“圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即2πr=nπR180”建立圆锥底面圆的半径r,圆锥母线长R、侧面展开图扇形的圆心角度数n之间的等量关系来解决问题.
1．（2022·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为3π米，高度为3.6米，则此粮仓的侧面积为 m2．（结果保留π）
3．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．

►题型11圆锥侧面上最短路径问题
圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，在圆锥上求最短距离，需把圆锥侧面展开为平面，然后利用“两点之间线段最短”和勾股定理解决问题.
1．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5B．33C．32D．63
2．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，

(1)现在需要制作一个r=10cm，l=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．中考考点
考查频率
新课标要求
孤长的有关计算
★★
会计算圆的弧长、扇形的面积
扇形面积的有关计算
★★
圆锥的有关计算
★★
【考情分析】圆的相关计算主要包括弧长和扇形面积的计算，同时也有对圆锥的侧面积的考查，需要注意“转化”思想的应用，试题形式多样，解答题中出现时一般与圆的切线相结合，难度中等.