第30讲 尺规作图与定义、命题、定理(讲义，2考点+2命题点18种题型)-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc189071901" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc189071902" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc189071903" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc189071904" 考点一 尺规作图
\l "_Tc189071905" 考点二 定义、命题、定理
\l "_Tc189071906" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc189071907" 命题点一 尺规作图
\l "_Tc189071908" ►题型01 作线段
\l "_Tc189071909" ►题型02 作一个角等于已知角
\l "_Tc189071910" ►题型03 尺规作角的和、差
\l "_Tc189071911" ►题型04 过直线外一点作已知直线的平行线
\l "_Tc189071912" ►题型05 作三角形
\l "_Tc189071913" ►题型06 作角平分线
\l "_Tc189071914" ►题型07 作垂线
\l "_Tc189071915" ►题型08 作等腰三角形
\l "_Tc189071916" ►题型09 画圆
\l "_Tc189071917" ►题型10 过圆外一点作圆的切线
\l "_Tc189071918" ►题型11 作正多边形
\l "_Tc189071919" ►题型12 格点作图
\l "_Tc189071920" ►题型13 无刻度直尺作图
\l "_Tc189071921" ►题型14 最短路径问题
\l "_Tc189071922" 命题点二 定义、命题、定理
\l "_Tc189071923" ►题型01 判断是否是命题
\l "_Tc189071924" ►题型02 判定命题的真假
\l "_Tc189071925" ►题型03 写成命题的逆命题
\l "_Tc189071926" ►题型04 反证法
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
\l "_Tc188724595" 03考点突破·考法探究
考点一 尺规作图
定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,
五种基本作图：
1）作一条线段等于已知线段
2）作一个角等于已知角
3）作已知角的角平分线
4）过一点作已知直线的垂线
5）作线段的垂直平分线
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3)切记作图中一定要保留作图痕迹；
4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.
1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；
②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；
③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；
④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOM=∠BB．∠OMC+∠C=180∘
C．AM=CMD．OM=12AB
2．（2024·四川·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 度．
3．（2024·山东德州·中考真题）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠B=90°．
(1)尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．
考点二 定义、命题、定理
1. 命题
定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
2.真命题、假命题
3.逆命题
逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题.
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
4.公理、定理
公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.
定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
5.互逆定理
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
6.反证法
定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.
反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ．
2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（ ）
A．若a=b，则ac=bc
B．若a>b，则ac>bc
C．两个有理数的积仍为有理数
D．两个无理数的积仍为无理数
3．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题
4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
\l "_Tc188724598" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 尺规作图
►题型01 作线段
1．（2023·山西太原·模拟预测）已知线段a、b、c．

(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN分别交AB于点E，若AD=3,BE=1，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
3．（2024·广东·模拟预测）如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高．
(1)实践与操作：利用尺规，以CD为边在CD下方作等边△CDE，延长ED交AB于点M；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，证明CE=BM．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 作一个角等于已知角
1．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
2．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形
3（2021·山东青岛·中考真题）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O．
►题型03 尺规作角的和、差
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若sinA=35，CM=12，求BM的长．
2．（2022·江苏镇江·中考真题）操作探究题
(1)已知AC是半圆O的直径，∠AOB=180n°（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=180n°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180n°所对的弧三等分吗？
探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180n°所对的弧三等分？说说你的理由．
(2)如图2，⊙的圆周角∠PMQ=2707°．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧CD（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 过直线外一点作已知直线的平行线
1．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．
求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB,AD的距离相等．
2．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=mx的图象交于A，B3,n两点，且直线AB与坐标轴分别交于P，Q两点．
(1)求m和n的值；
(2)已知点M0,2，请用无刻度的直尺和圆规过点M作直线AB的平行线（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若（2）中所作的平行线交x轴负半轴于点N，连接NP，QM，求四边形NPQM的面积．
QUOTE ►题型05 作三角形
1．（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．
2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ(0°b，则a−3−3.14；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
QUOTE ►题型03 写成命题的逆命题
1．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果a>b，那么b−a