数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计

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课题
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
课型
新授课
课时
1
学习目标
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
学习重点
平面向量数量积的坐标表示.
学习难点
向量数量积的坐标表示的应用.
学情分析
前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.
核心知识
平面向量数量积的坐标表示.
教学内容及教师活动设计
情景引入
复习回顾，温故知新
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
【答案】
2.两个向量的数量积的性质：
【答案】
研探新知
预习课本提炼总结
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积：两个向量的数量积等于它们 的和，
即a·b＝ .
两个向量垂直：a⊥b⇔ .
对数量积的坐标表示的理解
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；
(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；
(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．
三个重要公式
向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝ eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up10(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则可以得到如下夹角公式：
（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）
教师个人复备
csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
对向量模长公式的理解
(1)模长公式是数量积的坐标表示eq \(a,\s\up10(→))·eq \(b,\s\up10(→))＝x1x2＋y1y2的一种特例，当eq \(a,\s\up10(→))＝eq \(b,\s\up10(→))时，则可得|eq \(a,\s\up10(→))|2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)；
(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up10(→))＝(x2－x1，y2－y1)，所以|eq \(AB,\s\up10(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)，即|eq \(AB,\s\up10(→))|的实质是A，B两点间的距离或线段AB的长度，这也是模的几何意义．
例题及练习
类型一 数量积的坐标运算
例1 (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12)B．0
C．－3D．－11
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于( )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(3,2)D．－eq \f(3,2)
方法归纳
数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
跟踪训练1 已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.
类型二 平面向量的模
例2 (1)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝( )
A.eq \r(5)B.eq \f(\r(5),2)
C．2eq \r(5)D．5
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
方法归纳
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2).
跟踪训练2 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A.eq \r(5)B.eq \r(6)
C.eq \r(17)D.eq \r(26)
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a·b＝10，则a的坐标为______．
类型三 平面向量的夹角(垂直)
例3 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5)，若(c－b)·a＝eq \f(15,2)，则a与c的夹角为( )
A.30°B．60°
C．120°D．150°
(2)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若λa－2b与a垂直，则实数λ等于________．
方法归纳
利用数量积求两向量夹角的步骤
数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.
模：利用|a|＝计算出这两个向量的模.
余弦值：由公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出cs θ的值.
角：在0≤θ≤π内，由cs θ的值求角θ.
跟踪训练3 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
例4
课堂小结
平面向量数乘运算公式的坐标表示；
平面向量垂直的坐标表示；
平面向量模的坐标表示；
两点之间距离公式；
向量夹角公式的坐标表示.
课堂随练
P36第1题到第3题
板书设计
平面向量数乘运算公式的坐标表示
平面向量垂直的坐标表示
平面向量模的坐标表示
两点之间距离公式
向量夹角公式的坐标表示
作业设计
6.3.5平面向量数量积的坐标表示作业
教学反思
练习中需强化对特殊情况的讨论（如零向量导致夹角无意义） ；作业设计应增加实际应用题（如力的合成、几何证明）.