2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联赛一试+加试试题（A卷

这是一份2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联赛一试+加试试题（A卷，共4页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一试试题（A卷)
一、填空题:本大题共8小题，每小题8分,满分64分.
1.集合A=n∣n3fPl0,则称P为“好点”.求所有好点所构成的区域的面积.
加试试题（A卷）
一.(本题满分40分)如图,在凸四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90∘,对角线BD上一点P满足∠APB=2∠CPD,线段AP上两点X,Y满足∠AXB=2∠ADB,∠AYD=2∠ABD.证明:BD=2XY.（答题时请将图画在答卷纸上）
二.(本题满分40分)设整数nn>1恰有k个互不相同的素因子,记n的所有正约数之和为σn.证明：σn∣2n-k∣.
三.(本题满分50分)设a1,a2,⋯,a100是非负整数,同时满足以下条件:
(1)存在正整数k≤100,使得a1≤a2≤⋯≤ak,而当i>k时ai=0；
(2)a1+a2+a3+⋯+a100=100;
(3)a1+2a2+3a3+⋯+100a100=2022.
求a1+22a2+32a3+⋯+1002a100的最小可能值.
四.(本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数t：将100×100的方格纸的每个小方格染为某一种颜色,若每一种颜色的小方格数目均不超过104,则存在一个1×t或t×1的矩形,其中t个小方格含有至少三种不同颜色.